(整理)電磁學第六章

1、精品文檔精品文檔精品文檔電磁學四川師范大學教案物理與電子工程學院課程名稱電磁學授課專業(yè)物理學班級08級課程編號07060420211、2班課程類型必修課校級公共課（）；基礎或專業(yè)基礎課（V）；專業(yè)課（）選修課限選課（）；任選課（）授課方式課堂講授（V）;實踐課（）考核方式考試（V）；考查（）課程教學學時80學時學分5學分教材及主要參考書作者教材：電磁學（第二版），高等教育出版社，2004年參考書：電磁學（上、下冊），人民教育出版社，1978。新概念物理教程電磁學，高等教育出版社，1998。物理學（電磁學），上海科學技術出版社，1979。物理學（第二卷第一分冊），科學出版社，1979。梁燦彬、秦

2、光戎、梁竹健原著，梁燦彬修訂趙凱華、陳熙謀趙凱華等復旦大學、上海師范大學物理系編哈里德瑞斯尼克著，李仲卿譯學時分配第一章靜電場的基本規(guī)律（14+2學時）第二章有導體時的靜電場（8+1學時）第三章靜電場中的電介質（8+1學時）第四章恒定電流和電路（5+1學時）第五章恒定電流的磁場（11+1學時）第八章電磁感應與暫態(tài)過程（15+1學時）第七章磁介質（7+1學時）第九章時變電磁場和電磁波（4學時）精品文檔精品文檔精品文檔物理與電子工程學院章節(jié)名稱程章暫!;教學目的及要求nr地計注4一二44VE厶冃O親云冒勺一、匕匕里屋勺彳厶冃砌對刪謂皿！IM討文jC的圈詡房缺O(jiān)R端線欣：卅和兩感刊芯主RLCRM花頼

3、O容和H婦斟蒯電感并常為伽衛(wèi)似冷眈電介施必讓化ORC私酎紅釧百訝過電電生自稠揮第主廖召白量A-易A一斥兒幺L匕匕地陰！I介經(jīng)怖出0游弘喘路騎、母勸中電M#;儀0，則方向由atb，b端電勢高于a端。4、洛侖茲力到底作功否：（P227）矛盾之一：洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)是安培力，安培力在受力導線運動時卻可能做功（如導體框此段受的安培力對ab段的運動起阻礙作用，做負功）矛盾之二：在前面剛剛講到，提供動生電動勢的非靜電力是洛侖茲力說明洛侖茲力作功了。結論：總的說來洛侖茲力不作功，但其兩個組成部分分別要對運動電荷作功，兩功的代數(shù)和為零。證明：把前面導體框中運動的ab段提出來分析:（1）對ab段中的任一電子，其

4、速度由兩部分組成:精品文檔精品文檔精品文檔隨導線向右的速度v；因受洛侖茲力f而下運動（形成感應電流）的速度v（2）電子的合速度V=v+V，電子受合力F=-eVxB。因V有兩部分，故F也可分成兩部分：與V相應的部分/=一eVxB，方向向下；與V相應的部分尹=-eVxB，方向向左。（3）因總洛侖茲力F與受力電荷的總速度V垂直，故不作功。但F的兩部分卻起不同的作用：f與導線平行，起電源中非靜電力的作用，f沿導線的積分為動生電動勢。且/與V方向相同，對電子作正功；f與導線垂直，表現(xiàn)為導線ab段受到的安培力（向左），因f與導線ab段的平移速度V相反，對導線作負功?？梢宰C明：作功功率滿足關系：fV二fV，

5、故/和了所做總功為零，也就是說總洛侖力F不作功。二、動生電動勢的計算動生電動勢可用兩種方法計算：e1、對閉合回路，用8=-莎，找0及其變化，即可得e大小及方向；2、非閉合回路：d0（1）可設想一回路，再用8=-莎求，但設想的回路不能改變其原來的宏觀的效果；2）可直接用：aba精品文檔若ab，則電動勢方向為ab，b為高電勢端。d3VPQA冥例1：P229xxx解：(1)用公式=JbCxB)dT求解。aba(vxB)-dl=vBdl=IBdl曠=7QBldl=1sBLPQP21U=SBL2QPPQ2注意討論：P229最后3行。(2)用法拉第定律求解。PQQLdeL、dBPd=1BLd_dt2dt例

6、2(補充)如圖，一長直導線中通有電流1=10安培，有一長l=0.2米的金屬棒AC,以v=2米/秒的速度平行于長直導線作勻速運動，棒的近導線端距導線a=0.1米，求金屬棒中的動生電動勢。精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔B(vXB)方向向左迖VB方向向右*a1解：金屬棒處在通電導線的非均勻磁場中，將金屬棒分成很多長度元卩idx,每一個dx處的磁場可看作是均勻的，其處的B一2=由動生電動勢公式知dx小段上的動生電動勢為：一HIde=-Bvdx=vdx2nx由于所有長度元上產(chǎn)生的動生電動勢的方向相同，故金屬棒中的總電動勢為：e=Jde=-J+llvdx=(/vIn十代入值一4.4x10-6伏特ACa2

7、兀x2兀a說明電動勢的方向由C指向A，A為高電勢端。此題也可用作輔助線的方法進行求解：如圖d=_ldx2兀xHIa+1=Jd=lln2兀ae一空=九vina+l代入值4.4乂心ACdt2兀a例3（補充）在與均勻恒定磁場B垂直的平面內有一導線ACD，其形狀是半徑為R的3圓周。導線沿ZAOD的角平分線方向，以速度v水平向4右運動（如圖）。求導線上的動生電動勢。X解：（1）用公式e=fbCXB）dl求解。aba在導線上取線元dl，導線上各處CXB）與dl的夾角不同，dl的位置用角量o表示，且dl=Rdo（dl在圓周上）為了便于計算，建立適當?shù)纳鷺讼担O圓心O為坐標原點，OA方向為x軸的正方向，導線A

