曲面曲率計算方法的比較與分析

1、QUJM 氐大孕研究生專業(yè)課程報告題目：曲面曲率直接計算方法的比較學(xué)院:信息學(xué)院課程名稱：三維可視化技術(shù)任課教師：劉曉寧姓名：朱麗品學(xué)號：201520973西北大學(xué)研究生處制曲面曲率直接計算方法的比較1、摘要曲面曲率的計算是圖形學(xué)的一個重要內(nèi)容，一般來說，曲面的一 階微分量是指曲面的切平面方向和法向量,二階微分量是指曲面的曲 率等有關(guān)量.它們作為重要的曲面信息度量指標(biāo)，在計算機圖形學(xué)， 機器人視覺和計算機輔助設(shè)計等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.此文對曲面 上主曲率的2種直接估算方法（網(wǎng)格直接計算法和點云直接計算法） 進行了論述，并進行了系統(tǒng)的總結(jié)與實驗，并給出了其在顱像重合 方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞曲面曲率

2、、主曲率、點云、三角網(wǎng)格2、引言傳統(tǒng)的曲面是連續(xù)形式的參數(shù)曲面和隱式曲面，其微分量的計算已 經(jīng)有了較完備的方法.隨著激光測距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技術(shù)和硬件 設(shè)備的長足進步，以及圖形工業(yè)對任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光滑曲面造型的需 求日益迫切，離散形式的曲面細(xì)分曲面、網(wǎng)格曲面和點云曲面正在逐漸成為計算機圖形學(xué)和幾何設(shè)計領(lǐng)域的新寵.于是，對這種離 散形式的曲面如何估算微分量，就成為一個緊迫的課題。CT掃描技術(shù)獲得的原始點云和網(wǎng)格數(shù)據(jù)通常只包含物體表面的空 間三維坐標(biāo)信息及其三維網(wǎng)格信息，沒有明確的幾何信息，而在點云 和網(wǎng)格的簡化、建模、去噪、特征提取等數(shù)據(jù)處理和模式識別中，常 需要提前獲知各點的幾何信息，如點的曲

3、率、法向量等，也正基于此， 點云和網(wǎng)格的幾何信息提取算法一直是研究的熱點。點的法向量和曲 率通常采用離散曲面的微分幾何理論來計算，由于離散曲面分為網(wǎng)格 和點集兩種形式，其法向量和曲率計算也分為兩類:一類是基于網(wǎng)格 的法向量和曲率計算，另一類是基于散點的法向量和曲率計算。由于 基于三角網(wǎng)的點云幾何信息計算精度一般比較低，通常采用直接計算 法。在點云幾何信息提取中，常采用基于散亂點的點云幾何信息計算 方法，該類方法主要是通過直接計算法和最小二乘擬合算法獲取點云 的局部n次曲面，然后根據(jù)曲面的第一基本形式和第二基本形式求 解高斯曲率和平均曲率，而點云的局部曲面表示有兩種：一是基于法 向距離的局部曲面

4、表示，二是基于歐幾里德距離的局部曲面表示。本節(jié)中針對近幾年來國際上提出的對三角網(wǎng)格曲面估算離散曲率的 直接估算法，從數(shù)學(xué)思想與表達形式等方面進行系統(tǒng)的歸納與總結(jié).3、三角網(wǎng)格曲面的曲率的計算及代碼實現(xiàn)為了敘述清楚起見，引入統(tǒng)一的記號k 1和k 2表示主曲率，曲面的主 曲率即過曲面上某個點具有無窮個曲線，也就存在無窮個曲率（法曲 率），其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個曲率為極大 值k1，垂直于極大曲率面的曲率為極小值奴。這兩個曲率的屬性為 主曲率。它們代表著法曲率的極值。主曲率是法曲率的最大值和最小 值。H表示平均曲率，是空間上曲面上某一點任意兩個相互垂直的正 交曲率的平均值。如果一

