大地線的定義與性質(zhì)課件

1、2.2.5 大地線1、大地線的定義與性質(zhì)法截?。河蓹E球面上A點(diǎn)的法線與B點(diǎn)所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為A到B的法截弧。相對(duì)法截?。?A到B的法截弧與B到A的法截弧。 由相對(duì)法截弧構(gòu)成的橢球面三角形不是閉合圖形。2.2.5 大地線（續(xù)1）大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的性質(zhì)：1、大地線上任何點(diǎn)的密切平面就是該點(diǎn) 的法截面； 2、曲面上連接任何兩點(diǎn)的最短直線必為 大地線。 3、大地線的測(cè)地曲率等于0曲線的測(cè)地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。大地線的曲率：大地線的撓率2.2.5 大地線（續(xù)2）2、大地坐標(biāo)系中大地線的微分方程(1). 大地線的二階微分方程以u(píng)

2、,v 為參數(shù)的一般曲面的大地線微分方程可表示為： 下標(biāo)為相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。2.2.5 大地線（續(xù)3）對(duì)于橢球面，有：代入前面公式，得：則旋轉(zhuǎn)橢球面上大地線的微分方程為：2.2.5 大地線（續(xù)4）(2). 克萊勞定理直角坐標(biāo)系中的橢球面方程：橢球面法向量為：以大地線弧長(zhǎng)為參數(shù)的大地線主法線向量為：兩者指向一致，即：2.2.5 大地線（續(xù)5）由上式的前兩個(gè)方程得：將三維空間坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系及其微分關(guān)系：1代入 式，整理得：122.2.5 大地線（續(xù)6）將關(guān)系：即：大地線上各點(diǎn)的平行圈半徑與該點(diǎn)的大地線方位角正弦的乘積是常數(shù)。代入上式，即得克萊勞定理：2.2.5 大地線（續(xù)7）(3). 大地線的一階

3、微分關(guān)系式由克萊勞定理，微分得：2.2.5 大地線（續(xù)8）又如圖所示：代入上式，得：三個(gè)微分關(guān)系式可整理為：32.2.5 大地線（續(xù)9）3、以弧長(zhǎng)和大地方位角為參數(shù)的大地線方程 大地線始點(diǎn)坐標(biāo)P0(B0,L0)，大地線上任何點(diǎn)的位置向量都可以展開成S,A的級(jí)數(shù)形式：Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)軸定義：x指向大地線的切向t， y指向大地線的主法向n，向內(nèi)為正， z指向大地線的副法向b，構(gòu)成左手系。xyz42.2.5 大地線（續(xù)10）顯然有：根據(jù)曲線論中的Frenet公式：由以上兩式可求出各階導(dǎo)數(shù)：2.2.5 大地線（續(xù)11） 將上式代入大地線展開式 ，得Frenet標(biāo)架下的三維坐標(biāo)：45顧及公式：2.

4、2.5 大地線（續(xù)12）和：求導(dǎo)得：2.2.5 大地線（續(xù)13）代入Frenet標(biāo)架下的三維坐標(biāo)公式 ，得：52.2.5 大地線（續(xù)14） 將坐標(biāo)系饒 y逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)A，得x”、y”、z”坐標(biāo)系，則有：xyzzx 以P0點(diǎn)為原點(diǎn)的地平坐標(biāo)系(站心坐標(biāo)系) x、y、z，與x”、y”、z”坐標(biāo)系的關(guān)系為：xyzzxy2.2.5 大地線（續(xù)15） 最后得到地平坐標(biāo)系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級(jí)數(shù)。62.2.5 大地線（續(xù)16） 法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標(biāo)系中的計(jì)算式為：2.2.5 大地線（續(xù)17）4、基于大地線的橢球面曲線坐標(biāo)系(1). 大地線極坐標(biāo)系大地

5、圓：到極點(diǎn)具有相同大地線長(zhǎng) 度的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡。 由大地線長(zhǎng)度和大地方位角可描述曲面點(diǎn)的位置 。如圖所示：對(duì)照第一基本形式，得：由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標(biāo)系中的微分關(guān)系式：2.2.5 大地線（續(xù)18）大地線的歸化長(zhǎng)度 m 的計(jì)算公式：由 式求出偏導(dǎo)數(shù)代入得：62.2.5 大地線（續(xù)19）(2). 測(cè)地坐標(biāo)系 以過P0點(diǎn)的經(jīng)線及其平行線為v曲線， 過P0點(diǎn)與經(jīng)線正交的一族大地線為u曲線，構(gòu)成的坐標(biāo)格網(wǎng)稱為測(cè)地坐標(biāo)系測(cè)地坐標(biāo)在v曲線方向用Sx， u曲線方向用Sy,即：2.2.5 大地線（續(xù)19）n 稱為測(cè)地平行線的歸化長(zhǎng)度因子。由 式求出對(duì)A偏導(dǎo)數(shù)，并顧及A = 90，得：62.2.5 大地線（續(xù)20） 根據(jù)球面角超的定義，在球面直角三角形 中，球面角超為：根據(jù)球面三角形的Legendre定理：77將 式代入上式，得：2.2.5 大地線（續(xù)21）代入測(cè)地平行線的歸化長(zhǎng)度因子公式，得：精確到二次項(xiàng)時(shí)的歸化長(zhǎng)度因子計(jì)算公式為：則與子午弧長(zhǎng)相應(yīng)的測(cè)地平行線的弧長(zhǎng)為：習(xí) 題1. 緯度相同的兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)法截弧