微分幾何第四版答案(三)曲面的第二基本形式

1、 3曲面的第二基本形式.計算懸鏈面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式，第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,E ru2= cosh 2 u, Fru rv=0, G rv2=cosh2u.所以錯誤！未找到引用源。=cosh 2 u du2+ cosh 2 udv2 .ru rv1n =2 cosh u cosv, cos

2、h u sin v,sinh usinv,EG F2 cosh uL= coshu 1, m=0, n= _coshu,=l . sinh2 1sinh2 1所以錯誤！未找到引用源。=-du2+dv2 。.計算拋物面在原點的2x35x24xiX2 2x；第一基本形式，第二基本形式.5 .斛 曲面的向重表小為r Xi, X2, - x12x1X2x2,2rx(1,0,5Xi2x2 (0,0) 1,0,0 , rx20,1,2xiZx?“ 0,1,0,% (0,0,5),rx1x2 0,0,2 , rX2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 ,

3、N =2 ,錯誤！未找到引用源。=dx12dx2 ,錯誤！未找到引用源。=5dx124dxidx2 2dx2.r.證明對于正螺面 r =u cosv ,u sinv ,bv,- oou,vooftftW EN-2FM+GL=0解 ru cos v, sin v,0, rv u sin v, u cos v,b , r盤 =0,0,0, 22-l 2/-rruv =-uucosv,cosv,0,rw =-ucosv,-usinv,0),E L 1 , Fru rv 0 ,c c cbGrv2u2 b2 , L= 0, M =., N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2b2

4、1.求出拋物面z -（ax2by2）在（0,0）點沿萬向（dx:dy）的法曲率.22adx bdy dx2 dy2解 rx 1,0, ax（o,o）1,0,0, ry 0,1,by（o,o）0,1,0, 7 。4，.。ryy 0,Qb ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 kn. 已知平面 到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求 與(S)交線的曲率 與法曲率.解 設(shè)平面 與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為k1 d2,即(C)的曲率為k ,1，又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于v1 d2 ,所以1 d2(C)的法曲率為kn k

5、Ji d2 = 1 .利用法曲率公式kn 2,證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基 本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(u,v),沿任意方向du:dv 22IL Ldu2 2MdudvNdv21或.，所以上M N(工)，即第一、第二I Edu2 2Fdudv Gdv2 RR E F G R類基本量成比例。.求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。r證明對于正螺面 r =u cosv ,u sinv ,bv,ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b

6、 , ruu=0,0,0 , rvv=-ucosv,-usinv,0,L= (rurv,ruu) =0, N= (ru,rv,rvv) =0 .所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而 uEG F2EG F2族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。.求曲面z xy2的漸近線.2 c 222ry 2xy ,G ry 1 4x y .解 曲面的向量表示為 r x, y,xy2,rx 1,0, y2, ry 0,1,2xy, % 0,0,0, TOC o 1-5 h z 24rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E &1 4y , FL 0,M2y ,N 2x224224漸近線的微分方程為Ldx2 2

7、Mdxdy1 4x y y 1 4x y yNdy2,即4ydxdy 2xdy2 0,一族為 dy=0,即y C1,a為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即lnx2y c2,或x2y c,c為常數(shù).證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C) 的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主 法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線r rr rrr:r r (s),匕的王法線曲面為S:(s,t) r(s) t (s),r r&/、 rs (s) t (s)t(r rr r r r r rr

8、r)(1 t ) t , t, s t t(1 t )在曲線上，t = 0 , rsr rrt r,曲面的單位法向量ns tr,即n r,EG F2所以曲線 在它的主法線曲面上是漸近線.證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng).r證 曲面的向重表小為r =x,y, f(x)+g(y),x= 吊數(shù),y二吊數(shù)是兩族坐標曲線，、 rrrrx 1,0, f , ry0,1, g . rxx0,0, f , 員 0,0,0,0,0, g ),r r因為Mrxy ,rx ry0,所以坐標曲線構(gòu)成共腕網(wǎng)，即曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù),EG F2構(gòu)成共腕網(wǎng)。rruu=0,0,0.確止

9、螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率線.解 ru cos v, sin v,0, rv u sin v, u cos v,b ,rvv=-ucosv,-usinv,0 ,2ruv =-sinv,cosv,0, Eg 1 , Fru rv 0 ,b2 , L=0, M=, N=0,曲率線的微分方程為：u2 b2dv210ln(ududv0b,u2 b2du2u2 b200,即 dv1u2b2du,積分得兩族曲率線方程：立2 b2)G 和v ln(vu2 b2u)C2.12.求雙曲面z=axy上的曲率線22 2y ,F a x,G2 2a2x2,L 0,Ma.1 a2x2,N=0

10、.22a ydy2221 a xdxdy2 22a x ya2222a x a ydx2a2x二0 得(1 a2y2)dx2 (1a2x2)dy2 ,積分得兩族曲率線為ln(ax ,1 a2x2)ln(ay 1 a2y2)c.13.求曲面 r -(u v),b(u v),22上的曲率線的方程.2,22abv,42,2a b uv 一,G42,22a b u,L 40,abM= 2 .EG F 2,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是/22(a b222 2u )dv (ab2v2)du2,積分得：2.22、ln(u a b u )ln(v2.22 a b v ) c .14.給出曲

