塑性力學(xué)05-球?qū)ΨQ與軸對稱問題

1、塑性(sxng)力學(xué)05共二十七頁第五章 球?qū)ΨQ(duchn)和軸對稱(duchn)的彈塑性問題5-1 理想(lxing)彈塑性材料的厚壁球殼 問題的描述與分析問題: 內(nèi)徑為 ,外徑為 球,受內(nèi)壓力 ,求彈塑性極限荷載.分析:很顯然它的應(yīng)力和位移場是球?qū)ΨQ的, 采用球坐標(biāo).應(yīng)力場:應(yīng)變?yōu)轱@然這就是說,在加載過程中 應(yīng)力和應(yīng)變主方向是重合的, 并保持不變, 那么加載是簡單加載, 適用全量理論.共二十七頁 球?qū)ΨQ(duchn)問題的平衡方程, 應(yīng)變連續(xù)方程和邊界條件平衡方程(fngchng)為(不考慮體力):應(yīng)變分量為這里 是徑向位移.它們應(yīng)滿足應(yīng)變連續(xù)性方程邊界條件為1. 彈性狀態(tài) 首先建立位移

2、表示的平衡方程. 球體處于彈性狀態(tài), 根據(jù)廣義Hooke定律然后用應(yīng)變表示應(yīng)力得到:共二十七頁把它代入平衡方程(fngchng)得到用位移表示的平衡方程(fngchng): 解這個(zh ge)方程得利用邊界條件得到最后得到位移解為:共二十七頁可以得到(d do)應(yīng)力分量 求彈性極限壓力. 根據(jù)球殼的屈服(qf)條件(例2-3)即將上面的應(yīng)力分量代入屈服條件得從上式可以看出在球殼內(nèi)壁最先屈服, 令 得到彈性極限壓力:從上式可以看出,當(dāng) 時, , 這說明如果使球殼處于彈性工作狀態(tài), 那么無論壁厚增加多少也不能提高它的承載能力.共二十七頁2. 彈塑性狀態(tài)(zhungti)當(dāng)壓力 時,球殼內(nèi)壁開始屈

3、服并向外擴展到半徑 處,如果材料是理想(lxing)彈塑性, 在塑性區(qū)應(yīng)力仍要滿足平衡條件,此時考慮到屈服條件 ,因此有積分得到根據(jù)邊界條件得到積分常數(shù)得到塑性區(qū)的應(yīng)力為彈性區(qū)的應(yīng)力把前面的彈性解中的 即可共二十七頁考慮(kol)到在交界面處 要連續(xù), 所以得到 和 的關(guān)系式.3. 塑性極限狀態(tài). 上式令 , 球殼全部進入塑性得到(d do)塑性極限壓力為 此時塑性區(qū)的應(yīng)力為共二十七頁5-2 棒材的拉拔(l b)加工1)問題說明(shumng)見圖2)假定條件 理想彈塑性無摩擦,接觸面是主平面 塑性變形向o點徑向流動,并且穩(wěn)定.3)可以看成球殼的一部分,全部進入塑性狀態(tài),可以利用上面解球殼的思

4、路. 平衡方程不變.屈服條件的形式不同, 因為在拉拔情況, , 屈服條件為 代入平衡方程得到共二十七頁解這個(zh ge)方程得到:由進口截面(jimin)處的邊界條件 得積分常數(shù)為解得應(yīng)力分量為4)求解出口截面的拉拔應(yīng)力為那么拉拔力為5)定義截面減縮率為可以求得拉拔時最大減縮率.因為材料是理想彈塑性, 出口截面處的拉拔應(yīng)力不能超過屈服應(yīng)力, 所以有這樣得到那么最大減縮率為共二十七頁5-3 理想(lxing)彈塑性材料的厚壁圓筒問題的描述: 分析(fnx)內(nèi)徑為 ,外徑為 的厚壁圓筒,在其內(nèi)表面受內(nèi)壓為 .假定是不可壓縮的理想彈塑性材料, 并限定為平面應(yīng)變問題.取柱坐標(biāo),使 軸與筒軸線重合.1