5、組相互垂直的正交曲率可表示為K1、K/那 么平均曲率則為：H=（K1 +K 2 ） / 2。K表示曲面的高斯曲率，兩個主曲率的乘積即為高斯曲率，又稱總曲率，反映某點上總的完全程度。K=k 1*k 2。N fk表示法曲率，n表示法向量.考慮三角網(wǎng)格的頂點V、 （1）曲面三角網(wǎng)格的表示形式 給一個三維曲面，如下圖所示，如果用文本形式將其打開，則是由兩 部分組成，第一部分以v開頭是三維的點，第二部分以f開頭是三個點組成的面三角形。# 1009 2022v Q103 -0.056第妗財?shù)淖鴺?biāo)v -0.3910.S3S一 氟個頂點的坐標(biāo)y -0,355093 0.225、 誨._ . x.V 0.196

6、 0.035 -4).636 f 723 965 ?62_眥第葉面的項點號f料q 7果禰f 333 523 952眥勒偷的踴號f 164 1002 978（2）三角網(wǎng)格模型曲率計算-直接計算 第一步：估計給定點的法向量 三角網(wǎng)格模型一般情況下可以由一對線性表表示，M=（V,F）；其中V=vi： 1=i=nv表示頂點集，F(xiàn)=fK：1=k=nf表示三角片集。如下 圖所示:nf十1各個三角片的法向量的計算，在計算以v|為公共頂點的法向量時，由 于后面的計算要取其平均值，故必須保證法向量方向的一致性，在這里要用到了數(shù)學(xué)上的右手法則或者左手法則，即與v相鄰的點形成一 I個三維的封閉的圈，按照右手法則給其

7、線段標(biāo)注方向，如下圖所示。三角面片f k的法向量N fk的計算公式如下:N fk=(v-v+i)*(Vi-v)/|(v-Vi)*(Vi-v)| 我們稱1-環(huán)鄰域是與點七相鄰的三角形集合。圖中除頂點七外其它 頂點組成的集合記為Vi。如果頂點vj屬于Vi，則vj是七的相鄰點。 Vi中頂點的個數(shù)稱為其頂點的度，記為|N(i)|。包含v的三角形片集i合記為Fi。如果三角形片記fk屬于Fi。記為fke Fi。記|fk|為三角 形片的面積。包含點vi的三角片的面積之和記為N(vi)o離散三角網(wǎng)格上法向量和法曲率也有一般的定義方法，這些幾何 量估算的準(zhǔn)確度對高斯曲率和平均曲率的準(zhǔn)確度影響很大。對于離散 三角

8、網(wǎng)格曲面M=(V,F)，任意點七的法向量一般可定義為1-環(huán)三角 形某些幾何量的加權(quán)和。最簡單的加權(quán)方法為1-環(huán)三角形的法向量 平均值，定義如下：對于三角網(wǎng)格上任意點v法曲率通常使用公式k 2汗)。一 I 12第二步：計算法曲率，得到兩個主曲率K 1和K 2 對于三角網(wǎng)格上任意點叩法曲率通常使用公式第三步：計算高斯曲率和平均曲率K=K1*K2 H=(K 1+K 2)/2實現(xiàn)代碼見附件4、點云曲面的曲率的計算及代碼實現(xiàn)(1)點云簡介點云（Cloud Points）是由很多單個的點組成的集合。點是最簡單、 最基本的幾何定義實體。記錄了模型表面離散點上的各種物理信息， 例如模型表面離散點的三維位置坐標(biāo)

9、、大小、法向量、顏色、透明度、 紋理特征等。用點云表示的顱骨如下圖所示：（2）點云模型曲率計算-直接計算1）選取當(dāng)前的點P. （x,y,z）;2）運用kd-tree查找點P.的最近鄰的m個點，夠成m*3的矩陣A；3）計算協(xié)方差矩陣A A；4）求解3）中獲得的協(xié)方差矩陣的特征值七，入2，入3 ；5）取七，入2，入3中的最小特征值xmin ；6）計算pi的曲率：y/（七+x2+x3）;實現(xiàn)代碼見附件5、曲面曲率的應(yīng)用（1）基于曲率的點采樣曲面簡化對于從原始的幾何形體采樣得到的密集點云來說，有時并不需要 豐富的細(xì)節(jié)特征只需要形體的大致輪廓,或者為了避免對利用采樣得 到的密集點云進行曲面重建后再簡化。

