隨機(jī)過程習(xí)題和答案

1、一、設(shè)二維隨機(jī)變量（,）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:試求：在時(shí)，求。解：當(dāng)時(shí)，= =設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從幾何分布：試求的特征函數(shù)，并以此求其期望與方差。解：所以:袋中有一個(gè)白球，兩個(gè) 紅球，每隔單位時(shí)間從 袋中 任取一球后放回，對(duì)每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變M一X(t)如果對(duì)t時(shí)取得紅球3te 如果對(duì)t時(shí)取得白球試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族設(shè)隨機(jī)過程，其中是常數(shù)，與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從區(qū)間上的均勻分 布，服從瑞利分布，其概率密度為試證明為寬平穩(wěn)過程。解：（1）與無關(guān)所以只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以為寬平穩(wěn)過程。設(shè)隨機(jī)過程 X(t)Ucos2tU E(U )5, D(U)5.求： ,其中是隨機(jī)變且(

2、1)均值函數(shù)；(2)協(xié)方差函數(shù)；(3)方差函數(shù).設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程 X (t) Ut 2Y(t ) Ut3, U隨機(jī)變且 D (U ) 5.,其中是試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。設(shè) A,B ,X(t) At3B tT(,)的均值是兩個(gè)隨機(jī)變M 試求隨機(jī)過程，函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) .A, B , - (1,4 ), 一 ( 0,2), ()(,)若相互獨(dú)立且A N B U則mXt及RXt11 2為多少？一隊(duì)學(xué)生順次等候體檢。設(shè)每人體檢所需的時(shí)間服從均值為2分鐘的指數(shù)分布并且與其他人所需時(shí)間相互獨(dú)立，則1小時(shí)內(nèi)平均有多少學(xué)生接受過體檢在這1小時(shí)內(nèi)最多有40名學(xué)生接受過體檢的 概率是多少(設(shè)學(xué)生非常多，醫(yī)生不會(huì)

3、空閑)解：令N(t)表示(0, t)時(shí)間內(nèi)的體檢人數(shù)，則 N(t)為參數(shù)為30的poisson過程。以小時(shí)為單位。貝U E( N (1) 30。40 k30(30)。P(N (1) 40) ek! k 0在某公共汽車起點(diǎn)站有兩路公共汽車。乘客乘坐1,2路公共汽車的強(qiáng)度分別為1, 2,當(dāng)1路公共汽車有N人乘坐后出發(fā)；2路公共汽車1在有 工 人乘坐后出發(fā)。設(shè)在 0時(shí)刻兩路公共汽車同時(shí)開始等候乘客到來，求(1) 1路公共汽車比2路公共汽車早出發(fā)的概率表達(dá)式；(2)當(dāng)N1= N ,1=2時(shí)，計(jì)算上述概率2解:法一：(1)乘坐1、2路汽車所到來的人數(shù)分別為參數(shù)為1、2的poiSSOn過程)令它們?yōu)門表示

4、N1(t) = n的發(fā)生時(shí)1N1(t)、N2(t)。 N 1刻，T表示N 2(t) =N的發(fā)生時(shí)刻。N22N11 N 1 fttt()1exp( )ti111 nN(1)! 11N2N 1 2 fttt()2eXp( ) T 2 2 2 2N 2(N 1)!2N N1 2N 1 N 1 1 2f(t ,t)f(t |t)f(t)texp( t)texp(t)T,T12T|T12T2111222nnnnn(n 1)! ( N 1)!12 12 21 N 1 2 N 1P(T T )dt t exp( t )t exp( t )dtN N 2 1 1 1 2 2 2 112(N 1)! (N 1)

5、!0 01=2時(shí)，pntt)P(TT)12 12法二：（1）乘車到來的人數(shù)可以看作參數(shù)為1 +2的泊松過程令Z1、Z2分別表示乘坐公共汽車1、2的相鄰兩乘客間到來的時(shí)間間隔。則Z1、Z2分別服從參數(shù)為1、 2的指數(shù)分布，現(xiàn)在來求當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客還是乘坐1路汽車的概率。z2p P(Z Z ) dz exp( z ) exp( z )dz12211122210 01 o1 2故當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客乘坐 2路汽車的概 率為1- p21 2上面的概率可以理解為：在乘客到來的人數(shù)為強(qiáng)度1 +2的泊松過程時(shí)，乘客分別以1的概概率乘坐公共汽車1,以212 12 率乘坐公共

