多目標優(yōu)化（39頁)ppt課件

1、建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問題數(shù)學(xué)模型中的尺度變換多目的函數(shù)優(yōu)化設(shè)計關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計問題優(yōu)化方法的選擇及評價準那么第七章 關(guān)于機械優(yōu)化設(shè)計當中的 幾個問題優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計變量，目的函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計變量確實定 工程設(shè)計中總是包含許多各種設(shè)計參數(shù)。在確定設(shè)計變量時，要對各種參數(shù)加以分析，以進展取舍。 設(shè)計變量必需是獨立變量。要從優(yōu)相互依賴關(guān)系的變量中剔除非獨立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問題 以下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)。 等腰梯形機構(gòu)ABCD中，給定機架長度LAD=a常數(shù)。當汽車轉(zhuǎn)彎時，為了保證一切車輪都處于純滾動，要求從動件CD轉(zhuǎn)角 與自動件AB轉(zhuǎn)角 堅持

2、某確定關(guān)系 該四桿機構(gòu)的參數(shù)有各桿長度：l1,l2,l3,l4，和初始角 其中l(wèi)4=a為知，是設(shè)計常量；又l1=l3，l3為非獨立變量；又 ，l2是l1與 的函數(shù)，故l2也為非獨立變量。所以只需兩個參數(shù)是獨立變量 設(shè)計變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計的自在度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會使目的函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計算量增大，并使優(yōu)化過程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目的函數(shù)時，確定設(shè)計變量的原那么是在滿足設(shè)計要求得前提下，將盡能夠減少設(shè)計變量的個數(shù)，即降低維數(shù)。 按設(shè)計問題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計問題規(guī)模分為三類：小型優(yōu)化問題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問題：維數(shù)1

3、0-50大型優(yōu)化問題：維數(shù)50以上7.1.2關(guān)于目的函數(shù)的建立 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型中的目的函數(shù)Fx，是以設(shè)計變量表示設(shè)計問題所追求的某一種或幾種性能目的的解析表達式，用它來評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計所追求的性能目的較多，建立目的函數(shù)，要針對影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的目的作為設(shè)計追求的根本目的寫入目的函數(shù)。所建立的目的函數(shù)普通分為：單目的函數(shù)，多目的函數(shù) 普通的，所包含的分目的函數(shù)越多，設(shè)計結(jié)果越完善，但設(shè)計求解的難度增大。因此，在實踐設(shè)計中，在滿足設(shè)計性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目的函數(shù)的個數(shù)。7.1.3關(guān)于約束條件問題 設(shè)計約束是在設(shè)計中對設(shè)計變量所提出的種種限制來確定的。約

4、束條件表達式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊境約束與性能約束等。 在設(shè)計中應(yīng)盡量減少約束條件的個數(shù)。在眾多約束條件中，能夠存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時，而有另一個或幾個約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。假設(shè)經(jīng)分析能確認是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)將其除掉。在普通情況下，消極約束是不容易識別出來的。所以，在很多時候，仍是將全部約束都列出來，不加區(qū)別的代進算法程序中求解計算。7.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換 數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問題，是指用過改動在設(shè)計空間中個坐標分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種方法。7.2.1設(shè)計變量的尺度變

5、換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目的函數(shù)的尺度變換7.3多目的函數(shù)優(yōu)化問題 在設(shè)計中，優(yōu)化設(shè)計方案的好壞僅依賴于一項設(shè)計目的，即所建立的目的函數(shù)僅含一個目的的函數(shù)，這樣的目的函數(shù)稱為單目的函數(shù)，屬于單目的優(yōu)化設(shè)計問題。 在許多實踐設(shè)計中，一個設(shè)計方案又企望有幾項設(shè)計指標同時都到達最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計中同時要求兩項極其以上設(shè)計目的到達最優(yōu)值得問題，成為多目的優(yōu)化設(shè)計，目標函數(shù)稱為多目的函數(shù)。7.3.1多目的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化設(shè)計中，假設(shè)有m個設(shè)計目的表達的目的函數(shù)要求同時到達最優(yōu)，那么表示為上式稱為向量目的函數(shù)，是多目的函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),，fm(x)稱為目的函數(shù)中

6、的各分目的函數(shù)。數(shù)學(xué)模型的普通表達式gu(x) 0 (u=1,2,，p)hv(x)=0 (v=1,2，qn) 為了與單目的優(yōu)化問題相區(qū)別，在目的函數(shù)前加V，即表示為7.3.2多目的優(yōu)化設(shè)計的概念 在單目的優(yōu)化設(shè)計中，對于各種性態(tài)函數(shù)，總可以經(jīng)過對迭代點函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對恣意兩個解都能判別其優(yōu)劣。而多目的函數(shù)問題與單目的那么有根本區(qū)別，任意兩個解之間，就不一定能判別出優(yōu)劣。1絕對最優(yōu)解定義一：普通表達式多目的設(shè)計優(yōu)化問題，假設(shè)包括一切的J=1，2，m對于恣意的設(shè)計點xD都有 fj(x) fj(x*)成立，那么點x*是多目的優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解。無約束一維多目的優(yōu)化設(shè)計問題(維數(shù)n=