8、CD在xy平面內。dl段上的動生電動勢為:（）（兀、（兀、de=VxB-dl=vBdlcos0+一=vBRcos0_dO4丿4丿導線ACD上的動生電動勢為:e=fde二J、vBRcosACDo/兀)0+1d0=vBRsin10+_(4丿14丿J嚴=72vBRo因ACDV0,故動生電動勢的方向由D經(jīng)C指向A,即沿順時針方向,A端電勢高。d6(2)用=-冠求解作輔助線AD與導線DCA構成閉合電路，則&=_妙=0ACDAdt而=+=_=0ACDAACDDAACDAD=ACDAD說明：輔助線在運動中引起的動生電動勢ad與原導線ACD在運動中引起的動生電動勢acd等值反向。容易求得：AD=JD(vxB)

9、dl=_vBAD=_/2BvR(AC=42R)A二二存RACDv例4(補充)如圖，長為0.5米的金屬棒水平放置，以長度的1處為5軸，在水平面內旋轉，每秒轉兩轉。已知該處地磁場在豎直方向上的分量B=0.5高斯，求a、b兩端的電勢差。一序Btdldlv出/汁l2Hb解：在cb段上取dl，此元段的速度v=2nfl=f=2轉/秒Bl2、，r.,Ubc=亍0，說明b點電=bCxB)dl=Jl2Bldl=乙或cbco2或勢高于c點;Bl2Bl2同理得：8=一丄或U=一人丄0，說明a點電勢咼于c點。ca2ac2故：U=U+U=U-U=-B（l2-12）=4.71X10-5伏abaccbacbc212（8=4

10、.71x10-5伏）ab負號說明b點電勢高于a點。例5（補充）三角形金屬框PQS放在均勻磁場B中，B平行于邊PQ,如圖。當金屬框繞PQ邊以角速度3轉動時，求各邊的感應電動勢和回路的總感應電動勢。解：由動生電動勢的計算公式得：S()”WB8PS=fvxB)dl=a2(上題已得到)8=fS(vxB)dl=fSWBrcosadlTOC o 1-5 h zQSQQ=fSWBrcos(90-0)dl=fSWBsin20ldlo=2sin2怠=字in2e-QQ(a8=fQ(vxB)dl=0 HYPERLINK l bookmark113 PQP精品文檔精品文檔.=+=-二0總PQQSSPQSPS有了補充例

11、題5之后，書上例題2就好做了，是幾部分的組合例6：P230例題2（自學）三、交流發(fā)電機P231-232發(fā)電機是動生電動勢的一個應用實例。如圖所示（P231）。在永磁鐵的兩極間有一個近似均勻的磁場B，線框ABCD在磁場中以勻角速度e作轉動。線圈平面的法線方向n與磁感應強度B之間的夾角為e時，通過線圈平面的磁通量為：=BScos0當線圈以OO,為軸轉動時，夾角0隨時間改變，所以也隨時間改變。根據(jù)法拉第的電磁感應定律：d=-dt若為N匝線圈，則=-Nd=NBSsin0d0-dtdtd式中dt是線圈轉動時的角速度卩線圈作的是勻角速轉動，即e=恒量。設在t=0時，0=0，則在t時刻，0=t，則有精品文檔

12、精品文檔精品文檔精品文檔s=NBSsin令NBS=s0，它是線圈中最大感應電動勢（動生電動勢）的量值，故8=8sinot0由上式可知，在勻強磁場內作勻角速轉動的線圈中產(chǎn)生的電動勢是隨時間作周期性變化的，周期為一。在兩個連續(xù)的半周期中，電動勢的方向o相反，這種電動勢叫做交變電動勢。在交變電動勢的作用下，線圈中的電流可寫成：sin-申）這個電流也是交變的，叫做交變電流或交流。由于線圈內自感應現(xiàn)象的存在（見6.5），交變電流的變化要比交變電動勢的變化推遲一些（與上式中的申有關）。上面所述，就是發(fā)電機的基本工作原理。從功能的角度看，發(fā)電機是把機械能轉化為電能的裝置：P232分析自學。6.4感生電動勢和

13、感生電場一、感生電動勢、感生電場（B變、S不變）1、感生電動勢當空間磁感應強度變化，即使（導體）線圈不動，在回路中也能引起感應電流，此時回路中存在的感應電動勢為感生電動勢。產(chǎn)生動生電動勢的原因可以歸結為導體中的電子受洛侖茲力作用的結果，那么產(chǎn)生感生電動勢的原因是什么？精品文檔2、感生電場的提出麥克斯韋突破習慣性思維，假設：“變化的磁場也會激發(fā)電場”，并把這個電場稱之為感生電場。（1）根據(jù)上述假設可知：推動導體中電荷定向運動形成感生電流勢（電流）相應的非靜電力就是感生電場給予電荷的感生電場力。（2）當空間同時存在電荷和變化的磁場時E二E+E庫感其中：E可以是三部分：庫靜電場：q靜止不動恒定電場：

14、p、不隨t變變化電荷的電場：p、隨t變上述三種情形均為電荷按庫侖定律激發(fā)的電場。（3）麥克斯韋的假設從理論上揭示了電磁場的聯(lián)系，并已為近代科學實驗所證實?！半娮痈袘铀倨鳌本褪抢酶猩妶黾铀匐娮拥摹?、感生電場的性質（1）回顧感生電場左感產(chǎn)生的原因：變化的磁場（字庫侖電場庫產(chǎn)生的原因：電荷按庫侖定律激發(fā)且由庫侖定律及迭加原理已經(jīng)導出E庫所遵從的規(guī)律:ds=纟S0dl=0高斯定理有源場）環(huán)路定理（勢場，無旋場）精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔（2）那么：E是否也服從以上兩定理給出的規(guī)律呢？感下面進行具體討論：有了麥克斯韋的有關E的假設后，我們知道引起感生電動勢的相應的感非靜電力就是感生電場力。