6、汽車2。將乘客乘坐公共汽車1代表試驗(yàn)成功，那么有：N N 11 2N 1 1 N 2 k N(1 =1()1()1 k 1 TOC o 1-5 h z k N12 12(2)當(dāng) N = N、1= 2 時(shí)22N 1 2N 11111 N 1 k N 1 k 1P路汽車比2路汽車先出發(fā))C C(1=()() k 1 k 12 2 2 k N k N設(shè) N (t ), t 0) (i 1,2, L , n)是n個(gè)相互獨(dú)立的Poisson過程，參數(shù)分別為 ii(i 1,2,L , n)。記T為全部n個(gè)過程中，第一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻(1)求T的分布；證明()(), 0)N t N 11是 Poisson過

7、程，參數(shù)為ii 1(3)求當(dāng)n個(gè)過程中，只有一個(gè)事件發(fā)生時(shí)，它是屬于i1 i N (t), t0)的概率。1解：(1)記第i個(gè)過程中第一次事件發(fā)生的時(shí)刻為t, i1,2,.i1.,n o則TminQi2.n。由tii服從指數(shù)分布,有PTt1PTt1Pmirt,i1,2,.pti1n1Ptt,i1,2,.n1Ptti1i1i1n nt11(1)1expeiti i 1i 1(2)方法一：由N(t),i1,2,.n為相互獨(dú)立的poissoT程)對(duì)i于 s,t0。nPN(ts)N(t)nPN(ts)N(t)n ii i1PN(ts)N(t)n,nn,i1,2.n i ii inin n nn nin

8、ni(sexp( )s) i n! i1i1i n n (s) i n i 1 exp( )s) i n! i1 n n 這里利用了公式nii(.)n! 1 n n! nin i1 i nn所以()(),0i 的 poisson程。NtNtt是參數(shù)為ii 1i 1方法二：。1當(dāng)h0時(shí)，nPN(th)N(t1PN(ts)N(t)1 i i i1 n n(ho(h)1ho(h)iljln nho(h)ho(h)iii 1 i1。2當(dāng)h0時(shí)，PN(th)N(t)2PN(ts)N(t) 2iii 1 n1 PN(ts)N(t)2 ii i1nn1(1ho(h)ho(h)jlil n n1(1ho(h)

9、ho(h) i ii 1i 1o(h)得證。(3)RN(t)1|N(t)1PN(t)1,Nt)0,i2,.n/PN(t)111n ntn1t1tteeieit/11i i2i11n證明poissctt程分解定理：對(duì)于參數(shù)為的poissott程rN(t),t0, 0p1,i1 Pi, 口，2小，可分解為 1個(gè)相i互獨(dú)立的poisscn程，參數(shù)分別為p, i1,2L,roi解：對(duì)過程N(yùn)(t),0,設(shè)每次事件發(fā)生時(shí)，有 r個(gè)人對(duì)此以概率rpi，MP進(jìn)行記錄，且 p,同時(shí)事件的發(fā)生與被記錄之1ii 1間相互獨(dú)立，r個(gè)人的行為也相互獨(dú)立，以N(t)表示為到t時(shí)刻冢丁個(gè)人所記錄的數(shù)目?，F(xiàn)在來證明(),0N

10、t t是參數(shù)為ip 的 poissott程。iPN(t)mPN(t)m |N(t)m nPN(t)m nn 0mn(t)mmntn0Cp(1p)emn i i(mn)!me ( pt)ptim!獨(dú)立性證明：考慮兩種情況的情形，即只存在兩個(gè)人記錄,一個(gè)以概率p, 一個(gè)以概率1p記錄，則N(t),t0是參數(shù)為1p 的 poisson程)N(t),t0是參數(shù)為2(ip)的 poisson過程。PN(t)k, N(t)kPN(t)k, N(t)kk11221112PN(t)kkPN(t)k|N(t)kk121112tkkkeC1p1p2(1)kk1 2kk(t)12(kk)!1 2kk()12t(kk