7、1，分目的m=2)x*為絕對最優(yōu)解得迭代點，絕對最優(yōu)解x*，F(xiàn)*約束一維多目的優(yōu)化設(shè)計解的情況。在可行域0，1中，絕對最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對最優(yōu)解x*，F(xiàn)*n=2m=2約束多目的優(yōu)化設(shè)計解的情況，點x*為最優(yōu)點。2有效解非裂解與劣解定義二：對于普通表達式，假設(shè)有設(shè)計點xD，不存在恣意的xD，使F(x) F(x*)成立，或fj(x) fj(x*)，對于一切的j=1，2，m成立。那么稱x*為有效解或非劣解。例7.1 一個二維分目的n=1，m=2的多目的優(yōu)化問題為D：見右以下圖。取x=b，該點是有效解。由于在可行域D內(nèi)，任取另一點X，不存在F(x) F(b)，即f1(x) f1(b)，又同

8、時有f2(x) f2(b)。x=b點滿足有效解定義。同理，區(qū)間1，2中的恣意一點都滿足有效解定義。所以，區(qū)間1，2組成了有效解非劣解集。定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計點均稱劣解點，劣解點的全部稱為劣解集。例7.2一個二維分目的的多目的優(yōu)化設(shè)計問題。D：見右圖，在可行域0，4內(nèi)，區(qū)間1，3為有效解集；0，1，3，4為劣解集。例7.3二維n=2兩個分目的m=2優(yōu)化問題。分目的函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目的函數(shù)等值線見右以下圖。該優(yōu)化問題不存在絕對最優(yōu)解，可行域D邊境上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其他部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目的函數(shù)構(gòu)成空間

9、圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對應(yīng)，一些目的函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。3最終解選好解 從有效解中選出最終解或稱選好解。如無某種要求，普通從有效解集A1A2曲線或Q1Q2曲線中任選一點，都可作為最終解；有時，設(shè)計者要根據(jù)設(shè)計問題的不同要求與志愿，從中選出一個符合某種要求“稱心的解作為最終解。7.3.3多目的優(yōu)化問題的求解方法 多目的優(yōu)化求解方法大體分為兩大類。 其一是將多目的優(yōu)化問題化為一系列單目的優(yōu)化問題求解；另一是將多目的優(yōu)化問題重新構(gòu)呵斥一個新的函數(shù)，即評價函數(shù)，從而將多目的優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u價目的函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法 該方法的根本思想是將中的m個目的函數(shù)

10、按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊，重要的目的函數(shù)排在前面，然后依次對分目的函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個目的函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個目的最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目的函數(shù)的最優(yōu)解經(jīng)常是獨一的，其最優(yōu)解域的集合只需一個設(shè)計點那么求下一個目的函數(shù)的最優(yōu)解就無意義了。 為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解選好解的功能，那么將各目的函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個分目的函數(shù)求優(yōu)時，能在前一個最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。詳細做法如下： 對普通表達式的多目的優(yōu)化設(shè)計問題，給各分目的函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是 那么寬容分層序列法的步驟如下m求解得到最優(yōu)解上式也可寫為求解得到最優(yōu)解i=1，2，m

11、-1取最后一個目的函數(shù)的最優(yōu)點 作為多目的優(yōu)化問題的最優(yōu)點x*。即二，線形加權(quán)法 線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處置多目的優(yōu)化問題常用的較簡單的一種方法。 按各分函數(shù)的重要程度，對應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)1，2，m。其界限為j=1，2，m用fj(x)與j(x)j=1，2，m的線形組合構(gòu)成一個評價函數(shù)求新的評價函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x) 0 hv(x)=0 D：x*即將普通式的單多目的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成求上式的單目的優(yōu)化問題 關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)jj=1，2，m，希望能準確的反映各目的函數(shù)在整個多目的優(yōu)化問題中的重要程度，它是一個困難且較復(fù)雜的問題，假設(shè)獲得合理，那么可以到達預(yù)期優(yōu)化的目的，否那么有

12、能夠呵斥計算錯誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計者評設(shè)計閱歷直接給定，也有用試算統(tǒng)計計算。j=1，2，m 其中， j=1，2，m即分目的在可行域內(nèi)的最優(yōu)目的函數(shù)值。式中的 反映了各分目的函數(shù)分開各自最優(yōu)值得程度。三，理想點法 多目的優(yōu)化問題的普通式中，先求出各分目的函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解 j=1，2，m最有函數(shù)值向量 上式稱為理想解。 假設(shè)在本問題不存在絕對最優(yōu)解的情況下，對于向量目標函數(shù) 來說理想解似得不到的；但要力求使各分目的僅能夠接近各自的理想值，那么可以以為到達有效解中的選好解。 在實踐的設(shè)計中，也經(jīng)常按照設(shè)計者的閱歷與期望制定出一個合理的各分目的函數(shù)值構(gòu)成理想解將 與 在寫法上