15、感生電動勢的大小就等于單位正電荷在閉合電路中運動一周時感生電場力所作的功：眇=!：Edl，否則無感生電動勢dtL感其中是穿過以L為邊界的任一曲面S的磁通，積分路徑L的方向與的正方向成右手螺旋關系，且：BdsdS=-ddt-1JJBdtdtSS回路不動，S不隨t變，所以對t的微分可進入積分號內）注：*曲面S的法線方向應與曲線L的積分方向成右手螺旋關系；*B對t的微商寫成迥（偏導），是因為B還是坐標的函數(shù)，迥表示同一點（X、dtdty、z為常數(shù)）的Bs隨t的變化率。上式說明：E不是勢場，非勢場也稱之為渦旋電場，它始終和B隨感t的變化率聯(lián)系在一起。在的基礎上，麥克斯韋假設:JJEds=JJE感渦ds

16、=0把此式與JJ,Bds=0類比起來認識其性質：說明E線是無頭無尾的閉合感S曲線。此為一假設，其正確性為后來的理論和實驗給予證實（由此假設推出的各種結論都與實驗事實相符，由此驗證其正確性）。（后面的電子感應加速器實驗為感生電場的存在提供了有力證據(jù)）（3）E所遵從的規(guī)律（綜合起來）感卩E-ds=0s感_JE-dl=-邏-dsG為L所圍曲面）L感dtsA、無散場B、4）E、E的性質不同：庫感E是發(fā)散場（有源場），E場線起于正電荷，終于負電荷；E是庫庫感（無源場），E線是無頭無尾的連續(xù)曲線。感E是勢場（無旋場），可以引入電勢概念；E是渦旋場（非勢場）,庫感不能引入電勢概念。C、導體放在E內要產(chǎn)生感生

17、電動勢；導體放在E內要產(chǎn)生靜電感應。感庫（5）總電場的場方程當空間同時存在電荷源和變化磁場時，某時刻空間某一點的總電場為：E=E+E庫感ibE-ds=SJE-dl=-JJs讐E是發(fā)散場，E是渦旋場二、感生電動勢的計算（不作要求）1、有兩種計算方法（1）由e=JE-dl計算感感要求事先知道導線上各點的E，此方法只對軸對稱變化的B適用,感般為已知，但必須記住E的正方向（L上）感（2）由法拉第電磁感應定律計算閉合：8=-妙非閉合時：做輔助線，一般對輔助線感dtiE十-dl=0為最好。感三、螺線管磁場變化引起的感生電場P236P236例1：無限長螺線管的電流隨時間作線性變化，其內部的b也隨時間作線性變

18、化，已知dB的數(shù)值，求無限長螺線管內外空間E分布。（默認Edt感感在趨于無限遠時趨于零）解：在前一章，我們已分別由畢一薩定律加迭加原理和安培環(huán)路定律求出了無限長螺線管內外空間的磁場：管內B均勻，方向平行于軸線，大小B二卩nI0管外B=0現(xiàn)讓螺線管中的電流變化，那么B也隨之而變化。當I作線性變化時，典=常數(shù)，則dB也線性變化，方向同B，大小dB*n收，dB的存在，必dtdtdt0dtdt在B的附近空間產(chǎn)生E，怎樣尋找E呢？感感1、E的方向：P237感在柱坐標（z、r、申）下將E可寫為：E=E+E+E感感zr申我們說此時E具有兩個性質：感（1）E無軸向分量（即E在與軸垂直的平面上）感感（2）E在以

19、軸為心的圓周上無徑向分量，只有切向分量感綜合（1）（2）兩點知管內外的E線為以軸為心的一些同心圓線，E的感感方向在圓周的切線方向上。且由對稱性知同一圓周上各點E具有相同的大感小。P237就（1）證明：過柱壁作一閉合平面曲線ABCD，CD邊在無限遠處。有：jE.dl=-J!邏dsABCDA感StABCDdB位于柱體內，在水平面ABCD內的分量為OdtJE-dl=0感而jE-df=jB+JC+JD+JAABCDA感ABCD管外無限遠處Ef=0感:JDE-dl=0c感而JCE-dl=JDE-dlB感A感J=JB+JC-JD=JBEfdf=0ABCDAABAA感故E的軸向分量為零。感就（2）證明：用反

20、證法，假設有徑向分量（沿徑向向內或向外），沿軸線作圓柱形高斯面，通過此高斯面的通量為：JJE-ds口感=2兀rl-ErJJE-ds+JJE-ds=JJE-dsTOC o 1-5 h z感感感上、下底側側徑向分量方向向外，它0徑向分量方向向內，它V0總之，若有徑向分量，則JJEdf不為零，此與E的性質（JJEds=0）S感感S感矛盾。2、求E的大小感（1）管內：由式JE-dl=-L感St感S選積分路徑L,積分方向沿順吋針，因E為圓周切線方向，且同一圓感周上各點E的大小相等。感精品文檔精品文檔精品文檔JE-dl=JEdl=2兀rEL感L感感而式右邊對以L為邊界的任一曲面求通量，我們把這個面選為以L

