2.1.2數(shù)列的遞推公式（選學） (5)

1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式 觀察數(shù)列an，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16， 即a1=2，從第2項開始，每一項是它前一項的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出： a1=2， an=2an1，(n=2，3，4，) 再如數(shù)列，由操作計算器給出：1coscoscos a1=1， an=cos(an1)，(n=2，3，4，) 如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。數(shù)列的遞推公式 a1=a， an=f(an1)，(n=2，3，4，)例1已

2、知數(shù)列an的第1項是2，以后各項由公式 給出，寫出這個數(shù)列的前5項.解：a1=2， 例2. 已知直線l：y=x與曲線c： （如圖所示），過曲線c上橫坐標為1的一點P1作x軸的平行線交l于Q2，過Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過P2作x軸的平行線交l于Q3，過Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，設點P1，P2，Pn，的縱坐標分別為a1，a2，an，試求數(shù)列an的遞推公式。解：由題意，點P1的橫坐標為1，縱坐標為a1= ， 點Qn+1與Pn的縱坐標相同，都是an，同時點Pn+1與Qn+1的橫坐標相等， 點Pn+1在曲線c： 上， 由橫坐標得它的縱坐標為 即這就是數(shù)列an的遞推公式。例3. 根據(jù)下列各個數(shù)列an的首項及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項，并歸納出通項公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+； （2）a1=1， , nN+；解：（1）因為a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 歸納出它的通項公式是an=(n1)2 。（2）a1=1， , nN+；解:歸納出它的通項公式是例4. 數(shù)列an中，a1=1，對于所有的n2且nN+，都有 （1）求a3+a5； （2） 是此數(shù)列中的項嗎？解法1：（1）因為所以，兩式相除得n2，nN+，所以解法2：（1）因為 ，所以解得a2=4，又解得