第17章專項整合提升密碼

1、專訓全章熱門考點整合應用名師點金：一元二次方程題的類型非常豐富，常見的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情況、一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程的應用等，只要掌握了不同類型題的解法特點，就可以使問題變得簡單，明了本章熱門考點可概括為：兩個概念，一個解法，兩個關系，一個應用，三種兩個概念概念1：一元二次方程的定義1當 m 取何值時，方程(m1)xm212mx30 是關于 x 的一元二次方程？概念2：一元二次方程的根2(中考蘭州)若一元二次方程 ax2bx2 0150 有一根為 x1，則 ab3若關于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有一根為1，且 a4c（ab）2

2、 016c42，求的值2 015c一個解法一元二次方程的解法 4用配方法解方程 x22x10 時，配方后所得的方程為( A(x1)20B(x1)20C(x1)22D(x1)22)5一元二次方程 x22x30 的解是(Ax11，x23Bx11，x23 Cx11，x23Dx11，x23)6選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1)(x1)22x(x1)0； (2)x26x60；(3)6 000(1x)24 860； (4)(10 x)(50 x)800；(5)(中考山西)(2x1)2x(3x2)7.兩個關系關系1：一元二次方程的根的判別法7(中考河北)若關于 x 的方程 x22xa0 不存在實數(shù)根，則 a

3、 的取值范圍是()Aa1Ba1Ca1Da18在等腰三角形 ABC 中，三邊長分別為 a，b，c.其中 a5，若關于 x 的方程 x2(b2)x(6b)0 有兩個相等的實數(shù)根，求ABC 的周長關系2：一元二次方程根與系數(shù)的關系9已知 ， 是關于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20 的兩個不相等11的實數(shù)根，且滿足1，則 m 的值是(A3B1C3 或1D3 或 1)10(中考南充)已知關于 x 的一元二次方程(x1)(x4)p2，p 為實數(shù)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根p 為何值時，方程有整數(shù)解(直接寫出三個，不需說明理由)11設 x1，x2 是關于 x 的一元二次方程 x22axa24a

4、20 的兩個實數(shù)根，當 a 為何值時，x12x22 有最小值？最小值是多少？一個應用一元二次方程的應用12(中考湖州)隨著某市養(yǎng)老機構(養(yǎng)老機構指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等)建設穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加(1)該市的養(yǎng)老床位數(shù)從 2013 年底的 2 萬個增長到 2015 年底的 2.88 萬個，求該市這兩年(從 2013 年底到 2015 年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年平均增長率；(2)若該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老房間共 100 間，這三類養(yǎng)老房間分別為單人間(1 個養(yǎng)老床位)，雙人間(2 個養(yǎng)老床位)，三人間(3 個養(yǎng)老床位)，因實際需要，單人間房間數(shù)

5、在 10 至 30 之間(包括 10 和 30)，且雙人間的房間數(shù)是單人間的 2 倍，設規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t.若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位 200 個，求 t 的值；求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？最少提供養(yǎng)老床位多少個？13準備進行如下操作實驗：把一根長為 40 cm 的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形(1)要使這兩個正方形的面積之和等于 58 cm2，該怎么剪？說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于 48 cm2.”他的說(2)對法對嗎？請說明理由三種1：整體14已知 xa 是 2x2x20 的一個根，求代數(shù)式 2a4a32a22a1的值2：轉化15解方程：(2

6、x1)23(2x1)2.3：分類116已知關于 x 的方程 x2(2k1)x4k 0.2求證：無論 k 取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根若等腰三角形 ABC 的一邊長 a4，另兩邊的長 b，c 恰好是這個方程的兩個根，求ABC 的周長專訓1解：當 m212 且 m10 時，方程(m1)xm212mx30 是關于 x 的一元二次方程由 m212，得 m21，所以 m1.由 m10，得 m1，所以只能取 m1.所以當 m1 時，方程(m1)xm212mx30 是關于 x 的一元二次方程點撥：要準確理解一元二次方程的概念，需從次數(shù)和系數(shù)兩方面考慮22 015點撥：把 x1 代入方程中得到 ab2 01