21、為邊界的以r為半徑的圓面積（這是最簡單的選法），這塊圓面積上各點遁相dt等且與面的法線平行，故膽.ds二空JJdsdtdtSS故有E=丄巴感2dtdB=兀r2-dtrdB2dtE大小為-感-E方向：與B的變化相反:.若|B|J，普0,若|B|V0,由于B的正方向由L右手而定，所以L的方向規(guī)定為E的正方向，當計感E感與力同向;E感0時E與L同向否則反向。感感（2）管外同理得：dB2兀rE二一兀R2一感dt廠-R2dBE=感2rdt注意：L上各點dB為零但L內圓面積兀r2上各點dB不為零。dtdt例2：求例1螺線管內橫截面上直線段MN的感生電動勢。P239小字部分：自學、電子感應加速器P24024

22、3自學6.5自感精品文檔前面討論了電磁感應現(xiàn)象的一般規(guī)律和應用，在這一節(jié)及下一節(jié)里，對線圈中的兩種典型的電磁感應現(xiàn)象自感及互感現(xiàn)象進行討論。一、自感現(xiàn)象我們知道，線圈中只要磁通量發(fā)生變化，就會產(chǎn)生感應電動勢。而這個磁通量的變化，可以是由于外界的原因引起，也可以是線圈自身的形變或自身的電流變化造成的。在這里主要討論線圈自身電流變化引起周圍磁場變化所帶來的后果：這個后果就是在自身線圈中產(chǎn)生了自感電動勢；在附近其它線圈中產(chǎn)生互感電動勢。這一節(jié)首先討論自感電動勢。定義：由于線圈自身電流不穩(wěn)定，從而在自身線圈中產(chǎn)生感生電動勢的現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。這種感生電動勢叫做自感電動勢，線圈中相應的電流叫做自感電流。

23、自感現(xiàn)象是可以通過實驗觀察出來的。P243244有兩個演示實驗（自學）。不同線圈產(chǎn)生自感現(xiàn)象的能力是不同的。那么線圈的特性與自感現(xiàn)象之間有什么關系呢？為了回答這個問題，下面來討論自感（系數(shù)）。二、自感（系數(shù)）1、自感（系數(shù)）設導體回路由N匝密繞線圈串聯(lián)而成，回路中的電流為I,對于這樣的線圈，電流I在各匝線圈中產(chǎn)生的磁通量基本相同。當線圈中電流發(fā)生變化時，按法拉第電磁感應定律，整個線圈產(chǎn)生的自感電動勢為：dd屮=N自=自自dtdt自是穿過每一匝線圈的磁通量式中W=N是電流I在自身線圈中引起的磁通匝鏈數(shù)，它與磁感應強自自度B成正比，按畢奧一薩伐爾定律，B與I成正比（有鐵芯的情況除外）,所以屮與I成

24、正比，即屮自二LI把比例系數(shù)L叫做線圈的自感系數(shù)，簡稱自感或電感。上式表明：自感系數(shù)L在數(shù)值上等于單位電流在自身線圈中產(chǎn)生的磁通匝鏈數(shù)。實驗證明：在L內無鐵磁性介質存在時，L只依賴于線圈的幾何形狀、大小、匝數(shù)和磁介質的特性以及填充情況，與電流無關（鐵磁質除外）。也就是說，L是由線圈的自身特點決定的，是描寫線圈自身性質的物理量。注意：若回路的幾何形狀可變，而且回路附近有鐵磁性介質時，相應于每一個電流值I，也有相應的值，但和I之間并不是簡單的線性關系,也就沒有關系式的存在?，F(xiàn)將代入式得回路中的自感電動勢為：8=-自=-LdI（L不變,冬=0）自dtdtdt此式表明：自感電動勢與電流的變化率成正比，

25、對于相同的電流變化率,L越大的線圈，產(chǎn)生的自感電動勢越大，所以L從一個側面反映了線圈產(chǎn)生自感現(xiàn)象的能力?？砂咽礁膶懗桑篖一爭dIdt此式表示：回路中的自感系數(shù)，在量值上等于回路中的電流每單位時間改變1單位時，在自身回路中產(chǎn)生的自感電動勢。這是自感L的另一種定義。精品文檔精品文檔精品文檔2、說明：方程是定義L的普遍關系式，這個L值是在dt時間內，當電流從I改變到I+dI時(即與電流值I相應的)的自感值。這個關系式不論回路是否密繞，也不論回路周圍有沒有鐵磁性介質都能適用。當L不變時，定義式與一致，否則不一致。類似于電磁感應定律：&、屮、I均有正方向的約定。自自8與屮右手螺旋自自I與屮右手螺旋自8與

26、I正方向一致自(3)L的單位：亨利1亨利二1韋伯1安培(4)也稱L為“電磁慣性”rdI8ocL自dtdL大，8大，而其方向又是相反的，所以8力圖阻礙原磁通的變化，即dt自自8阻礙理自dt:.L越大，線圈阻礙電流變化的作用8越大。這類似于力學中，物體自質量m越大，阻礙m運動的慣性越大，故稱L為電磁慣性。(5)L一般由實驗測定，只有少數(shù)幾種特殊情況可由定義計算。下面舉例說明L的求解方法。例1：求細長螺線管的自感系數(shù)。P245(自學)。例2(補充)：設有一電纜，由兩個“無限長”的圓筒狀的導體組成，電纜中沿內圓筒和外圓筒流過的電流I大小相等，方向相反。設內外圓筒的精品文檔半徑分別為R、R，求電纜單位長

