1.1正弦定理和余弦定理課件

1、1.1正弦定理和余弦定理人民教育出版社A版必修5 馬登盛 蒲世吉主要內(nèi)容1.1.2余弦定理1.1.1 正弦定理導(dǎo)入課題導(dǎo)入課題 在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會(huì)有無(wú)限遐想，不禁會(huì)問：遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢? 1671年， 兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家測(cè)出了地球與月球之間的距離大約為385400km.他們是怎樣測(cè)出兩者之間距離的呢？385400km 在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角 函數(shù)解決有關(guān)直角三角形的一些測(cè)量問題.在實(shí)際工作中我們還會(huì)遇到許多其他的測(cè)量問題，這些問題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了，如： 在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測(cè)量、航海測(cè)量和地理測(cè)量等方面實(shí)踐活動(dòng)的

2、推動(dòng)，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并用于解決許多測(cè)量問題. 1.怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？ 2.怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？ 3.怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨龋?4.怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？實(shí)際問題舉例 這些問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí). 本章中我們要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形以及解決實(shí)際測(cè)量中的一些問題.1.1.1正弦定理探究 我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系。我們是否能夠得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？ 在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為BC、A

3、C、AB，它們的長(zhǎng)分別為a、b、c，這節(jié)課我們研究A、B、C、 a、b、c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ABC直角三角形中: RtACBABCabc斜三角形中這一關(guān)系式是否仍成立呢?首先，在銳角三角形ABC中，CD=asinBCD=bsinAasinB=bsinA得到BACD設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)定義同理，在ABC中正弦定理變式:探究 當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上等式仍然成立嗎？是否可以用其他方法證明正弦定理？BAC 在鈍角三角形ABC中，設(shè)角B為鈍角，邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)定義，CD=ACsinA=bsinACD=CBsinCBD =asin(1800-B) =asinBasi

4、nB=bsinA得到BACD同理用外接圓法可證明正弦定理ABCDabcO如圖:設(shè)BD為外接圓直徑，長(zhǎng)為2RBAD=900正弦定理同樣成立正弦定理與解三角形 正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系. 利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？思考？從理論上,正弦定理可解決兩類問題: 1.兩角和任意一邊,求其他兩邊和另一角； 2.兩邊和其中一邊對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而可求其他的邊和角.正弦定理的應(yīng)用解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 C=1800-A-B=1800-32.00-81.80=66.20 例1. 在ABC中，已知A=

5、, B= , a= 42.9cm, 求解三角形. 分析:這是一個(gè)已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題.根據(jù)正弦定理80.1(cm)根據(jù)正弦定理74.1(cm) 已知在 中, , 求 和練習(xí)1ABC 例2:已知在ABC中,a=20cm,b=28cm,A=400,求解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）. 分析:這是一個(gè)已知兩邊及一邊的對(duì)角,求其他邊和角的問題.根據(jù)正弦定理解：因?yàn)?0B1800, 所以B640，或B11601)當(dāng)B640時(shí)C=1800-(A+B)1800-(400+640)=7602)當(dāng)B1160C=1800-(A+B)1800-(400+1160)=240 已知在 中, ,

6、 求 和 分析:這是一個(gè)已知兩邊及一邊的對(duì)角,求其他邊和角的問題.練習(xí)2ABC若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):已知ABC中邊長(zhǎng)a、b和角A，求其它角和邊.反思提高解的情況討論1. 若A為銳角1）a=bsinAAbaBCAB2baB1Ca2）bsinAab2）ab小結(jié) 1) 已知兩角一邊;2) 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角. P4 練習(xí) 1, 2 P10習(xí)題 1.1 A組 1, 2作業(yè)1.1.2余弦定理探究 如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形. 我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角

7、形的另一邊和另兩個(gè)角的問題.目標(biāo) 已知三角形的兩邊的長(zhǎng)BC=a, AC=b,邊BC和邊AC所夾的角是C，我們?cè)O(shè)法找出一個(gè)已知的邊 a、b和角C與第三條邊c之間的一個(gè)關(guān)系式，或用已知的邊a、b和角C表示第三邊c的一個(gè)公式.ABC思考？ 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，我們從什么途徑來解決這個(gè)問題？ABC 問題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b, 求邊c.解：ABCcba余弦定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍. 用坐標(biāo)法怎樣證明余弦定理？還有其他方法嗎？思考坐標(biāo)法推導(dǎo)余弦定理 解：以CB所在的直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB的直

8、線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：bAacCByx變式特別地1. 當(dāng)C=900時(shí)， cosC=0, c2 = a2+b22. 當(dāng)00C0, c2 a2+b23. 當(dāng)900C1800時(shí)， cosC a2+b2利用余弦定理，可以解決以下問題： 1).已知三邊，求三個(gè)角； 2).已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC 例1 在ABC中，已知b60cm，c=34cm，A410，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）.解：根據(jù)余弦定理a2=b2+c2-2bc cosA=602+342-26034cos4

9、101676.82所以 a41（cm) 分析：已知兩條邊和其夾角A，先用余弦定理求出第三邊，再求出其它角.由正弦定理得 因?yàn)閏b, c不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計(jì)算器可得C330B=1800-（A+C）1800-（410+330）=1060例2 在ABC中，已知a7，b10，c6， 求 A、B 和 C.解：所以 A44所以 C36,所以 B180(AC)100.因?yàn)閏osA 0.725，因?yàn)閏osC 0.8071，練習(xí) 在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm， c161.7cm，求解三角形（角度精確到 ）ABCABCOxy所以 A84.解：因?yàn)?例3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)，求角A.思考？ 我們討論的解三角形的問題可以分為幾種類型？分別是怎樣求解的？ 要求解三角形，是否必須已知三角形一邊的長(zhǎng)？ABC根據(jù)已知