2022年函數(shù)與極限重點知識歸納

1、學習資料收集于網絡，僅供參考常量與變量變量的定義我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化 ,我們把其稱之為 常量 ；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量 。注： 在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間 來表示其變化范圍。區(qū)間在數(shù)軸上的表示在數(shù)軸上來說，區(qū)間 是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號稱閉區(qū)間axba ，b開區(qū)間axb（ a，b）半開區(qū)間axb 或 ax b（a，b 或a ，b

2、）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間： a ，+) ：表示不小于 a 的實數(shù)的全體，也可記為：ax+； (-， b) ：表示小于 b 的實數(shù)的全體，也可記為：- xb； (-，+) ：表示全體實數(shù) R，也可記為：- x+鄰域注： 其中 - 和+，分別讀作 負無窮大 和 正無窮大 , 它們不是數(shù) , 僅僅是記號。設 與 是兩個實數(shù)， 且 0. 滿足不等式 x- 的實數(shù) x 的全體稱為點的 鄰域，點稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。函 數(shù)函數(shù)的定義如果當變量x 在其變化范圍內任意取定一個數(shù)值時，量y 按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應，則稱y 是 x 的函數(shù) 。變量 x 的變化

3、范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常 x 叫做 自變量 ，y 叫做 因變量 。注：為了表明 y 是 x 的函數(shù)， 我們用記號 y=f(x)、y=F(x) 等等來表示 . 這里的字母 f 、F表示 y 與 x 之間的對應法則即 函數(shù)關系 , 它們是可以任意采用不同的字母來表示的 . 注： 如果自變量在定義域內任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù) ，否則叫做 函數(shù)的有界性多值函數(shù) 。這里我們只討論單值函數(shù)。如果對屬于某一區(qū)間I 的所有 x 值總有 f(x) M成立，其中 M是一個與x 無關的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間 I 有界，否則便稱無界。注意： 一個函數(shù)，如

4、果在其整個定義域內有界，則稱為有界函數(shù) 例題： 函數(shù) cosx 在(- ,+ ) 內是有界的 .函數(shù)的單調性學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內隨著 x 增大而增大，即：對于(a,b)內任意兩點x1及 x2，當 x1x 2 時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內是 單調增加 的。(a,b)內任意兩點x1及 x2，當如果函數(shù)內隨著 x 增大而減小，即：對于在區(qū)間 (a,b)x1x2 時，有，則稱函數(shù) 在區(qū)間 (a,b) 內是 單調減小 的。例題： 函數(shù) =x 2在區(qū)間 (- ,0) 上是單調減小的，在區(qū)間 (0,+ ) 上是單調增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對于定義域內的

5、任意x 都滿足=-=，則叫做偶函數(shù)；x 都滿足，如果函數(shù)對于定義域內的任意則叫做奇函數(shù)。注意： 偶函數(shù)的圖形關于 函數(shù)的周期性y 軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l ，使得關系式的周期。對于定義域內任何x 值都成立，則叫做 周期函數(shù) ，l 是注： 我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題： 函數(shù)是以 2 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx 是以 為周期的周期函數(shù)。反函數(shù) 反函數(shù)的定義設有函數(shù)，若變量y 在函數(shù)的值域內任取一值y 0 時，變量x 在函數(shù)的定義域內學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考必有一值 x0 與之對應，即，那末變量 x 是變量 y 的函數(shù) . 這

6、個函數(shù)用 來表示，稱為函數(shù) 的反函數(shù) .注： 由此定義可知，函數(shù) 也是函數(shù) 的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若在(a ，b) 上嚴格增 ( 減) ，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增 ( 減). 注： 嚴格增 ( 減) 即是單調增 ( 減) 例題：y=x 2，其定義域為 (- ,+ ) ，值域為 0,+ ). 對于 y 取定的非負值 , 可求得 x=.若我們不加條件，由 y 的值就不能唯一確定 x 的值，也就是在區(qū)間 (- ,+ ) 上，函數(shù)不是嚴格增( 減) ，故其 沒有反函數(shù) 。如果我們加上條件，要求 x0，則對 y0、 x= 就是 y=x 2 在要求x0 時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在

7、此要求下嚴格增 ( 減).反函數(shù)的性質在同一坐標平面內，與的圖形是關于直線y=x 對稱的。例題： 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x 對稱的。如右圖所示：復合函數(shù)的定義若 y 是 u 的函數(shù)：，而 u 又是 x 的函數(shù)：，且 的函數(shù)值的全部或部分在 的定義域內，那末，y 通過 u 的聯(lián)系也是 x 的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及 復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作，其中 u 叫做中間變量。注： 并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構成。例題： 函數(shù)因為對于與函數(shù)是不能復合成一個函數(shù)的。u 值（都大的定義域 (- ,+ ) 中的任何x 值所對應