11、)!tkk12ep1p2(kk)!k!k!1212kktkkep(1p)12(t)k!k!12kkpttptpt)1(1)2eek!k!12PN(t)kPN(t)k1 122得證。設(shè)3的poisson程 ) 試求PN(1.PN(1)1,N3)2;PN(1)2|N(1)13k解:(1)333PN(1)3e13ek0k!PN(1)1,N3)2PN(1)1,M3)N(1)1369PN(1)1PN (3)N(1)13e6e18e3PN(1)214ePN(1)2| N(1)13PN(1)11e對(duì)于poissonN期，證明st時(shí)，nssn kkPN(s)k|N(t)n(1)()ktt解:PN(s)k| N

12、(t)nRN(s)k,N(t)nPN(t)nPN(s)k,N(t)N(s)n k PN(t)nPN(t)N(s)n kPN(s)k PN(t)n n k k(ts)Xs)(ts)see (nk)!k!ne t(t)n!nkk(ts)sn!n(nk)!k!tntssn kk()kn kkttnssnkk(1)() ktt2的Poissott程，另設(shè)N(t),t0和N2(t),t0分別是參數(shù)為1X(t)N(t)N(t),問X(t)是否為 Poissott程，為什么1 2解：不是XtNtNt, X(t)的一維特征函數(shù)為: ()()() 12iuX(t)iu(N(t) N(t)iuN(t)iuN(t)

13、f(u)E(e)E(e)E(ee)1212X(t) kk (t)(t) iuk1 tiuk2t eeee 12k!k!kokoiukiuk(et)(et)廿ee 12 12k! k!kokoiuiut etteteeee1 122iuiuexpet et()t1212參數(shù)為的PoiSScM程的特征函數(shù)的形式為explet,所以iuXt 不是 poisson程。()計(jì)算T, T2,飛的聯(lián)合分布1解：3( x x x )1 2 3f , ,(x,.x) f (X f (X f (x) eX X X X X X 1 2 3 1 2 31 1 0J(t ,t ,t ) 0 1 1 11 2 30 0

14、1f (t ,t ,t ) f (t ,t t ,t t ) J(t ,t ,t )T ,T ,T 1 2 3 X ,X ,X 1 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 33 te 0 t t t31 2 30其他對(duì) s 0,計(jì)算 E N (t)gN (t。s)解：2E N(t)N (t s) EN (t)(N(t s) N (t) EN (t )2E N(t)E( N (t s) N(t ) EN (t )2 2 2 2t s t ( t) t st t設(shè)某醫(yī)院專家門診，從早上8:0肝始就已經(jīng)有無數(shù)患者等候，而每個(gè)專家只能為一名患者服務(wù)，服務(wù)的平均時(shí)間為2陰鐘，且每名患者的服務(wù)時(shí)間

15、是相互獨(dú)立的指數(shù)分布。則8:0J 12:00。診結(jié)束時(shí)接受過治療的患者平均在醫(yī)院停留了多長(zhǎng)時(shí)間。解：從門診部出來的患者可以看作服從參數(shù)為3的泊松過程(以小時(shí)為單位)。則在0, t小時(shí)內(nèi)接受治療的患者平均停留時(shí)間為：N ( t) N (t )T Ti ii 1 i 1E E E | N (t) nN(t) N (t)ntt t2E En 2 2當(dāng)t = 4時(shí)，平均等待停留時(shí)間為2 ho3 .111 N (t)，t是強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊次PoissE程，凡X,L是事件發(fā)生之間的間隔時(shí)間，問：(1)諸X是否獨(dú)立i(2)諸X是否同分布解:t(s)ds(1)m(t)P X t P N(t) 0 e e 0

16、1t s()dsP X t | X s P N(t s) N ( s) 0| X s 2 1 1m(t s) m( s)P N(t s) N (s) 0 e e從上面看出X1、X不獨(dú)立。以此類推，X不獨(dú)立。(2)(s)dsf (t ) 1 eF (t ) 1 P( X t) 1 P X t | X s dF (s) X X22 0 2 1m(t s) m( s) m( s) m( t s)1 e e (s)ds 1 e (s)ds0 0分布不同設(shè)每天過某路口的車輛數(shù)為：早上 7:008:00,11:002:0的平均每分鐘2輛，其他時(shí)間平均每分鐘 1輛。則早上7:3011:20F均有多少輛車經(jīng)過