27、度的自感系數(shù)。P246最下面一段。12解：由安培環(huán)路定理知，在內圓筒之內以及外圓筒之外的空間中B均為零。在內外兩圓筒之間，離開軸線距離為r處的磁感應強度為卩I02兀r考慮長為l的部分電纜：在兩圓筒之間找一面積ABCD，在其中取一面積元，通過面積元idr的磁通量為:卩Idrdo=Bldr=0l-2兀r所以兩圓筒之間（l長的一段）的總磁通量為:二JdO=R2R1pIIdr02兀rpIlR0ln2兀R1由O=LI知，單位長度電纜的自感系數(shù)為:L=*=也ln竺（由電纜本身性質決定）II2兀R1例3（補充）：兩根平行導線，橫截面的半徑都是a,中心相距為d,載有大小相等、方向相反的電流。設兩導線內部的磁通

28、量都可略去不計。證明：這樣一對長度為L的平行直導線的自感系數(shù)為：證明：如圖，距離O為x的P點的磁感應強度為：長度l的線路穿過寬度為dx的磁通為:dxdO=Bds=Bldx=oxx2兀精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔積分：dxdx丿卩II、xIn2兀dx卩IldaIn兀a:.長度i的平行直導線的自感系數(shù)為:證畢。前面講了，線圈自身電流變化時，在自身線圈中要產(chǎn)生自感電動勢，而線圈電流變化，不僅可以在自身線圈中引起感生電動勢，還可以在鄰近的線圈中產(chǎn)生感生電動勢。這就是互感現(xiàn)象。6.6互感一、互感現(xiàn)象及互感系數(shù)1、互感現(xiàn)象相鄰兩個線圈1、2，由于一個線圈的電流變化，在另一個線圈中引起感應電動勢的現(xiàn)象稱

29、為互感現(xiàn)象。在互感現(xiàn)象中產(chǎn)生的電動勢叫做互感電動勢，相應的電流叫做互感電流?；ジ鞋F(xiàn)象與自感現(xiàn)象一樣，都是由電流變化而引起的電磁感應現(xiàn)象，可用討論自感現(xiàn)象類似的方法來進行討論。首先我們來討論描述線圈產(chǎn)生互感現(xiàn)象的能力的物理量-互感系數(shù)。2、互感系數(shù)當兩線圈中分別有電流I和I時，線圈1中的磁通：12=0+011121其中.JqJ/在線圈i中的磁通八W:i在線圈i中的磁通2i2當線圈1有N匝時，線圈1的總磁通或線圈1的總磁鏈為：1屮=N=N0+N0=屮+屮iiiiiii2iii2i苴中.J屮J線圈1的自感磁鏈八:線圈2對線圈1的互感磁鏈21由法拉第電磁感應定律:當兩線圈中電流發(fā)生變化時，線圈1中產(chǎn)生

30、的總感應電動勢（包括自感和互感電動勢兩部分）:=他1dt上節(jié)討論自感時知：屮-LI（電流I在線圈1中產(chǎn)生的總磁通）同理可認為:11111屮*I（I在線圈1中產(chǎn)生的總磁通）2122寫成等式為:(L屮MI21212di)2丿L乞+M.1dt21dt同理:由于i和i的變化，12M為比例系數(shù)）21屮M=J21i2在線圈2中也產(chǎn)生了感應電動勢，寫為=(L綸+M糾.2dt12dt丿M=4212I1可以證明（6.11）：對任意兩線圈，總有M=M=M，稱M為兩線1221圈間的互感系數(shù)，M在數(shù)值上等于一個線圈的單位電流在另一個線圈中產(chǎn)生的磁通匝鏈數(shù)。3、說明（1）實驗證明：M只依賴于線圈的幾何形狀、大小、匝數(shù)、

31、相對位置和磁介質的特性以及填充情況，而與電流無關（鐵磁質除外）。M是由兩線則021圈自身特點所決定，描寫互感性質的物理量。如果回路周圍有鐵磁性物質與I之間、0與I之間無簡單的線性正比關系。2121（2）M同L一樣,一般情況由實驗測定,只有簡單的情況可由定義計算。計算公式：r，所以小線圈處的磁場可以認為是均勻的，穿過小線圈的磁通匝鏈數(shù)為：=NBS=N2IR2兀r212根據(jù)互感系數(shù)定義，兩線圈的互感為：屮u兀R2r2N2M=12=f+二202+12人例題2（補充）如圖，一矩形線圈長a，寬b，由N匝表面絕緣的導線繞成，放在一根很長的直導線旁邊并與之共面。長直導線是一個閉合回路的一部分，其它部分離線圈

32、都很遠，影響可略去不計。求圖（a）（b）情況下，線圈與長直導線之間的互感系數(shù)。解：（1）在圖（a）中，設導線中載電流i,載流長直導線在距離x處產(chǎn)1精品文檔生的B大小為:它通過矩形線圈的磁鏈為：屮=J卯=JNBds1212ds=adxTOC o 1-5 h z-込J1ds=出乞J2b1dx2兀x2兀bx卩NIa2b卩NIa、宀oIn=oIn22兀b2?；ジ邢禂?shù)為：M二也二疊ln2I2兀1（2）在圖（b）中，因為通過矩形線圈的磁鏈M=0例題3（補充）：一直導線與等邊三角形線圈共面，設三角形高為h，平行于直導線的一邊到直導線的距離為b（如圖），求它們之間的互感系數(shù)。解：設長直導線通有電流I,在三角形

33、內產(chǎn)生的磁通為:J：晁+仁2Xtg30。dXxdxb+h-x二黑+h治字-h互感系數(shù)：M二3r+h九字-h面討論兩個線圈的連接：二、互感線圈的串聯(lián)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔兩個有互感耦合的線圈的串聯(lián)等效為一個自感線圈，下面進行具體討論。1、兩線圈順接（兩線圈中I相同）如圖連接時，兩線圈電流的磁通互相加強，每個線圈的磁鏈都等于自感和互感磁鏈之和，即：屮二屮+屮11121屮二屮+屮22212因兩線圈中的電流相等，所以兩線圈中產(chǎn)生的感生電動勢為（自、互=-（L+M）dI1dt=-（L+M）dI2dt之和）=-fLdI+M雪V1dtdt丿=-fL生+M生V2dtdt丿串聯(lián)后兩線圈中的總電動勢等于