13、一致為 ，在構(gòu)造設(shè)計方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下方式相對離差加權(quán)相對離差平方和加權(quán)離差絕對值離差將式 中的多目的函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目的函數(shù)作為評價函數(shù)，用評價目的函數(shù)的解作為原多目的優(yōu)化問題的最終解。其表達式為gu(x) 0hv(x)=0 D：四，乘除法 該方法適于處置下面問題。按分目的函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目的函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，構(gòu)造緊湊，原資料耗費少，加工本錢和加工費低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類表現(xiàn)為目標函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機械效率，零件強度及剛度，利潤，承載才干等。建議如下構(gòu)造評價函數(shù)：其中，s(sm)為

14、第一類函數(shù)，(分目的函數(shù)期望取小)假設(shè)有兩個分目的函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如以下圖所示過域Df內(nèi)的任一經(jīng)過原點o的直線oA，它的斜率為當 時，即直線oA移到與域Df邊境的左方相切，切點為Q，點Q對應(yīng)的函數(shù)值 即為乘除法求得的選好解五，協(xié)調(diào)曲線法 這種方法是用來處理設(shè)計目的相互矛盾的多目的設(shè)計優(yōu)化問題，為求最終解須對普通式個分目的函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目的優(yōu)化問題的最終解。 現(xiàn)以兩個分目的函數(shù)組成的多目的優(yōu)化問題為例。兩分目的的最優(yōu)點分別在A1及A2，它們的分目的函數(shù)值為A1點A2點在可行域D內(nèi)任取一點B，其分目的函數(shù)值為當固定

15、 ，極小化f1(x)的可行域邊境點C，C點的分目的函數(shù)值為當固定 ，極小化f2(x)的可行域邊境點C，C點的分目的函數(shù)值為 可見，C，D兩點都優(yōu)于B點，在CD曲線上任選一點代表的方案至少有一個目的函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點都優(yōu)于B點。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解最終解應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。 為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標建立一個新的坐標系，見前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到新的坐標系中，對應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，那么將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。 為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個選好解，普

16、通需另外一項目的，為此在2圖中畫出稱心曲線，隨著稱心程度的添加可使分目標函數(shù)值均有所下降，直到o點，此點是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最稱心設(shè)計方案。分目的函數(shù)值為 如何確定稱心函數(shù)或稱心曲線，要按工程實踐情況，很多時候是依設(shè)計者的實際閱歷而設(shè)置；也可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)而定。必要時對分目的函數(shù)實行線形加權(quán)。 協(xié)調(diào)曲線法適宜分目的追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最稱心的設(shè)計方案。在優(yōu)化過程中，有時為了某個具有較差值的分目的也能到達較為理想，那么要增大其他分目的函數(shù)值為代價，其主要思想是對各分目的函數(shù)進展協(xié)調(diào)，互相之間做出退讓，最終獲得一個工程實踐能認可的稱心方案。 對于兩個以上的分目的的多目的優(yōu)化問題，所

17、畫的協(xié)調(diào)曲線就變成多維籠統(tǒng)空間的超曲面，不能夠用圖形來表示，那么只能按數(shù)學(xué)模型由計算機自動處置。7.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計問題7.4.1離散變量優(yōu)化設(shè)計的根本概念7.4.2離散變量優(yōu)化方法簡介湊整法網(wǎng)格法離散復(fù)合型法離散型懲罰函數(shù)法7.5優(yōu)化方法的選擇及評價準那么7.5.1選擇優(yōu)化方法需思索的問題 對優(yōu)化設(shè)計問題，在建立了數(shù)學(xué)模型之后，就要選擇一個恰當?shù)姆椒?，來進展最優(yōu)解得求解。目前，普通的做法是由設(shè)計者根據(jù)實踐優(yōu)化設(shè)計問題的特點，在對各種優(yōu)化方法按評價準那么所作的優(yōu)缺陷引見，結(jié)合已有的一些閱歷來適當?shù)倪x取算法。 根據(jù)優(yōu)化問題的特點，恰當?shù)倪x擇優(yōu)化方法是一個很重要的問題。下面就優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模

18、型方面要思索的一些要素分述如下：數(shù)學(xué)模型的類型 包括以下幾個方面：是有約束還是無約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設(shè)計變量是延續(xù)的還是離散的或者是混合的；目的函數(shù)和約束函數(shù)是線形的還是非線性的，即屬于現(xiàn)行規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題。優(yōu)化設(shè)計問題規(guī)模的大小 主要指設(shè)計變量的多少和約束條件的多少。目的函數(shù)和約束函數(shù)能否延續(xù)和有凸性，能否存在一階和二階導(dǎo)數(shù)等。7.5.2優(yōu)化方法的評價準那么 為了比較不同算法的特性以及相應(yīng)軟件的技術(shù)程度，就的要一個合理的評價準那么來加以衡量。下面簡述幾個主要的評價準那么。1，可靠性 算法的可靠性是指在合理的精度要求下，在一定的計算時間或一定的迭代次數(shù)內(nèi)求出最優(yōu)解得勝利率。它表征了算法對各種優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的解題才干?？梢越獬龅膯栴}越多，可靠性就