8、的于或等于2），使都沒有定義。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考初等函數(shù)函數(shù)函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質名稱指 數(shù) 函 數(shù)對 數(shù) 函 數(shù)a): 不論 x 為何值 ,y 總為 正數(shù) ; b): 當 x=0 時,y=1.a): 其圖形總位于y 軸右側, 并過 (1,0)點b): 當 a1 時, 在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(- ,+ ) 的值為正； 在定義域內單調增 .令 a=m/n a): 當 m為偶數(shù) n 為奇數(shù)冪a 為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形時,y 是偶函數(shù) ; 函b): 當 m,n 都是奇數(shù)時 ,y數(shù)是奇函數(shù) ; c): 當 m奇 n 偶時 ,y 在三( 正弦函數(shù) ) 的一部

9、分。(- ,0) 無意義 .a): 正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)角b): 正弦函數(shù)是奇函數(shù)且函這里只寫出了正弦函數(shù)數(shù)反( 反正弦函a): 由于此函數(shù)為多值函三數(shù), 因此我們此函數(shù)值限制角數(shù))在- /2, /2 上, 并稱其函這里只寫出了反正弦函數(shù)為反正弦函數(shù)的主值 .數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù) . 是初等函數(shù)。例題：雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考函數(shù)的函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質名稱a) ：其定義域 雙曲正 為 :(- ,+ ) ；弦 b) ：是奇函數(shù)；c) ：在定義域內是單

10、調增a) ：其定義域雙曲余為 :(- ,+ ) ；(0,1)；弦b) ：是偶函數(shù)；c) ：其圖像過點a) ：其定義域 為 :(- ,+ ) ；雙曲正 b) ：是奇函數(shù)；切 c) ：其圖形夾在水平直線 y=1 及 y=-1 之間；在定域 內單調增；雙曲函數(shù)的性質 三角函數(shù)的性質shx 與 thx 是奇函數(shù)， chx 是偶函數(shù)sinx 與 tanx 是奇函數(shù)， cosx 是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù). 其定義域為：(- ,+ ) ； a) ：反雙曲正弦函數(shù) b) ：反雙曲余弦函數(shù)其定義域為：

11、 1,+ ) ； c) ：反雙曲正切函數(shù)其定義域為：(-1,+1)；數(shù)列的極限數(shù)列若按照一定的法則，有第一個數(shù) a1，第二個數(shù) a2， ，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù) n 對應著一個確定的數(shù) an，那末，我們稱這列有次序的數(shù) a 1，a2， ， an， 為 數(shù)列 . 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做 數(shù)列的項 。第 n 項 an 叫做數(shù)列的 一般項或通項 . 注： 我們也可以把數(shù)列 an 看作 自變量為正整數(shù) n 的函數(shù)， 即： an=，它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限一般地，對于數(shù)列來說，N，使得對于 nN時的一切不若存在任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總存在正整數(shù)等式都成立，那末就稱常數(shù)a

12、是數(shù)列的極限 ，或者稱數(shù)列收斂 于 a . 記作：或只有任意給定，不等式才能表達出與 a 無限接近的注：此定義中的正數(shù)意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關的，它是隨著的給定而選定的。注： 在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為 a 的一個 幾何解釋 ：在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a將常數(shù) a 及數(shù)列學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考的 鄰域即開區(qū)間(a- ， a+ ) ，如下圖所示：等價，故當nN時，所有的點都落因不等式與不等式在開區(qū)間(a- ，a+ ) 內，而只有有限個( 至多只有N個) 在此區(qū)間以外。數(shù)列的有

13、界性對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式 M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的 。定理： 若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注： 有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例： 數(shù)列 1 ，-1 ，1， -1 ， ， (-1)n+1，是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a) ：自變量無限增大；b) ：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做 函數(shù)存在極值。函數(shù)的極限 ( 分兩種情況 ) a): 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 定義 ：設函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總

14、存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式的一切 x，所對應的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A 就叫做函數(shù)當 x時的極限，記作：數(shù)列的極限的定義 函數(shù)的極限的定義學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考存在數(shù)列與常數(shù) A 函數(shù)存在函數(shù)與常數(shù) A A 任給一正數(shù) 0 任給一正數(shù) 0 總可找到一正整數(shù)N 總可找到一正數(shù)X 對于 nN 的所有對于適合的一切 x 都滿足都滿足則稱數(shù)列當 x時收斂于A 當 x時的極限為記：記：b): 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限我們先來看一個例子 . 例： 函數(shù)，當 x1 時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在 x=1 處無定義 . 我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內，都有無窮多個

15、點，為此我們把x 1 時函數(shù)值的變化趨勢用表列出, 如下圖 : 就與 2 有從中我們可以看出x1 時，2. 而且只要x 與 1 有多接近，多接近 . 滿足或說：只要與 2 只差一個微量 ，就一定可以找到一個 ，當時定義：設函數(shù)在某點 x0 的某個去心鄰域內有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的 ( 不論其多么小 ) ，總存在正數(shù) ，當 0 時，則稱函數(shù) 當 xx 0 時存在極限，且極限為 A，記：注： 在定義中為什么是在去心鄰域內呢？這是因為我們只討論xx0的過程，與x=x0 出的情況無關。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考此定義的核心問題是：對給出的 ，是否存在正數(shù) ，使其在去心鄰域內的x