34、每個線圈的電動勢之和，即=+=（L+L+2M-o=L-1212dt自dt上式說明：兩個線圈的串聯(lián)等效于一個自感線圈，其等效自感系數(shù)為：L=L+L+2M12它不等于兩個線圈自感系數(shù)的和，而是：順接而成的等效線圈的自感系數(shù)大于兩個線圈自感系數(shù)之和。2、兩線圈逆接（兩線圈中I相反）如圖連接時，兩線圈電流的磁通互相削弱，故屮=屮屮11121屮=屮屮22212于是精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔=-(L1-M)生dt=-(L2-M)dIdt=-(LdI-M生V1dtdt丿=-fLd-MdLV2dtdt丿逆接后等效線圈的總電動勢=+8=-（L+L-2M1212dt等效自感系數(shù)為L=L+L-2M，即逆接而成

35、的等效線圈的自感系數(shù)小12于兩線圈自感系數(shù)之和。3、兩線圈間沒有互感耦合，即M=0,則l=L+L，這時沒有必要再分12順接和逆接，且兩個無互感耦合的線圈串聯(lián)而成的等效線圈的自感系數(shù)等于每個線圈的自感系數(shù)之和。4、若兩線圈間存在“完全耦合”（即=，=），則M=JLL1112222112L=L+L土2-LL。12、126.7渦電流（感應電流）前面討論感應電動勢和感應電流時，我們考慮的導體或導體回路實際上都是導線回路。但是在一些電器設備中，常常遇到大塊的金屬體在磁場中運動，或者處在不斷變化的磁場中，這時，在金屬體內部也要產(chǎn)生感應電流，這種電流在金屬體內部自成閉合回路，稱為渦電流。如鐵芯線圈通過交變電

36、流時在鐵芯內部激起的渦流如圖，此渦流是由變化磁場激發(fā)的感生電場引起的。一、渦流熱效應的應用與危害1、應用由于大塊金屬或鐵芯的電阻很小，渦電流可以達到很大的數(shù)值，在鐵精品文檔精品文檔芯中將放出大量的焦耳-楞次熱?？梢岳脺u流的熱效應制成高頻感應爐來對其它金屬加熱或冶煉特種合金和特種鋼等。d6diTsxx=Icost感應dtdt0d68xxdt渦流Ix渦流I產(chǎn)生的焦耳熱xe2使用高頻的（外加）交變電流時，鐵芯內由于渦電流將放出巨大的熱量。2、危害對變壓器和電機的行為不利。（1）熱效應使鐵芯升溫，危及線圈絕緣材料的壽命甚至燒毀絕緣材料，還可能導致變壓器或電機的損壞；（2）渦流發(fā)熱使能量損失，降低了變

37、壓器和電機的工作效率；（3）為減小渦流，常將變壓器和電機的鐵芯用許多很薄的硅鋼片迭加而成（不用整塊鐵芯），并在每塊之間涂上絕緣材料，隔斷渦流的通路，且硅鋼片越薄越好。二、渦流磁效應的應用電磁阻尼如圖，在N、S極之間擺動的銅板A,當電磁鐵未通電流時（無b），銅板A要擺動很多次才停下來；電磁鐵一旦通以電流（有B，且A中的B變化），A很快停止擺動。這是由于A在擺動過程中，A中的磁場變化引起了渦流。（A的前半部分B減少，渦流順時針，A的后半部分B增加，渦流逆時針），渦流受到磁場的安培力阻礙A板的運動，故A板很快停下來。精品文檔精品文檔電磁阻尼常在電學測量儀表中應用，使指針很快停下來。如磁電式電流計的線

38、圈常繞在一個封閉的鋁框上，測量時，鋁框隨線圈在磁場中一起轉動，鋁框中由于感應電流而受到的安培力，同樣起電磁阻尼的作用，并使指針很快停下來。三、趨膚效應一段均勻的柱狀導體通過直流電流時，電流密度在導體的橫截面上是均勻分布的。若交流電流通過導體時，橫截面上的電流分布不再均勻，而是越接近導體表面，電流密度越大，這叫做趨膚效應，其詳細機制在電動力學中引入，在這作定性說明。圓柱內剛通電流時，00與相反，渦流如圖方向。在中心感處I與I方向相反，所以電流趨向于表面。感導體中流過交變電流時，時變電磁場在導體中引起渦流，而變化著的渦流又反過來激發(fā)變化的電磁場，如此互相影響，可見趨膚效應是一個相當復雜的過程。6.

39、8RL電路的暫態(tài)過程一、暫態(tài)過程在恒定電路中，當電阻與電源組成的電路接通時，閉合電路中立即產(chǎn)生一個穩(wěn)定電流i=Ur，電路達到穩(wěn)定狀態(tài)。任何時候電流I和外加電壓U總是一一對應的。但是，在有自感存在的電路中，當突然接通或斷開電源時，外加電壓發(fā)生突變，相應的電流卻不發(fā)生突變，而是逐漸增加到穩(wěn)態(tài)值或減少到零。因此，在這一過程中，電流與外加電壓并不是一一對應的電流隨時間而變化，經(jīng)過一個連續(xù)變化的過渡過程，電路才從一種穩(wěn)定狀精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔態(tài)，達到另一種穩(wěn)定狀態(tài)。1、定義穩(wěn)態(tài)電路的電流（或各元件上的電壓）為穩(wěn)定值，不隨時間變化時的電路狀態(tài)。2、定義暫態(tài)過程電路從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)所經(jīng)歷的

