2021-2022學(xué)年河北省承德市高二下學(xué)期四月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 13 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 頁2021-2022學(xué)年河北省承德市高二下學(xué)期四月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1下列式子錯(cuò)誤的是（）ABCD【答案】D【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)的算法以及性質(zhì)計(jì)算，得出結(jié)果后作出判斷即可.【詳解】對(duì)于A，A正確；對(duì)于B，B正確；對(duì)于C，C正確；對(duì)于D，D錯(cuò)誤.故選：D.2已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則()AB3CD1【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可計(jì)算【詳解】由題意可得故選：D3已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有4

2、5人，高二（3）班有38人，現(xiàn)從這三個(gè)班中任選1人去參加活動(dòng)，則不同的選法共有（）A125種B135種C155種D375種【答案】A【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有42+45+38=125種故選：A42022年北京冬奧會(huì)的順利召開，引起大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注若A，B，C三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（）A12種B16種C64種D81種【答案】C【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：每個(gè)人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種故

3、選：C5設(shè)函數(shù)，則（）ABCD【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)得，令，求出，代入即可求出的值.【詳解】令，則，則，所以所以故選：B.6已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上恒大于等于0即可求解.【詳解】 ，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以 在上恒成立，解得；故選：B.7將7名防疫工作人員隨機(jī)分配到甲、乙、丙3個(gè)單位中的某1個(gè)單位進(jìn)行防疫抽檢，每個(gè)單位至少2人，則不同的分配方法有（）A572種B580種C630種D840種【答案】C【分析】利用先分組再分配的方法計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意將這7名防疫工作人員以2，2，3“形式分配到甲，乙、丙3個(gè)單位，

4、共有種分配方法故選：C8已知函數(shù)在上有最小值，則的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，要使函數(shù)在有最小值，依題意使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋裕?，?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去；所以，依題意使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值即最小值，所以，所以，解得，即；故選：A二、多選題9在下列函數(shù)中，求導(dǎo)正確的是（）A，B，C，D，【答案】BC【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)，可得，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，函數(shù)，可得，則B正

5、確；對(duì)于C中，函數(shù)，可得，則C正確；對(duì)于D中，函數(shù)，可得，則D錯(cuò)誤.故選：BC.10已知，則（）AB這7個(gè)數(shù)中只有3個(gè)有理數(shù)CD【答案】ACD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由二項(xiàng)式定理知展開式的通項(xiàng)公式為對(duì)于A，令，得，則，A正確對(duì)于B，這7個(gè)數(shù)中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)為有理數(shù)，B錯(cuò)誤對(duì)于C，C正確對(duì)于D，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，D正確故選：ACD11已知均為銳角，則（）ABCD【答案】AC【分析】先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，再結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性解題即可.【詳解】解：由題意得：由，可得，令，則，因?yàn)闉殇J角，且單調(diào)遞增，所以，故，即故選：AC12已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，

6、對(duì)任意的，都有，且，則滿足不等式的的值可以是（）A2BeC3D4【答案】BC【分析】構(gòu)造并求導(dǎo)，結(jié)合已知條件可得則有且為常數(shù)，由可得，即可確定解析式，進(jìn)而求出的解析式，最后將不等式轉(zhuǎn)化為求在上的解集，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求x的范圍.【詳解】令且，則，又，即，所以且為常數(shù)，而，故，即，所以且，則，故等價(jià)于，令且，則，在上，遞減，在上，遞增，又，所以在上遞減，在上遞增，則，可得.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，根據(jù)已知條件求出解析式，進(jìn)而確定的解析式，再將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為求在上的解集.三、填空題13曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是_【答案】【分析】先求出曲線上與直線平行的切線方程及切點(diǎn)

7、坐標(biāo)，切點(diǎn)到直線的的距離即為最小距離.【詳解】解：由題意得：設(shè)與平行的直線l與相切，則切線l的斜率因?yàn)椋?，由，得?dāng)時(shí)，即切點(diǎn)坐標(biāo)為則點(diǎn)到直線的距離就是直線上的點(diǎn)到直線的最短距離所以點(diǎn)到直線的距離所以曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離為故答案為：14給圖中A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域填充顏色，每個(gè)區(qū)域只填充一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色若有四種顏色可供選擇，則共有_種不同的方案【答案】72【分析】分為B，E同色和B，E不同色兩種情形，再按照分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)B，E同色時(shí)，共有種不同的方案，當(dāng)B，E不同色時(shí)，共有種不同的方案，所以共有72種不同的方案故答案為：72.15已知、，若，則的組數(shù)為