17、此路口，這段時(shí)間經(jīng)過路口的車輛數(shù)超過500兩的概率是多少解：(1)記時(shí)刻7:0必時(shí)刻Q以小時(shí)為單位。經(jīng)過路口的車輛數(shù)為一個(gè)非齊次poiss啦程，其強(qiáng)度函數(shù)如下:120 0 s 1,4 s 5 (s)60 1 s 4則在7: 3011 20時(shí)間內(nèi)，即13t 0.5時(shí)，313N( ) N (0.5)3代表這段時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)，它服從均值為如下的poisson 布。13 131 4m(t) (s)ds 120ds 60ds 120ds 60 180 40 2803 30.5 0.5 1 4即:13EN ( ) N (0.5) 280給定的時(shí)間內(nèi)平均通過的車輛數(shù)為280n2800(2)13 (280

18、)PN( ) N (0.5) 500 e3 n!n 5010,t時(shí)間內(nèi)某系統(tǒng)受到?jīng)_擊的次數(shù)n (t),形成參數(shù)為 的poisson過程。每次沖擊造成的損害Y,ii 1,2, L獨(dú)立同指數(shù)分布，均值為。設(shè)損害會(huì)積累， 當(dāng)損害超過一定極限A時(shí),系統(tǒng)將終止運(yùn)行。以T記系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)間(壽命)，試求系統(tǒng)的平均壽命解：在0,t內(nèi)某系統(tǒng)受到的總損害ET。N ( t)X t的一個(gè)復(fù)合 poisscM。()ii 1程，其中1Y e。 ()itET tdF (t ) dxdF (t) dF (t )dx (1 F ( x)dx P(T x)dxT T T T0 0 0 0 x 0 0N (t)P(T t) P Y

19、 Ai i 0N (t)P Y A| N(t) nP N (t) n in 0 i 0n te P Y A P N(t) n in 1 i 11n x n()()tAt n 1 te x e dx e0(n 1)! n !()()At TOC o 1-5 h z -t n 1 tP(T t) dt e x e dxe dt。o0(n 1)! n!n 11 n x n ,A()()t一一t n 1 t e dt x e dx e dt0 0 0 n 1(n 1)! n!1 n x n n 11 ( t) 1 ( t) ,A n t t() 1x e dx( e e dt ) 0n n0 n(1)

20、! ! ( 1)!0n 11 1A n xn 1()n 1x e dx (n 1)!1 n 1 x1 1 1 A ()0 口 1n 1x e dx(n 1)!1 A1 A系統(tǒng)的平均壽命為某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來的客源情況，考察了男女顧客來商場(chǎng)的人數(shù)。假設(shè)14男女顧客來商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘2人與每分鐘3人的泊松過程。(1)試求到某時(shí)刻時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；(2)在已知時(shí)刻以有50人到達(dá)的條件下， 試求其中恰有30&婦女的概率， 平 均有多少個(gè)女性顧客解：設(shè)分別為(0, t)時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。(1)由已知，為強(qiáng)度的泊松過程，為強(qiáng)度的泊松過程；故，為強(qiáng)度的泊松過程

21、；于是，(5分)(2)(5分)一般地，故平均有女性顧客人(4分)(1)對(duì) (2)錯(cuò)當(dāng)N(t)時(shí),T有可能小于t (3)錯(cuò)， T tn n時(shí)，N(t可能等于no更新過程的來到間隔服從參數(shù)為(n,)的 分布(1)試求N(珀勺分布；.N(t)(2)試證|imt tn。解：(1) PN(tkPN(t)kPN(tk1PTtP用kk1k k1PXtPXt11 1111skn1 s( k1)n1testes dsds()()00(kn1)!(k1)n1)!(2)由強(qiáng)大數(shù)定律：xITnkI1EXikkTtTt, TNtt TNt ,()()1N(t)N(t)1N(t)N(t)N(t)lim N(t)tN(t)

