集訓(xùn)營(yíng)離營(yíng)一答案

1、考研數(shù)學(xué)一模擬題及答案一、選擇題（每題 5分）（1 ） Z T 0時(shí),下列關(guān)于無(wú)窮小的式子錯(cuò)誤的是（. :. ,1 .= -. . = 【解析】容易知道選項(xiàng)（A） （C） （D）都是正確的（B）的左右兩邊是等價(jià)無(wú)窮小 ，（B）不對(duì).（2）下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的說(shuō)法正確的是（/（）在點(diǎn)了二。處可導(dǎo)，則/（工）在點(diǎn)工=。的某鄰域內(nèi)也可導(dǎo)在點(diǎn)=0處左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等,則/ （工）在點(diǎn)Z = 0不連續(xù)/（1）在點(diǎn) =。處可導(dǎo)，則|/（工）|在點(diǎn)Z一0處不一定不可導(dǎo)，但一定連續(xù)/（）在點(diǎn)元=0處可導(dǎo)，則的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)上 = Q連續(xù).【解析】對(duì)選項(xiàng)（A），某一點(diǎn)可導(dǎo)不代表它的鄰域內(nèi)也可導(dǎo)，比如“）=T2Dx

2、 （D（X）是狄利克雷函數(shù)）僅在 出=0處可導(dǎo)，（A）不對(duì)；（B）中函數(shù)左可導(dǎo)則左連續(xù)，右可導(dǎo)則右連續(xù)，左右連續(xù)因此就是連續(xù)，（B）不對(duì)；（C）是對(duì)的，/（工）在點(diǎn)工=0處可導(dǎo)可以保證|/（工）|在工=0處連續(xù)，但不一定可導(dǎo)，比如/（）= 在工一 0處可導(dǎo)，但|/（工）| =在工一 0(D)sin x111 (1 + X)，但（B）選項(xiàng)，HmX 。/ + sinx不可導(dǎo)，（C）正確，（D）由（A）知顯然不對(duì),選（C）已知/(看y)I 6（A）連續(xù)（B）偏導(dǎo)數(shù)存在（C）可微（D）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)解析、朋/（初）二再職亍kj z ，因此 lim /(與v)不存在,選 -r 11M TfO.W（皿獷）H

3、（0,0） r 一 口，則義工力）在（0,0）處（）（0）= （0,0）項(xiàng)（A） （C）都不對(duì)； 口（0,0） = lim 跖）二=。）=0，同理fj（o,o）= 0，因此*T 0X偏導(dǎo)數(shù)存在，（B）正確；（工斗）豐（6。）時(shí)/（H，V）=旻（?。篢p-，此時(shí)極限 y ）lim(x,u)* (0,0)/J（瑞獷）也不存在，（D）不對(duì).（4）設(shè)函數(shù)/（工力）連續(xù)，則/ dr/ /（工+/ dy/瑞必而=（）（A） D,（B） ； d：；：；（C） /曲/ */）dx（D），儂/（瑞力五【解析】可以先畫出積分區(qū)域，積分/擊瑞?/）d$與/dv7（招妙位的積分區(qū)域分 別是（工四）|1 S工&2戶y&

4、2，（1,獷）|1 ”工產(chǎn)工這4 一價(jià)，把這兩個(gè)積分區(qū)域合起來(lái)得到（跖y）| 1 Wg三2J S注4 仆，因此積分表達(dá)式為 dg j f （工用）也，選（C）.（5）若月是m 乂辦矩陣，口是加X m矩陣，則下列說(shuō)法正確的是（）.（A）若口 V e，則矩陣AB與BA都不可逆（B）若 e /1，則/（。力）r（B）（C）若4B可逆，則可逆（D）若入是AB的非零特征值，則入也是BA的特征值【解析】正確答案是（D），如果A0X 一入X，則BABX ABX，這說(shuō)明若入是AB的非 零特征值，X # 0，#0，則人也是的特征值.對(duì)（A），祚 m則？不可逆，但BA仍有可能是可逆的；對(duì)（B） , En,如果/5

5、） 一 R,則（/?八）r（m；對(duì)（C） , AB 與BA有相同的非零特征值，但零特征值不一定相同，因此二者可逆性不一定相同（6）已知XN（出b） 工,%凡是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X,S分別是樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（(A)E(S2) = tr1 J.(B)奈3幻 服從工金G。分布O上=1(C)X與相互獨(dú)立(D)x/n(X 服從士分布1_【解析】錯(cuò)誤的說(shuō)法是（B）, 用） 父（n 1）而不是義2 （ri）.0*=1二、填空題（每題 5分）而獲Rl【解析】11 f sin2 a; + cos/ .-；鼻 ctr /ckrsmxmsr J smxcm xsin x i-dr +

6、 cos xdz/d(cosi) cos%/ 說(shuō)11，1+ CO5 1；sdr = sinxcosx3cos 工d(cosx) + / cLecos， J amxCOSI5r十 In tan + C（8）已知?jiǎng)?介工h = e- xc-是某個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的兩個(gè)解,則該微分方程滿足條件2/L=o = 0,K|工=0 = 1 的解為 y =【解析】由非齊次方程與齊次方程解的關(guān)系可知 =5_孰=小一寸是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解，由此可得對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根為入,u,非齊次方程通解為y =+ 物=Ge + Cye2T He方程滿足 此=q =1，于是 G + G = 0，G + 2G 1一