40、過渡過程。3、約定小寫字母表示隨時間變化的量，如變化電流i；大寫字母表示不隨時間變化的量，如穩(wěn)態(tài)電流I。4、在R和C組成的電路中，也有暫態(tài)過程。下面分別討論RL、RC和RLC電路暫態(tài)過程中電流、電壓隨時間的變化規(guī)律。5、在討論暫態(tài)過程中，要用到歐姆定律和基爾霍夫定律。本來，對于變化的電流，歐姆定律和基爾霍夫定律并不成立，因為當電流變化時，同一時刻導線中各截面上的電流并不相同。公式中的I究竟代表的是哪一截面上的電流已無意義。但是，當電流變化比較緩慢時，任何時刻，導線上各截面的電流可以近似看作相同，對這種變化緩慢的似穩(wěn)電流，歐姆定律和基爾霍夫定律仍可應用。下面首先討論RL電路的暫態(tài)過程，分兩種情況

41、進行討論。二、RL電路與直流電源的接通如圖，設線圈和電源的電阻為零。設t=0時刻，按下開關K，將R、L與電動勢為的直流電源接通?，F(xiàn)在討論：暫態(tài)過程（t=0以后）中回路中電流i（t）的變化規(guī)律。K接通后（暫態(tài)過程中），線圈L將因電流i的變化而產(chǎn)生自感電動勢e，自精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔這時線圈L的作用相當于一個電源。在這里我們約定：電流i和自感電動勢e的正方向如圖中箭頭方向。自在某時刻t,回路中電流為i(t),線圈中自感電動勢為:TdiC)0宀=一L自dt根據(jù)基爾霍夫定律或一段含源電路的歐姆定律得：+e亠=iR自或一L竺=iRdt或L空+Ri-=0(為一關于i(t)的微分方程)dt用分離

42、變量法得出此方程的通解為：i（t）=+Ae-R其中A為積分常數(shù),由初始條件而定。下面尋找初始條件。因為開關接通前，電路中無電流，即t=0時，i(o)=0，這就是要找的初始條件。將其代入通解中得積分常數(shù)A=-!。將積分常數(shù)代入通解中得滿R足初始條件的特解為：1-eLt=I1-eLt丿丿5I二1，i(t)的變化曲線如圖R說明：(1)在RL電路接通電源后的暫態(tài)過程中，電流隨時間的變化規(guī)律為i(t)=IG-e-L這是一個指數(shù)形式的變化，它說明i并非從0突變到穩(wěn)I丿態(tài)值I，而要經(jīng)過一個過渡過程。(2)電流穩(wěn)態(tài)值I=1，與線圈的自感L無關，但L卻影響i(t)趨近穩(wěn)R態(tài)值的快慢。從i(t)的表達式中知，心趨

43、近穩(wěn)態(tài)值的快慢由比值LR唯一決定：比值LR越大，貝Ui（t）越小，說明這種情況下電流增長慢，相應的暫態(tài)過程持續(xù)時間較長；若LR越小，則i（t）越大，說明這種情況下電流增長快，相應的暫態(tài)過程持續(xù)時間較短。因此，Lr是表征暫態(tài)過程持續(xù)時間長短的特征量，它具有時間的量綱，稱為RL電路的時間常數(shù)，用T表示。即t=LR當t=t=LR時，有i（t）二iC）=IC一e-J=0.631可見：T表示電流從零增長到穩(wěn)態(tài)值的63%所需要的時間，T越大則達到0.63I所需的時間越長，因而暫態(tài)過程越慢。（3）理論上：t*時，i（J=2；實際中：t=5T時，i（t）仝二。RR以上討論了RL電路接通電源時，心隨時間增加的規(guī)

44、律，現(xiàn)討論當RL電路已通電達穩(wěn)態(tài)后，使之短接（斷電），從而使iQ減少的過程中i（t）隨時間變化（減少）的規(guī)律。三、已通電RL電路的短接在右圖中，當通過RL的電流已經(jīng)穩(wěn)定以后，按下開關K原電路被開關K所在的短路線cd分為兩個互不影響的回路：abcda和dcfgd。對于含R、L的回路abcda，K接通后雖然它已經(jīng)脫離電源，但由于L的自感作用，該回路中的電流還要持續(xù)一段時間才會消失這期間（暫態(tài)過程中）電流滿足的微分方程為：Ld+Ri=0（令=0即可）dt分離變量求解得方程的通解為：i（t）=Ae-tt（A為積分常數(shù)，由初始條件確定）精品文檔精品文檔精品文檔而初始條件為：t=0時，（0）=1o=為，代

45、入上式得8A=I=oR+R故i（t）=Ie-L0說明：（1）電流i（t）不能立即減小到零，而是從I開始隨時間按指數(shù)規(guī)0律減小（衰減），最后到達i二0的穩(wěn)態(tài)。（2）仍有。=LR，RL電路短接后暫態(tài)過程的快慢仍取決于時間常數(shù)p。但t=t時，心降至初始值I的37%。0（3）理論上:tT8時，i（co）=0；實際中：t=5r時，iC）仝0例1（補充）：習題6.8.5P280-281解：（1）開關S閉合后，回路ARBLS8A滿足微分方程：18-Ld=iRdt1通解：心=二+Ae-孑R1初始條件：i(t)=t=0R+R12代入上式得A=-R+R)112心亠（迸*七RRW+R/1112、-Rtel丿二1-開