10、這時為了有利于繪制，方便后 續(xù)處理就有必要對點采樣曲面進行簡化。關(guān)于點采樣曲面的簡 化,Pauly等【4】提出了幾種有效的方法，主要是將原來網(wǎng)格曲面成 熟的簡化算法推廣到點采樣曲面。從微分幾何的角度來看，原始曲面 曲率較高的區(qū)域，應(yīng)該用較多的采樣點表示，相反則用相對較少的 采樣點表示。曲率是反映曲面的基本特性，因此常用作簡化的閾值準(zhǔn) 則之一。一般基于曲率的簡化是這樣的:設(shè)一個閾值，小于閾值的簡 化掉，反之則給予保留;反復(fù)重復(fù)該過程直至簡化之后的點個數(shù)滿足 要求為止，或者當(dāng)沒有小于閾值的采樣點了。然而這種做法一個明顯 不足的是，簡化可能一直在某個曲相差微小的區(qū)域進行，相反在需 要簡化的曲面區(qū)域則

11、沒有簡化到。為此，簡化算法可以這樣改進:首 先根據(jù)曲率大小把曲率分成不同的區(qū)間段，相當(dāng)于對點采樣曲面進 行分割，然后設(shè)一個曲率偏差，最后把每個區(qū)間段內(nèi)與最大曲率點 相差小于偏差的采樣點簡化掉。這樣做法的最大好處在于點采樣曲面 的不同曲率間段的區(qū)域都簡化到。根據(jù)不同的需要，區(qū)間段的個數(shù)， 曲率偏差可以取不同的值，甚至每個區(qū)間段的曲率偏差可以取不同。(2)特征提取特征提取在計算機視覺、圖像處理、逆向工程等領(lǐng)域得到廣泛研究。 在逆向工程中，三維幾何形體的特征提取在曲面的重建、光順去噪等 都占有重要的地位。Gumhold等【5】通過Hoppe等的主元分析，為 每個采樣點加權(quán)，接著利用最小生成圖(min

12、imum spanning graph) 提出一種直接在點云曲面進行特征提出的方法;與之類似,Pauly等 5將圖像處理中的多尺度概念引入點采樣曲面，提出一種抗干擾性更強的多尺度特征提取方法。本文對點采樣曲面進行特征提取采用 的方法也與Gumhold類似，只不過算法中的曲率計算方法不一樣。曲率計算在工程、醫(yī)學(xué)、信息學(xué)等方面都有很多的應(yīng)用，在法醫(yī)學(xué)上，對于無身源顱骨和失蹤人照片重疊的過程中，輪廓線的曲率是一個重要的指標(biāo)。在工程制造方面，曲率的一致性也發(fā)揮了很大的作6、總結(jié)本文首先給出了兩種方法在點集上直接計算曲率,試驗表明這兩 種方法都可以達到很小的誤差，然后我們從準(zhǔn)確度和效率上對這兩種 方法做

13、了比較，給出了各自的適用場合.進一步的工作可以考慮曲率 的一些應(yīng)用.在點集的重采樣和點集的簡化6中，曲率可以起指導(dǎo)作 用，比如曲率小的區(qū)域比較平坦,采樣密度可以小一些.在點集的繪 制方面，A. Ka laiah等人4提出了一種基于曲率的繪制方法,但是 他們的曲率是通過參數(shù)曲面或者網(wǎng)格計算得到的,而結(jié)合我們的方法, 就可以直接從點集進行繪制.本文填補了從點集模型計算曲面曲率的 空白，拓展了點集模型的應(yīng)用。7、參考文獻【1】鄔凱，等.山區(qū)公路路基邊坡地質(zhì)災(zāi)害遠程監(jiān)測預(yù)報系統(tǒng)開發(fā)及應(yīng)用J.巖 土力學(xué)，【2】賀美芳.基于散亂點集數(shù)據(jù)的曲面重建關(guān)鍵技術(shù)研究D .南京航空航 天大學(xué)，2006.【3】吳劍煌.點采樣曲面曲率估計?！?】王奎武.基于點表示的曲面曲率計算方法。【5】 Zwicker M , Pauly M, Knoll O et al. Poin tsh op 3D: an int eractive s yst em f or point-bas ed s urf ace editing C . Proceed