傅立葉變換-通俗發(fā)(共17頁)

1、如果(rgu)看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧 HYPERLINK /people/Erdnussoelbearbeiter t _blank Heinrich4 天前（轉(zhuǎn)載(zhunzi)請注明出處，真的不費(fèi)事）我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時候?qū)懙模钱?dāng)時(dngsh)沒有來得及寫完就出國了于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就

2、懵圈并從此對它深惡痛絕。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。以上是定場詩下面進(jìn)入正題：抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來

3、，或是存下地址，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多一、嘛叫頻域從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。先舉一個(y )公式(gngsh)上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切(tiqi)不過的

4、例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：好的！下課，同學(xué)們再見。是的，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。將以上兩圖簡化：時域：頻域：在時域，我們觀察到鋼琴(gngqn)的琴弦一會上一會(y hu)下的擺動(bidng)，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。所（前方高能！非戰(zhàn)斗人員退散）以（前方高能預(yù)

5、警前方高能）你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。（眾人：雞湯滾出知乎?。┍?，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)還是舉個栗子并且有圖有真相才好理

6、解。如果(rgu)我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：第一幅圖是一個(y )郁悶的正弦波cos（x）第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個發(fā)春(f chn)的正弦波的疊加第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？（只要努力，彎的都能掰直?。╇S著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而

7、成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法(fngf)用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們(w men)換一個角度來看看：在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有(suyu)正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都

8、是不同的。一定有細(xì)心(xxn)的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率(pnl)的正弦波我們成為頻率分量。好了，關(guān)鍵(gunjin)的地方來了！如果我們(w men)把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。（好吧，數(shù)學(xué)稱法為基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基

9、本單元就是。有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線(zhxin)上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓知乎不能傳動態(tài)圖真是太讓人惋惜(wnx)了想看動圖的同學(xué)(tng xu)請戳這里： HYPERLINK /wiki/File:Fourier_serie

10、s_square_wave_circles_animation.gif t _blank File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里： HYPERLINK /wiki/File:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif t _blank File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一

11、看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：這是什么奇怪(qgui)的東西？這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里(zhl)然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是再清楚(qng chu)一點(diǎn)：可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應(yīng)了圖中的彩色(cis)直線。振幅為0的正弦波。動圖請戳： HYPERLINK /wiki/File:Fourier_series_and_transform.gif t _blank File:Fourier series and transform.gif老實(shí)說，在

12、我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)(chxin)，那時我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小

13、齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)抱歉，還是沒寫完。但是我想堅持看到這里的人已經(jīng)(y jing)很不容易了。我們都休息一下，下一講再繼續(xù)上一篇文章發(fā)出來之后，為了(wi le)掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽到一句“完全(wnqun)看不懂啊”。幸虧我留了

14、個心眼，不然就真的像標(biāo)題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過來掐死我，潛臺詞就是在你學(xué)了，但是沒學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過來掐死我。另外，想跟很多人抱歉，因為評論太多了，時間有限，不能給每個人回復(fù)，還望大家諒解。但是很感謝一直在評論區(qū)幫忙解答讀者問題的各位，就不一一了。這里鄭重感謝大連海事大學(xué)的吳楠老師，一位學(xué)識淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當(dāng)時大三他教我通信原理，但是他先用了4結(jié)課幫我們復(fù)習(xí)了很多信號與系統(tǒng)的基本概念，那個用樂譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對這門課豁然開朗，才有了今天的這篇文章。今天的定場詩有點(diǎn)長下面繼續(xù)開始我們無節(jié)操的旅程：

15、上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。在第二課最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個分割線。先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：先在紙上畫一個sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說(bi shu)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時候(sh hou)上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？好，畫不出來(ch li

16、)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。再說一個更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)

17、麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。下面我們繼續(xù)說相位譜：通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的

18、圖。鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是(jish)那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近(zujn)的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些(zhxi)粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。這里需要(xyo)糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者(huzh)360度的話(dehu)，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最

19、下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜。”注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi，所以圖中的相位差均為Pi。最后(zuhu)來一張大(zhngd)集合：好了，你是不是覺得(ju de)我們已經(jīng)講完傅里葉級數(shù)了？抱

20、歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式。接下去才是最究極的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)。但是為了能更好的理解指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，我們還需要一個工具來幫忙歐拉公式。歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，我們下一講再講。謝謝大家（鞠躬）。今天講的部分不多，但是我希望大家能夠(nnggu)理解，我也有自己的生活，留給知乎的時間并不多，但是我很喜歡在知乎與別人(birn)交流(jioli)的過程。上一次的那些文章大家知道我當(dāng)時寫了多久么？四天，每天寫6小時那種，而且當(dāng)時還是在假期。主要是圖太不好做了，有人問到作圖的方法，其實(shí)就是簡單的MATLAB+PHOTOSHOP，作圖的確是很費(fèi)時

21、間，但是我相信做出這些圖是值得的，因為我相信圖一定比文字更好理解。也希望可以將這些自己學(xué)習(xí)時的感受和經(jīng)驗更完整的分享給需要的人。所以請大家稍微有點(diǎn)耐心，我會認(rèn)真把這個故事講完。也謝謝大家的理解和支持。最后推薦一下 HYPERLINK /people/e59d1cc30c2fd98ebc221786dfb4a58f 張?zhí)K的答案： HYPERLINK /question/22202980/answer/20973635 如何學(xué)會傅里葉變換？ HYPERLINK /people/zhang-su-franklin 張?zhí)K，算法工程師 HYPERLINK /people/jerryjazzy Jerry

22、Jazzy、 HYPERLINK /people/wang-hui-17 o 王輝 王輝、 HYPERLINK /people/yz-yang-67 o Yz Yang Yz Yang HYPERLINK javascript:; 等人贊同-我正在和論文搏斗 先給個簡單答案吧對工科生來講，傅里葉變換可以從三個層次來看：傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）- 離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）- 快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform）FT是理論基礎(chǔ)，以FT為理論基礎(chǔ)，可以完成從頻率估計到求解微分方程各式各樣的

23、問題；DFT是指信號被采樣之后你會得到離散（如你需要處理的音頻信號被采樣）而非連續(xù)的信號，這個時候就需要DFT來告訴你怎樣處理并告知你一些離散情況下的特殊問題；FFT是一種計算DFT的算法，計算復(fù)雜度很低也就是執(zhí)行起來很快的意思。舉個例子吧：有人通過在小黑屋按鋼琴的一個鍵不松會產(chǎn)生一個單音信號給你傳遞情報，信號的頻率取決于他所按的鍵。你看不見他，卻希望獲知信號的頻率。怎么辦？1.FT的理論就會告訴你可以通過傅里葉變化獲知這個頻率。但是這個信號飄蕩在空中，你需要先通過采樣得到一個離散信號(是采樣頻率，香農(nóng)和奈奎斯特告訴我們，需要)。2.得到離散信號后如何計算，DFT就會告訴你怎么辦;3.你嫌DFT太慢了怎么辦，F(xiàn)FT就粉墨登場了。從你計算機(jī)的專業(yè)背景和希望做音頻降噪的需求來看。你需要掌握的是DFT和FFT我建議1. 找本高等數(shù)學(xué)的書，花半個小時看看什么是FT；2. 強(qiáng)烈推薦Understa