46、關S閉合t8+eR+R12時間后通過L的電流i（t）開關S斷開t時間1后通過L的電流(2)當t時88Ri=-2e-1RR+R11128RU=iR=82e-1AB1R+R12代入數(shù)據(jù)7.5（伏）精品文檔例2(補充)：習題6.8.7P281解：(1)S斷開，S接通時，流過線圈的電流為:R+R一12t1eLtULdi+（R+R）-8=0dt1221R+R12t時刻的電流為：1i（t）-81t-t1、R+R1“一12t1el1丿R+R12(2)t時刻合上開關S后，SrL回路滿足的方程為:122L塵+Ri=0dt22解得：i-Ae一警2初始條件：i(t)2t=t1=iC）=811R+RI12、R+R1“

47、一12t1el1丿即有（代入i的表達式中）：8一2R+RI12、R+R1門12t1el1丿R+R4一12t-1el1R+R121eLR+RI12R+R12i-t曲線如右圖。丿*四、已通電RL電路的切斷P260-261自學上面講了RL電路的暫態(tài)過程，它說明在有自感存在的電路中，當突然接通或斷開電源時，外加電壓發(fā)生突變，相應的電流卻不發(fā)生突變，而是逐漸增加到穩(wěn)態(tài)值或減少到零。在RC電路中，當外加電壓突然變化時，電容器C上的電壓或電荷量，也要經(jīng)歷一個逐漸變化的過程，這就是電容器精品文檔通過電阻充電或放電的暫態(tài)過程。下面進行具體討論。6.9RC電路的暫態(tài)過程一、RC電路與直流電源的接通在RC電路的暫態(tài)

48、過程中，看重討論的是電容器兩端的電壓隨時間變化的規(guī)律。如圖，K置于1時電路處于穩(wěn)態(tài)，u=0，當K改置于“2”C時，RC支路與直充電源*接通，電容C充電。設t=0時刻，K接通“2”，則t時刻（由基氏定律）：=u+u=iC）R+u（t）RCC為了找到u的變化規(guī)律，以上方程應消去其它隨t變化的量（統(tǒng)一變C量）。uR=i（t）R中的iC）應是單位時間內流向（進）電容的電量，即：i=如dt而q=Cu（電容器的電荷量永遠與其相應的電壓成正比）Cdui=CCdt故上述方程變?yōu)椋篟Cdudt此為一關于u的微分方程C其通解：u（t）=+AeRe（A為積分常數(shù)）C初始條件：t=0時，u（0）=0A=-C即：r亠）

49、u=1ercC丿說明：1）上式為RC電路接通電源的暫態(tài)過程中u隨時間變化的規(guī)律。C精品文檔（2）上式說明：當接通電源時，電容充電并非其電壓從零突變到穩(wěn)態(tài)值，而是以指數(shù)形式隨十增加，最后到。（3）令rc，稱為RC電路的時間常數(shù)，描述電容充電過程的快慢:T越大，越慢。t二t時，u增為最大值的63%。C（4）理論上，t*時，u丸C實際中：tT5t時，u8C二、已充電RC電路的短接如圖，開關K置于2時，經(jīng)過暫態(tài)過程后電路處于穩(wěn)態(tài)（u=8），C開關改置于1后，RC支路被短接，電容C放電，這時有：u+u=0RCiR+u=0C統(tǒng)一變量得RCc+u=0dtC其通解為：u（t）=Ae-RC（A為積分常數(shù)）C初始

50、條件：t=0時，u（0）=8，所以A二8Ciu（t）=8e-rcC上式說明：RC支路被短接的暫態(tài)過程中，u以指數(shù)形式隨時間減小C并非從8突變到零。時間常數(shù)仍為t=RC，且t=T時，u減為8的37%=5t時,C=0。*三、較復雜RC電路的暫態(tài)過程P263-265自學例1（補充）：習題6.9.2P281解：開關K斷開后電容回路滿足的微分方程為:精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔或RCd+u=02dtC通解：u=AeRgC初始條件：u(t)=遲，代入上式得A=uCt=0R+R12R2R+R12R_亠u=2eRgCR+R_亠ercR+R1212er2c=duRi=CC=C-2-CdtR+R12負號表示實

51、際情況下i為放電電流。C例2(補充)：習題6.9.3P281解：電路滿足的微分方程duRCC+u=dtC通解：u=+AercC初始條件：uC(t)(=o=令，代入上式得A=令-8fQ)亠u=8+1oercCIC丿電量q二Cu=C+(Q8C-rcC0證畢。前面討論了RL、RC電路的暫態(tài)過程，下面討論既有L,又有C的電路即RLC電路的暫態(tài)過程。6.10RLC電路的暫態(tài)過程這是一個比較復雜的暫態(tài)過程，我們先討論短路時RLC電路的暫態(tài)過精品文檔精品文檔精品文檔程。一、已充電RLC電路的短接如圖的RLC電路中，（K斷開時）設電容器已充電至電壓U然后接通開關K,電容器將通過電阻R放電。這一放電過程（暫態(tài)過程）的數(shù)學關系比較復雜，下面我們先從能量轉換的角度對上述暫態(tài)過程作一定性討論，書后面的小字部分再給出定量推導。1、特殊情形：R=0（電路中無電阻，C通過L放電）。當放電開始時，電容器中原來積累的電荷量（q二Cu）開始減少（電C能W=1Cu2I），當u降為0時，電能W=0；另一方面，電容的放電電流e2CCe通過線圈，使線圈中的電流從0開始增加，從而使L中的磁場增加，磁能增加（W=1LI2由下節(jié)給出），由能量轉化與守恒定律可知，在回路無其它m2元件時，當u=0，W=0時，磁能W最大且等于t=0時的電能。Cem放電結束后，C的全部電能轉化為L中的磁能，此時電路中的電流（也是線圈中的電流）不