5、)彈性狀態(tài) 彈性應(yīng)力解為(由于材料不可壓縮 ):那么根據(jù)Mises屈服條件得到彈性極限壓力為:應(yīng)力強度為即因此可見最大應(yīng)力強度發(fā)生在內(nèi)壁處.共二十七頁2)彈塑性狀態(tài) 令 是彈塑性交界面的半徑. 首先我們分析一下在塑性區(qū)的應(yīng)力分量的關(guān)系. 因為材料的不可壓縮(y su), ,又因為的平面應(yīng)變 ,這樣根據(jù)簡單加載的全量理論有因此(ync)得到另外根據(jù)筒的受力性質(zhì)知道 是拉應(yīng)力, 是壓應(yīng)力,所以應(yīng)力強度根據(jù)塑性區(qū)是理想彈塑性所以Mises屈服條件有平面軸對稱問題的平衡方程為 這樣由屈服條件和平衡方程得到積分得到再由邊界條件得積分常數(shù)共二十七頁 這樣得到(d do)塑性區(qū)的應(yīng)力: 彈性區(qū)的應(yīng)力,可以利

6、用(lyng)彈性狀態(tài)的解令 交界面應(yīng)力連續(xù)得到這是 和 的關(guān)系式.3) 上式令 ,得到塑性極限壓力:此時塑性區(qū)應(yīng)力為:共二十七頁4)殘余應(yīng)力的計算. 厚壁圓筒在進入塑性狀態(tài)以后, 將內(nèi)壓力全部卸載, 此時卸載的荷載變換為 ,按彈性計算得到(d do)變化的應(yīng)力, 這樣用卸載前的應(yīng)力減去這個變換應(yīng)力就得到(d do)殘余應(yīng)力.用圖來表示(殘余應(yīng)力只給出環(huán)向應(yīng)力)為:從殘余應(yīng)力圖(lt)中看出,內(nèi)壁有殘余壓應(yīng)力, 這就是對厚壁圓筒施加了預(yù)應(yīng)力, 從而可以提高筒的壓應(yīng)力.這種利用預(yù)加塑性變形來提高結(jié)果承載能力的技術(shù)在工程中被廣泛使用.共二十七頁5)變形計算(j sun). 考慮平面應(yīng)變和小變形,

7、建立位移方程并求解.因為又根據(jù)幾何(j h)方程 就可以得到解為注意,這里推導(dǎo)沒有涉及應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系.也就是這個解適用彈性區(qū)和塑性區(qū). 現(xiàn)在根據(jù)彈性區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來定積分常數(shù)B. 把彈性區(qū)的應(yīng)力分量代入Hooke定律, 考慮到另外由位移得比較這兩個式子得共二十七頁 最后得到(d do)位移和應(yīng)變?yōu)?-4 硬化(ynghu)材料的厚壁圓筒1)我們要注意與理想彈塑性材料的不同是屈服條件有什么變化?硬化條件是什么?對于這個問題這個問題適用全量理論, 由單一曲線假定 ,所以有2)上一節(jié)在變形計算中結(jié)果有共二十七頁它仍然(rngrn)適合這個問題,所以應(yīng)變強度為3) 有了上面兩點我們(w men)來求

8、解硬化材料情況下的問題將上式從 積分,并考慮到邊界條件也就是這里常數(shù)B可以按照內(nèi)壁的半徑條件 來定.共二十七頁4) 如果(rgu)有 即代入上式積分(jfn)可得再積分再把B代入得到應(yīng)力為以及共二十七頁5-5 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)圓盤.問題(wnt)描述: 半徑為 的等厚薄圓盤, 理想彈塑性材料, 繞圓心 等速旋轉(zhuǎn). 由于離心慣性力盤內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變. 因為盤薄認為垂直薄盤的應(yīng)力 為零, 可以簡化平面應(yīng)力問題,又因為軸對稱,所以剪力為零, 這樣 和 為主應(yīng)力. 主應(yīng)力和位移的關(guān)系為 平衡方程為1. 彈性狀態(tài) 按位移求解, 通過Hooke定律用位移來表示應(yīng)力, 然后再代入平衡方程得到關(guān)于位移的一