11、面上一曲率線L,設(shè)L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角，求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線，所以沿L有dnndr,又沿L有？n二常數(shù)，求微商得 n - n 0,而n/dn/dr與 正交，所以 n 0,即- n =0,則有 =0,或- n=0 .若=0,則L是平面曲線；若 n=0 ,L又是曲面的漸近線，則沿L , n=0 , 這時dn=0, n為常向量，而當L是漸近線時， =n,所以 為常向量，L是一 平面曲線.證法二：若 n ,則因n drll r ,所以n II ，所以dn II &,由伏雷 r rr內(nèi)公式知dn II ( r )而L是曲率線，所以沿L有dn II r ,所以

12、有 =0,從 而曲線為平面曲線；若 不垂直于n,則有？n=常數(shù)，求微商得&-& 0,因為L是曲率線，所 以沿L有dn II dr ,所以r & 0 ,所以 n 0 ,即- n =0 ,若=0,則問題得證；否則 n=0 ,則因 n r 0 ,有 n II , dn II dr | (-) II r ,矛盾。.如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上題結(jié)論知正確。.求正螺面的主曲率。r解 設(shè)正螺面的向重表小為r =u cosv,u sinv,bv.解好 cos v,sin v,0, rv u si

13、n v,u cosv, b ,“=0,0,0，222rvv =-ucosv,-usinv,0, ruv =-sinv,cosv,0, E ru1 , F ru rv 0 ,G rv2 u2 b2 , L= 0, M =) b , N = 0,代入主曲率公式u2 b2(EG-F2) N (LG-2FM+E Nn + LN- M 2 = 0 得22 _ aN =T2T2 0(u a )所以主曲率為 1 1, u a17.確定拋物面z=a( x2y2)在(0, 0)點的主曲率.解 曲面方程即 ryy 0,0, 2a , r x, y,a(x2 y2) , rx 1,0, 2ax r 0,1,2ay,

14、rrrrxx 0,0, 2a , & 0,0,0,刖0,0, 2a。在(0, 0)點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以2-4a n+4a2=0 ,兩主曲率分別為i = 2 a ,2 = 2 a .證明在曲面上的給定點處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點處兩主曲率分別為1、2，任給一方向及與其正交的方向十 % ,則這兩方向的法曲率分別為n( )1cos22 sin2，n(2)1 cos2(2)2 sin2(2)1 sin22 cos2,即n( ) n(/2)12 為常數(shù)。.證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù).證由 n 1 cos

15、22 sin2 得 tg21,即漸進方向為2arctg2=- arctg-.又-2 +21=2 1為常數(shù)，所以為1為常數(shù)，即,為常數(shù).2.求證正螺面的平均曲率為零證由第3題或第16題可知.LG 2FM NE 020，2(EG F ).求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率證 在點 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=2 TOC o 1-5 h z I, LN M2K = 2 =- aEG F2.證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點證法一：由 H=2=0 有 1= 2=0 或 i=- 20 .2若 產(chǎn)2=0，則沿任意方向，n( ) icos22

16、 sin 2 =0 ,對對于任意的2_2du:dv ,kn0 ,所以有L=M=N=0對應(yīng)的點為平點I Edu2 2Fdudv Gdv2II Ldu2 2Mdudv Ndv2若尸-20,則K=1 20，即LN-M2 0 ,G 0 , 所以 LN 0。若 LN M2=0,則 L = M = N =0 ,曲面上的點是平點，若LN M 2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M 2 的符號與cos的符號一致，當0& /和3- 0，曲面上的點為橢 22圓點，即圓環(huán)面外側(cè)的點為橢圓點；當-/2 3，曲面上的點為雙曲點，即圓環(huán) 面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當=/2或3時，LN - M 2=0,為拋物點，即

17、圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物點。.若曲面的第一基本形式表示為I 2(u,v)(du2 dv2)的形式，則稱這個曲面的坐標曲線為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面r g(t)cos ,g(t)sin ,f(t)上存在等溫網(wǎng)。證 旋轉(zhuǎn)曲面r g(t)cos ,g(t)sin , f (t)的第一基本形式為2i222 f 2I g2（t）（-g一2一dt2d 2），做參數(shù)變換u 出，v=，則在新參數(shù)gg下，I g2t（u）（du2 dv2）,為等溫網(wǎng)。.兩個曲面Si、S2交于一條曲線（C）,而且（C）是6的一條曲率線，則（C）也是S2的一條曲率線的充要條件為Si、S2沿著（C）相交成固定角。證 兩個曲面S1、

18、S2交于曲線（C）, ni、1分別為Si、S2的法向量，則沿交線（C）, n1與n2成固定角的充要條件為n1 n2=常數(shù)，這等價于d（ n1 - n2）=0,即d1 nz + i dn2=0，而（C）是Si的一條曲率線，因此d”與（C）的切向量dr共線，則與 n2 正交，即 dni , n2=0,于是 n , dn2=0,又 dn2，n2,所以 n , dn2 =rdni n2=0的充要條件為dn2 d r ,即（C）是S2的曲率線。.證明在曲面（S）上的一個雙曲點P處，若兩條漸近線都不是直線，則它們之 中，一條在點P的撓率是守=,另一條在點P的撓率是-*1,其中K是（S）在P 點的高斯曲率。證曲面在雙曲點P處，有兩條漸近線過點P,沿漸近線有n= ，且II=