8、_【答案】128【分析】根據(jù)a、b、c的范圍即可知22c32，由可知ab為2到32之間的偶數(shù)，分別討論ab2，4，6，32時(shí)，的組數(shù)，然后求總的組數(shù)即可【詳解】由題可知，1a16，1b16，1c16，、，22c32，2c為偶數(shù)，由可知ab為偶數(shù)，ab的可能取值為2，4，6，8，10，30，32，當(dāng)ab2時(shí)，c1，此時(shí)a1，b1，的組數(shù)為；當(dāng)ab4時(shí)，c2，此時(shí)的組數(shù)為，的組數(shù)為；當(dāng)ab6時(shí)，c3，此時(shí)的組數(shù)為，的組數(shù)為；當(dāng)ab16時(shí)，c8，此時(shí)的組數(shù)為，的組數(shù)為；當(dāng)ab18時(shí)，c9，此時(shí)的組數(shù)為，的組數(shù)為；當(dāng)ab32時(shí)，c16，此時(shí)的組數(shù)為，的組數(shù)為；則的所有可能的組數(shù)為：故答案為：128四、

9、雙空題16的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第_項(xiàng)，其系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】 5 70【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可求知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，可求得答案；利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，可求得其系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式共有9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，其系數(shù)為70,故答案為：5；70五、解答題174名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演節(jié)目(1)若這4名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？(2)已知這4名女生身高互不相等，若按身高從高到低排列，則有多少種不同的排法？(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？【答

10、案】(1)種(2)種(3)種【分析】（1）先排4名男生，再將4名女生插入4名男生產(chǎn)生的5個(gè)空中，由插空法可得答案.（2）由定序法可得答案.（3）分甲站在右端和甲不站在右端兩種情況分別計(jì)算，再求和即可.【詳解】(1)先排4名男生，再將4名女生插入4名男生產(chǎn)生的5個(gè)空中.所以這4名女生不相鄰的排法有種(2)這4名女生按身高從高到低的排法有種(3)甲站在右端，其余7人全排列，有種排法，甲不站在右端，有6種排法，乙有6種排法，其余6人全排，有種排法故一共有種排法18設(shè)(1)求；(2)求的值；(3)求的值【答案】(1)；(2)；(3)【分析】利用賦值法計(jì)算展開式中的常數(shù)項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.【

11、詳解】(1)由題意，令，則(2)由題意，令，則(3)令，則，由（2）知，則-得，得19已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，求得，再由點(diǎn)斜式方程即可求出曲線在處的切線方程；（2）設(shè)切點(diǎn)為，求得，再由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，代入可求得，回代即可得出答案.【詳解】(1)，則，又，所以曲線在處的切線方程為(2)設(shè)切點(diǎn)為，則， 則切線方程為，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，整理可得，即， 解得，則故所求切線方程為20已知集合，從，這兩個(gè)集合中先后選取一個(gè)元素依次作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).(1)求位于第二象限的不同點(diǎn)

12、的個(gè)數(shù)；(2)求在圓內(nèi)部（不含邊界）的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)9(2)6【分析】（1）根據(jù)第二象限內(nèi)的點(diǎn)的特點(diǎn)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案；（2）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】(1)因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，所以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0.先選橫坐標(biāo)，有3種方法，再選縱坐標(biāo)，也有3種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，則位于第二象限的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.(2)因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)在圓的內(nèi)部（不含邊界），所以.若，則或，共2種情況；若，則或，共2種情況；若，則或，共2種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，則滿足條件的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.21已知函數(shù)，函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若與的圖象在區(qū)間上有

13、兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論求單調(diào)區(qū)間；（2）利用參變分離法，將題目條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求解最值，從而得k的取值范圍.【詳解】(1)由題意可得的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，由，得；由，得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得；由，得故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)當(dāng)時(shí)，令，得，即，則與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的實(shí)根設(shè)，則由，得；由，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故因?yàn)椋?，所以要使在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，即k的取值范圍為【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求a的取值范圍(2)證明：【答案】