7、50，即 ab2 015.3解：a 4c c42，c40 且 4c0，即 c4，則 a2.又1 是一元二次方程 ax2bxc0 的根，abc0，bac（22）2 016242.原式0.2 01544D5.A6解：(1)(x1)22x(x1)0，(x1)(x12x)0，(x1)(3x1)0，1x11，x23.(2)x26x60，a1，b6，c6，b24ac(6)241(6)60.6 60 x 23 15，x13 15，x23 15.(3)6 000(1x)24 860，(1x)2 0.81， 1x0.9，x11.9，x20.1. (4)(10 x)(50 x)800，x240 x3000， x1

8、10，x230.(5)(2x1)2x(3x2)7， 4x24x13x22x7， x26x80，x12，x24.7B8解：關于 x 的方程 x2(b2)x(6b)0 有兩個相等的實數(shù)根，(b2)24(6b)0，b12，b210(舍去)當 a 為腰長時，ABC 周長為 55212.當 b 為腰長時，225，不能ABC 的周長為 12.9A三角形10(1)證明：化簡方程，得 x25x4p20.(5)24(4p2)94p2.p 為實數(shù)，則 p20，94p20.即 0，方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)解：當 p 為 0，2，2 時，方程有整數(shù)解(不唯一)點撥：(1)先將一元二次方程化為一般形式，由題意得，

9、一元二次方程根的判別式 b24ac(5)241(4p2)94p2，易得，94p20，從而得證(2)5 94p2，若方程有整數(shù)解，則 94p2 必須是完全平一元二次方程的解為 x2方數(shù)，故當 p0、2、2 時，94p2 分別對應 9、25、25，此時方程的解分別為整數(shù)111解：方程有兩個實數(shù)根，(2a)24(a24a2)0，a2.又x1x22a，x1x2a24a2，x12x22(x1x2)22x1x22(a2)24.11222a2，且 2(a2)0，當 a2時，x1 x2的值最小2111此時 x1 x2 222 42，即最小值為2.22點撥：本題中考慮 0 從而確定 a 的取值范圍這一過程易被忽

10、略12解：(1)設該市這兩年(從 2013 年底到 2015 年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年平均增長率為 x，由題意可列出方程：2(1x)22.88.解得 x10.220%，x22.2(不合題意，舍去)答：該市這兩年擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的年平均增長率為 20%.(2)因為規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為 t(10t30)，則建造雙人間的房間數(shù)為 2t，三人間的房間數(shù)為 1003t，由題意得：t4t3(1003t)200.解得 t 25.答：t 的值是 25.設該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位 y 個，由題意得：yt4t3(1003t)4t300(10t30)，k40，y 隨 t 的增大而減小當 t10 時，y

11、有最大值為 300410260，當 t30 時，y 有最小值為 300430180.答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位 260 個，最少提供養(yǎng)老床位 180個13解：(1)設剪成的較短的一段為 x cm，則較長的一段為(40 x) cm，由題x240 x2意，得4 58，解得 x112，x228.當 x12 時，較長的一段為 4041228(cm)，當 x28 時，較長的一段為 402812(cm)28cm(舍去)較短的一段為 12 cm，較長的一段為 28 cm.(2)的說法正確理由如下：設剪成的較短的一段為 m cm，則較長的一m240m2段就為(40m) cm，由題意得 4 48，變形

12、為 m 40m416240.(40)24416640，原方程無實數(shù)解，兩個正方形的面積之和不可能等于 48 cm2.14解：xa 是 2x2x20 的一個根，2a2a20，即 2a2a2.原式a2(2a2a)2a22a12a22a22a12(2a2a)15.15解：設 2x1y，則原方程可變形為 y23y2.解得 y11，y22.當 y1 時，有 2x11，所以 x0；的說法正確，這1當 y2 時，有 2x12，所以 x2.1所以原方程的解為 x10，x22.點撥：利用換解將復雜的一元二次方程轉化為簡單的一元二次方程來求1k16(1)證明：(2k1) 44 24k 12k9(2k3) .222無論 k 取什么實數(shù)，均有(2k3)20，無論 k 取什么實數(shù)，原方程總有實數(shù)根(2)解：ABC 是等腰三角形，有兩條邊長相等，若 bc，b，c 是所給方程的兩個根，(2k3)20，即 k32.此時方程為 x24x40，bc2.又a4，bca，不符合三角形的三邊關系定理，不存在