閱讀與思考　一次方程組的古今表示及解法

1、8.2消元-解二元一次方程組代入法教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)1代入消元法解二元一次方程組2解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思想(二)能力訓(xùn)練要求1會用代入消元法解二元一次方程組2了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想(三)情感與價值觀要求1在學(xué)生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題為簡單問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題的化歸思想中，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心2培養(yǎng)學(xué)生合作交流，自主探索的良好習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)1會

2、用代入消元法解二元一次方程組2了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想教學(xué)難點(diǎn)1“消元”的思想2“化未知為已知”的化歸思想教學(xué)方法啟發(fā)自主探索相結(jié)合教師引導(dǎo)學(xué)生回憶一元一次方程解決實(shí)際問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題的方法并從中啟發(fā)學(xué)生如果能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程二元一次方程便可獲解，從而通過學(xué)生自主探索總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟教學(xué)過程提出疑問，引入新課在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗(yàn)是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知這個解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方程組

3、解的定義得出是方程組的解所以成人和兒童分別去了5個人和3個人但是，這個解是試出來的我們知道二元一次方程的解有無數(shù)個難道我們每個方程組的解都去這樣試？這就需要我們學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法講授新課在七年級第一學(xué)期我們學(xué)過一元一次方程，也曾碰到過“希望工程”義演問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題，當(dāng)時是如何解的呢？解：設(shè)成人去了x個，兒童去了(8x)個，根據(jù) HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題意，得：5x+3(8x)=34解得x=5將x=5代入8x=85=3答：成人去了5個，兒童去了3個同學(xué)們可以比較一下：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方

4、程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？列二元一次方程組設(shè)出有兩個未知數(shù)成人去了x個，兒童去了y個列一元一次方程設(shè)成人去了x個，兒童去了(8x)個y應(yīng)該等于(8x)而由二元一次方程組的一個方程x+y=8根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8x還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8x)=34與方程組中的第二個方程5x+3y=34相比較，把5x+3y=34中的“y”用“8x”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題的方法即將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識便可如何轉(zhuǎn)化呢？上一節(jié)課我們就已知道方程組的兩個未知數(shù)所包含的意義是相同的所

5、以將中的變形，得y=8x我們把y=8x代入方程，即將中的y用8x代替，這樣就有5x+3(8x)=34“二元”化成“一元”這位同學(xué)很善于思考他用了我們在數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而使問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題得到解決下面我們完整地解一下這個二元一次方程組解：由得y=8x將代入得5x+3(8x)=34解得x=5把x=5代入得y=3所以原方程組的解為下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題師生共析解二元一次方程組：分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個方程變形用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表

6、示另一個未知數(shù)，把表示了的未知數(shù)代入未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程解：由得x=2+y將代入得(2+y)+1=2(y1)解得y=5把y=5代入，得x=7所以原方程組的解為即老牛馱了7個包裹，小馬馱了5個包裹在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入第二個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”而得到消元的目的我們將這種方法叫代入消元法這種解二元一次方程組的思想為消元思想我們再來看兩個例子出示投影片 例 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題解方程組(由學(xué)生自己完成，兩個同學(xué)板演)解：(1)

7、將代入，得3+2y=83y+9+4y=167y=7y=1將y=1代入，得x=2所以原方程組的解是(2)由，得x=134y將代入，得2(134y)+3y=165y=10y=2將y=2代入，得x=5所以原方程組的解是師下面我們來討論幾個問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題：出示投影片 (1)上面解方程組的基本思路是什么？(2)主要步驟有哪些？(3)我們觀察例1和例2的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點(diǎn)，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步你認(rèn)為選擇未知數(shù)有何特點(diǎn)的方程變形好呢？(由學(xué)生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學(xué)生

8、討論中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主探索、討論過程中的獨(dú)特想法)我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉蔽覀兘M總結(jié)了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠蹋阉冃螢橛靡粋€未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)第二步：把表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程，可得一個一元一次方程第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值第五步：用“”把原方程組的解表示出來第六步：檢驗(yàn)(口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行)把求得的解代入每一個方程看

9、是否成立這個組的同學(xué)總結(jié)的步驟真棒，甚至連我們平時容易忽略的檢驗(yàn)問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題也提了出來，很值得提倡在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗(yàn)自己答案正確與否的習(xí)慣回答第三個問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題我們認(rèn)為用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)的分?jǐn)?shù)是1的方程進(jìn)行變形；若未知數(shù)的系數(shù)都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形但我們也有一個問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題要問：在例2中，我們選擇變形這是無可厚非的，把變形后代入中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都為整數(shù)也較簡便可例1中，