7、I，G - 2, G 2，于是所求的解為v二一二 .:(9)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) V-L(匕的收斂域?yàn)镴 (2n + l)ln7i U + X)11處為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊【解析】首先 V 產(chǎn)的收斂區(qū)間為(-h1)，端點(diǎn)看一念 2n + IJmn 一,丁1,，一布尼茨判別法知收斂，而=1時(shí)， 根據(jù)積分判別法與-一筆一(2n+ l)lnwJ2 + 1)山OCOC同斂散，而后者發(fā)散，因此 尸7二一發(fā)散，寧yr一二;一二的收斂域?yàn)?七(2n + IJlnn 七(2n + l)lnn-1,1).原級(jí)數(shù)收斂域滿足 工 1 或 ,= 一 1，即(0、+ oo).I + XI + (10)設(shè) 2 + = flcosnx (

8、 -耳 w z W 7T)，則1 n =?！窘馕觥恳?yàn)?+是偶函數(shù)，且2 + |e| = %cosnx (-ttWeWit)fi = u是余弦級(jí)數(shù)，所以w(2 + r)cx)s2;rfij：/ (2 + x)d(sin2T) (2 + i) siu2x n -苦in2工dz7T J U7TTT尸1/ Siti2a：(l3： = - cos2= q = 0.打,u2k(11)已知4是一個(gè)三階可逆矩陣，交換工的1 ： 3兩列得到矩陣B,把月的2 ： 3兩行都加到第一行得到矩陣C，如果6丁=2。丁。，則?=/I I 1/0 0【解析】C= | 0 1 0 A.B = A 0 10 0 J 01 /I

9、 1 lA-1 ZO00/0 I 0o 0 1JCi 0 uo n1 00 0/001/ TOC o 1-5 h z /I-1-1 /O0/O01/ 10010 C 01o I，因此/?丁 一010 C r -11001 / 100/l00/V10/ 1 0 0Q= I -1 1 o-l 0 1/(12)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)服從二維正態(tài)分布，且XN(1,32)，N(0,浜)，X與1X Vy的相關(guān)系數(shù)為p次=-,，設(shè)z= 毛+彳，則x與z的相關(guān)系數(shù)為.【解析】 Cov(X?Z) = CovX,可 十-仙*)+ *o(x)w)pxy-Y I ,、|:卜加 X)+；CovL3-，x - I -

10、- 一。一 ，. . = 0 .三、解答題(每題 10分)(13)設(shè)工表布不超過(guò)T的最大整數(shù)，求極限lim工 d-g【解析】當(dāng)程Wf71 + I時(shí),，(t 田尸出二 ” i) 2di + /(, t。出=y z + (x n)3n 1廣“、 n + TOC o 1-5 h z 所以一/ .lim ，, I 八=lim =口 = ,且工 t + oc 時(shí) oo, rWoo 35 + 1Jft t x3因此利用夾逼準(zhǔn)則知二;.Z+x arctan j;, L：-.(1+/尸【解析】十 arctanx (1 + 7)/邦三=tfstat jsin3t=y + fy COSi +17T7F夏(si土

11、亨呂in*，d士 = y +7TTcost + Ideosisee21 di = I tcoad = / i(l sin2Z)d8inZ see iJuJQ(15)設(shè)。在上連續(xù),在(口 內(nèi)可導(dǎo),證明在(55)存在點(diǎn)使得【證明】等價(jià)于證明由柯西中值定理， a?嬰，由拉格朗日中值定理弋二)=兩式相除即得.(16)設(shè)空間區(qū)域。=(見g/) |/ +獷+ W 1), 5ble都是大于零的常數(shù)，計(jì)算三重積分【解析】利用對(duì)稱性可得到 jjji2dV = jjdV = Ujz2dV,因此i*K+/.昨+=；(相 + 獷 + c2)(X2 + + z2)dV 47r1尸 A fi=-(a? + b2 + c2

12、) / d6 r2 - rsinpdt3Jo Jo Jo(17)已知a, 6是兩個(gè)三維非零列向量,E為三階單位矩陣，A = E + a3T ,證明幺可對(duì)角 化的充要條件是/0,并在乂可對(duì)角化條件下，求對(duì)角矩陣A使得工與A相似.【解析】 時(shí) 是一個(gè)秩為I的矩陣,因此方程q8Tx = 0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 Xi,Xz ,即 值日丁有二重特征值0 ,以及其所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量如果修3T有非零特征值為M則q/T X =A3T X，因此入=0%，并且對(duì)應(yīng)于a =歹c = a10的特征向量是 O X （顯然是非零的）是仃夕可對(duì)角因此如果（上丁戶4 口，可知山平有三個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量 Xi,Xa，0丁工 ,于化,進(jìn)而A = E+對(duì)可對(duì)角化,A =.如果n工 = 0,由于對(duì)應(yīng)于特l + a3j征值0只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，從而不可對(duì)角化.（18）已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量 （X,工）的聯(lián)合密度為ky