22、則：limttnN(t)TTNtnNtNt()1()1( ) 1N(t)N(t)1N(t)6 N(t)故 limt tn,t。對(duì)于Poissott程證明定理解:M(t)E(Nt)X;n 1 nn1n1xxtxtxF (t)e dxe dxtn00(n1)!(n1)!n1n1n112PX1, PX2,計(jì)算 PN(1)k? PN(2)k, PN(3)k。 i i33解：（1）1 23 313191 89 9PN (1) 0 PN (1) 0 PN (1) 1 PT 1 PT 1 10 1PN (1) 1 P N (1) 1 P N (1) 2 PT 1 P X X 11 1 2XK2 3 41 4

23、 4P一 一9 9 9PN (2) 2 P N(2) 2 P N (2) 3 P X X 2 P X X X 21 2 1 2 3PN (2) 1 P N(2) 1 P N (2) 2 PT 1 P X X 1 11 1 2XX + X 3 4 5 631 6 12 8P27 27 27 275 1 14P N (3) 2 P N (3) 2 P N (3) 3 P X X 3 PT 31 2 39 27 275 4P N (3) 1 P N (3) 1 P N (3) 2 PT 3 P X X 3 11 1 2,9 91 1P N (3) 3 P N (3) 3 P N (3) 4 PT 3

24、 PT 3 03 427 27一個(gè)過程有 n個(gè)狀態(tài)1,2,L ,n最初在狀態(tài)1,停留時(shí)間為X,離開1到達(dá)2停留1時(shí)間為X,再達(dá)到3, L,最后從n回到1周而復(fù)始)并且過程對(duì)每一個(gè)2狀態(tài)停留時(shí)間的長(zhǎng)度是相互獨(dú)立的。試求lim用)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)it設(shè)E( Xk+l +X顯x x X為非格點(diǎn)分布。12+ +n解：記過程處于狀態(tài)i記為開，從狀態(tài)i+1到n,經(jīng)過n再回到1,再到i-1這一過程記為關(guān)。n則有 Zk=Xi,Y = X Okjj1設(shè)初始狀態(tài)從1第一次到i需要時(shí)間 to 0則 limtilimtP時(shí)刻 系統(tǒng)處于狀態(tài) P時(shí)刻 系統(tǒng)是開著的 ttEZEX時(shí)刻系統(tǒng)是開著的。kilimPt-t0tEZ

25、EYE(X.X) k k1 n用交錯(cuò)更新過程原理計(jì)算t時(shí)刻的壽命與剩余年齡的極限分布。解：丫小川為t時(shí)刻剩余壽命，AttT為t時(shí)刻年齡。()Nt()若假設(shè)更新過程是將一個(gè)部件投入使用而一旦失效即更換所產(chǎn)生的，則A(t)表示在時(shí)刻t部件所使用的年齡，而丫#示它的剩余壽命。令X(t)Y(t)A(t),即X(t)表示兩次相鄰更新的時(shí)間間隔，我們要計(jì)算PA(tX,為此我們將一個(gè)開-關(guān)的循環(huán)對(duì)應(yīng)于一個(gè)更新區(qū)間，且若在t時(shí)刻的年齡小于或等于X,就說系統(tǒng)在時(shí)刻t “開著”。換言之，在兩次相鄰的時(shí)間為X(t)的時(shí)間內(nèi)，前X時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)“開著”，而其余時(shí)間“關(guān)著”。那么若X(t)的分布非格點(diǎn)的，由定理得到lim

26、P A(t) x lim P t Emin( X , x) / E X 在時(shí)刻開著Emin( X , x) Pmin( X , x) y dy0 xo P(X x)Pmin( X ,x) y | X x P( X x)Pmin( X , x) y | X x dyP(X x)Pmin( X ,x) y | X x P( X x) Pmin( X , x) y | X x dy xxP(X x)P x y | X x P( X x )P X y | X x dy0P(X x)P x y | X x P( X x) P X y | X x dyxxP(X x) P( y X x) dy P(y X x)dy P(X x) P( y X x) dy P(X x y) P