9、個微分方程該方程的解為:共二十七頁根據(jù)半徑條件來定A和C積分常數(shù). 因為(yn wi)圓心的位移有限所以C必須為零, 另外在圓盤的外邊緣的應(yīng)力 ,可以確定這樣(zhyng)就確定了彈性階段的位移和應(yīng)力:下面來求彈性極限轉(zhuǎn)速. 用Tresca條件, 知道這樣屈服條件為顯然在圓心處 最大首先屈服,即得到彈性極限轉(zhuǎn)速:共二十七頁2. 彈塑性狀態(tài) 當(dāng) 時, 圓盤從圓心向外進入塑性, 假設(shè)彈塑性分界線的半徑為 在塑性區(qū)根據(jù)(gnj)平衡方程和屈服(qf)條件有積分得到因為圓心應(yīng)力有限即D=0.所以塑性區(qū)的應(yīng)力在彈性區(qū),可以看作為內(nèi)徑為 , 外徑為 的空心旋轉(zhuǎn)圓盤.此時在 處已經(jīng)屈服有: 徑向應(yīng)力要連續(xù)有

10、:此時在 處的邊界條件為:共二十七頁另外在前面彈性(tnxng)狀態(tài)分析時我們已經(jīng)解得彈性(tnxng)位移解為這樣可以求得應(yīng)力分量,它們包括 待定常數(shù)(chngsh),由上面三個邊界條件就可以確定它們. 最后可以得到彈塑性狀態(tài)時的彈性區(qū)的應(yīng)力和轉(zhuǎn)速.下面給出轉(zhuǎn)速3. 塑性極限階段當(dāng) 時, 整個圓盤進入塑性狀態(tài).我們在上式令 即得到塑性極限轉(zhuǎn)速共二十七頁5-6 圓板的軸對稱彎曲(wnq)1.基本(jbn)方程問題描述: 軸對稱荷載作用下圓板的彎曲問題.材料為連續(xù)彈塑性. 采用圓柱坐標(biāo), 具體尺寸見圖.板的變形仍保留Kirchhoff假設(shè), 又由于對稱性板的撓度 只是 的函數(shù),有因此得考慮圓板的

11、一個微小單元,由平衡條件可以得到兩個平衡方程:共二十七頁即2.極限條件 當(dāng)板進入(jnr)屈服時, 其應(yīng)力分量的值沿z向不變, 并且中面上下應(yīng)力分量的符號相反, 因此有考慮Mises屈服條件(tiojin)(忽略 對屈服的影響)那么就有:其中這是用廣義力表示軸對稱圓板彎曲的Mises屈服條件.共二十七頁如果用Tresca條件可能比較方便(fngbin).不考慮 的影響,Tresca條件可以寫成也可以(ky)證明它的廣義力的表達式為:下面舉例說明求塑性極限荷載.例題5-1周邊簡支,半徑為 承受均勻荷載的圓板.求塑性極限荷載和速度場.彎矩的最大值在原點處,并且 , 顯然,根據(jù)Tresca條件,首先

12、在原點屈服,考慮彎矩都大于零,在塑性極限狀態(tài)它在圖中的A點.在周邊,相當(dāng)于圖中的B點.因此可以設(shè)想板的屈服過程是沿AB線進行.共二十七頁根據(jù)分析(fnx)這個問題的Tresca條件為根據(jù)平衡(pnghng)方程可得其解為考慮在原點處 有限, 所以 .又考慮到邊界條件 就得到均布荷載的簡支圓板的塑性極限荷載:關(guān)于板的塑性變形問題:按流動法則,對于AB邊有故有共二十七頁此方程也可用速率(sl)表示它的解為由 ,得 , 所以(suy)上式變?yōu)檫@里 是 處 的值, 它是不確定的,因為在塑性極限狀態(tài)時,板的變形是不受限制的, 其變形形狀如圖.共二十七頁內(nèi)容摘要塑性力學(xué)05。分析:很顯然它的應(yīng)力和位移場是球?qū)ΨQ的, 采用球坐標(biāo).。球?qū)ΨQ問題的平衡方程, 應(yīng)變連續(xù)方程和邊界條件。把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:。求彈性極限壓力. 根據(jù)球殼的屈服條件(例2