10、雖然可直接把代入中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？這個問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題提的太好了下面同學(xué)們分組討論一下如果你發(fā)現(xiàn)了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來解：由得2x=y+3兩邊同時乘以2，得4x=2y+6由得2y=4x6把代入得3x+(4x6)=8解得7x=14，x=2把x=2代入得y=1所以原方程組的解為能把我們所學(xué)的知識靈活應(yīng)用，而且不拘一格，將“2y”整體上看作一個未知數(shù)代入方程，這是一個“科學(xué)的發(fā)明”隨堂練習(xí) 1用代入消元法解下列方程組解：將代入，得x+2x=12x=4把x=4代入，得y=8所以原方程組的

11、解為將代入，得4x+3(2x+5)=65解得x=5把x=5代入得y=15所以原方程組的解為由，得x=11y把代入，得11yy=7y=2把y=2代入，得x=9所以原方程組的解為由，得x=32y把代入，得3(32y)2y=9得y=0把y=0代入，得x=3所以原方程組的解為注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵學(xué)生通過自主探索與交流，各個學(xué)生消元的具體方法可能不同，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一課時小結(jié)這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法代入消元法了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉敝饕襟E是：將其中的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而

12、消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值即求得了方程的解課后作業(yè)課本習(xí) HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題8.2 2活動與探究已知代數(shù)式x2+px+q，當(dāng)x=1時，它的值是5；當(dāng)x=2時，它的值是4，求p、q的值過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義，可得兩個未知數(shù)都是p、q的方程，即當(dāng)x=1時，代數(shù)式的值是5，得(1)2+(1)p+q=5當(dāng)x=2時，代數(shù)式的值是4，得(2)2+(2)p+q=4將、兩個方程整理，并組成方程組解方程組，便可解決結(jié)果：由得q=2p把q=2p代入，得p+2p

13、=6解得p=6把p=6代入q=2p=12所以p、q的值分別為6、12板書設(shè)計(jì)解二元一次方程組(一)一、“希望工程”義演二、“誰的包裹多”問 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題三、例 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題四、解方程組的基本思路：消元即二元一元五、解二元一次方程組的基本步驟備課資料一、參考例 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題例1解方程組分析： HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題中方程x的系數(shù)為1，則用含y的代數(shù)式表示x，代入第個方程；得到一個關(guān)于y的一元一次方程，求出y，進(jìn)而再求出x； HYPERLINK / o 歡迎

14、登陸全品中考網(wǎng) 題中方程出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)為零的情況，則由得x=2y，再代入中消去x，進(jìn)而求出方程組的解解法一：由得x+2y=0即x=2y把代入得2y+3y=4，得y=4把y=4代入得x=24=8所以原方程的解為解法二：由得x=43y把代入得=0即y=4把y=4代入得x=434=8所以原方程組的解為評注：解二元一次方程組的基本思想是“消元”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們已熟悉的一元一次方程來解“代入法”是消元的一種方法，用代入法解二元一次方程組，首先要觀察方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后的方程比較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是很關(guān)鍵的一步 例2解方程組分析：先把方程整理為一般形式4x

15、3y=5，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程和中y的系數(shù)是“+3”和“3”，可以用整體代入法將變形為3y=1+2x后代入，得出關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)而得到方程組的解解：原方程整理為由得3y=1+2x把代入得4x(2x+1)=5解得x=2把x=2代入，得3y=2(2)+1y=1所以原方程的解為評注：解二元一次方程組一般要整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，這樣有利于確定消去哪個未知數(shù)；用代入法解方程組，關(guān)鍵是靈活“變形”和“代入”，以達(dá)到“消元”的目的，要認(rèn)真體會此 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題代入的技巧和方法例3已知關(guān)于x、y的方程組的解相同，求a、b的值分析：既然兩個方程組的解相同，那么兩個方程組的解也應(yīng)與方程組的解相同，將此方程組的解代入含有a、b的另兩個方程，則解關(guān)于a、b的二元一次方程組，從而求出a、b的值解：求得方程組解為將其代入ax+by=1，2ax+3by=3，可得由得，b=3a1把代入，得6a+3(3a1)=3解得a=2把a(bǔ)=2代入，得b=5所以a=2，b=5二、參考練習(xí)1填空 HYPERLINK / o 歡迎登陸全品中考網(wǎng) 題(1)用代入法解二元一次方程組最為簡單的方法是將_式中的_表示為_，再代入_式(2)若方程3x13y=12的解也是x