16、均滿足不等式。用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A ，其證明方法是：a): 先任取 0；b): 寫出不等式 ； ，若能；時，成立，因此c): 解不等式能否得出去心鄰域0 ，當 0d): 則對于任給的 0，總能找出函數(shù)極限的運算規(guī)則 若已知 xx 0( 或 x) 時，. 則：推論：在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題： 求解答：例題： 求此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在. 我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的 分子和分母都沒有極限解答：學習資料，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。學習資料收集于網絡，僅供參考注： 通過此例題我們可以發(fā)

17、現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子 ：，我們把這種情況稱為趨向無已知函數(shù)，當 x0 時，可知窮大。為此我們可定義如下：設有函數(shù) y=，在 x=x0 的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數(shù)N( 一個任意大的數(shù)) ，總可找到正數(shù) ，當時，成立，則稱函數(shù)當時為 無窮大量 。N( 一個任意大的數(shù)) ，總記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當x時，無限趨大的定義：設有函數(shù)y=，當 x 充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)可以找到正數(shù)M，當時，成立，

18、則稱函數(shù)當x時是 無窮大量 ，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量 。 ( 不論它多么小) ，總存在正數(shù) ( 或正數(shù)定義： 設有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)M) ，使得對于適合不等式( 或 ) 的一切 x，所對應的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù) 當 ( 或 x) 時 為無窮小量 . 記作：( 或 ) 注意 ：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有 0 可作為無窮小量的學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于 0. 無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關系的 .關于無窮小量的兩個定理定理一： 如果函數(shù)在( 或 x)

19、時有極限A，則差是當( 或 x) 時的無窮小量，反之亦成立。定理二： 無窮小量的有利運算定理 a) ：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b) ：有限個無窮小量的積仍是無窮小量； c) ：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量 .無窮小量的比較定義： 設 ，都是時的無窮小量，且在 x0的去心領域內不為零， a) ：如果，則稱 是 的高階無窮小 或 是 的 低階無窮小 ；b) ：如果，則稱 和 是同階無窮小 ； c) ：如果，則稱 和 是等價無窮小，記作： ( 與 等價) 例： 因為，所以當x0 時， x 與 3x 是同階無窮?。灰驗?，所以當 x0 時， x 2 是 3x 的高階無窮?。灰驗?，所以當

20、x0 時， sinx 與 x 是等價無窮小等價無窮小的性質設，且存在，則. 注： 這個性質表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質來簡化求極限問題。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考例題： 1. 求解答： 當 x0 時， sin axax，tan bxbx，故：例題： 2. 求解答：( 代換只能在 積商 時使用 ) 注：問: 代換是否只可以x0 時的極限使用?要代換式中的某一項，不能只代換某個因子注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，函數(shù)的一重要性質連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念增量設變量 x 從它的一個初值 x1

21、變到終值 x2，終值與初值的差 x 2-x 1 就叫做 變量 x 的增量 ，記為： x 即： x=x 2-x 1 增量 x 可正可負 . 我們再來看一個例子：函數(shù)在點 x 0 的鄰域內有定義，當自變量x 在領域內從x 0變到 x0+ x 時，函數(shù)y 相，其對應的增量為：應地從變到這個關系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：向于零，如果當 x 趨向于零時， 函數(shù) y 對應的增量 y 也趨即：那末就稱函數(shù) 在點 x0 處連續(xù)學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考函數(shù)連續(xù)性的定義：設函數(shù)在點 x0 的某個鄰域內有定義，如果有稱函數(shù)在點 x0 處連續(xù) ，且稱 x0 為函數(shù)的 的連續(xù)點

22、.下面我們結合著函數(shù)左、右極限的概念再來學習一下 函數(shù)左、右連續(xù) 的概念：設函數(shù) 在區(qū)間 (a,b 內有定義，如果左極限 存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù) 在點 b 左連續(xù) . 設函數(shù) 在區(qū)間 a,b) 內有定義，如果右極限 存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù) 在點 a 右連續(xù) . 一個函數(shù)在開區(qū)間 (a,b) 內每點連續(xù) , 則為在 (a,b) 連續(xù)，若又在 a 點右連續(xù)， b 點左連續(xù)，則在閉區(qū)間 a ，b 連續(xù)，如果在整個定義域內連續(xù)，則稱為 連續(xù)函數(shù) 。注： 一個函數(shù)若在定義域內某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù) . 注： 連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲

23、線。通過上面的學習我們已經知道函數(shù)的連續(xù)性了，出現(xiàn)什么情形呢？函數(shù)的間斷點同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為 間斷點 . 它包括三種情形：a) ：在 x0 無定義； b)：在 xx0時無極限； c)：在 xx 0時有極限但不等于間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0 是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我.們把 x0 稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點可去間斷點若 x0是函數(shù) 的間斷點， 但極限 存在，那末 x0是函數(shù) 的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù) 在點 x0 處連續(xù)，故這種間斷點 x0 稱為 可去間斷點學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考連