(完整word版)西工大計(jì)算方法試題參考(完整版)

1、2002-2003第一學(xué)期一計(jì)算及推導(dǎo)(5*8)1.已知x*=341，xr，試確定x*近似x的有效數(shù)字位數(shù)。有效數(shù)x*715,x2-0.001,x；二0.100，試確定x*+x；+x3的相對誤差限。已知f(x)二5x3+1x+2，試計(jì)算差商f。丄2,34.給出擬合三點(diǎn)A=(0，1)，B=(1，0)和C=(1，1)的直線方程。5推導(dǎo)中矩形求積公式!bf(x)dx=(b-a)f(a+b)+2-f”們)(b-a)3a224Jbf(x)dxq工Af(x)6試證明插值型求積公式a,=0的代數(shù)精確度至少是n次。7.已知非線性方程x=f(x)在區(qū)間9從內(nèi)有一實(shí)根，試寫出該實(shí)根的牛頓迭代公式。8用三角分解法求

2、解線性方程組_12x10_223x=32-1-30 x211311二給出下列函數(shù)值表xi0.40.50.60.70.8f(x)i0.389420.479430.564640.644220.71736要用二次插值多項(xiàng)式計(jì)算f(0.63891)的近似值，試選擇合適的插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，并說明所選用節(jié)點(diǎn)依據(jù)。(保留5位有效數(shù)字)(12分)三.已知方程x+Inx=0在()內(nèi)有一實(shí)根a給出求該實(shí)根的一個迭代公式，試之對任意的初始近似x0G(0,1)迭代法都收斂，并證明其收斂性。x0二0.5試用構(gòu)造的迭代公式計(jì)算U的近似值xn，要求-xn-j-。四設(shè)有方程組a13x一b一111a2x=b2232axb113

3、3當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時，雅可比方法對任意的初始向量都收斂。寫出與雅可比方法對應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。(12分)用歐拉預(yù)估校正法求解初值問題y=y-Xy(0-x-0.2)、y(0)=1取h=0.1,小數(shù)點(diǎn)后保留5位。(8分)|y=f(x,y)證明求解初值問題1y(xo)=yo的如下單步法y=y+Kn+1n2K=hf(x,y)1nnK=hf(x+1h,y+1K)12n2n21是二階方法。(10分)七試證明復(fù)化梯形求積公式Jbf(x)dx(f(x)+2藝f(x)+f(x)h二a20一1nn對任意多的積分節(jié)點(diǎn)數(shù)n+1,該公式都是數(shù)值穩(wěn)定的。(6分)2003-2004第一學(xué)期一填空(3*5)1.近似數(shù)

4、x*=0.231關(guān)于真值x二0.229有-位有效數(shù)字。TOC o 1-5 h z專的相對誤差為x*的相對誤差的倍。設(shè)f(x)可微，求x=f(x)根的牛頓迭代公式。Jbf(x)dxq工Af(x)4插值型求積公式a,=0的代數(shù)精確度至少是次。5.擬合三點(diǎn)A=(1，0)，B=(1，3)和C=(2,2)的常函數(shù)是。已知f(x)有如下的數(shù)據(jù)X123f(X)2412f(x)3試寫出滿足插值條件P（二）二f（二）以及P（2）=f（2）的插值多項(xiàng)式P（x），并寫出誤差的表達(dá)形式。11exdx三（1）用復(fù)化辛浦森公式計(jì)算0為了使所得的近似值有6位有效數(shù)字，問需要被積函數(shù)在多少個點(diǎn)上的函數(shù)值？（2）取7個等距節(jié)點(diǎn)

5、（包括端點(diǎn)）用復(fù)化辛浦森公式計(jì)算f爐仗XdX，小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位。四.曲線y二x3與y=1-x在點(diǎn)（0.7,0.3）附近有一個交點(diǎn)（兄刃，試用牛頓迭代公式計(jì)算x的近似值X，要求lx-X_J-10-3五用雅可比方法解方程組是否對任意的初始向量x（O）都收斂，為什么？取x（0）=（，）T，求出解向量的近maxx（k+1）一x（k）10-6似向量，要求滿足1i311。六用校正一次的歐拉預(yù)估校正格式求解初值問題y=y2+1y(0)=0的解函數(shù)在x二.6處的近似值，要求寫出計(jì)算格式。（步長h二3，小數(shù)點(diǎn)后保留5位有效數(shù)字）|y=f（x,y）七.設(shè)有求解初值問題1y（xo）=yo的如下格式y(tǒng)二ay+by

6、+chf(x,y)n+1n-1nnn如假設(shè)yn-1二y（Xn-1），叮y（J）問常數(shù)C為多少時使得該格式為二階格式？2006第二學(xué)期一填空（3*5）設(shè)近似數(shù)x*二12250,x2二0.5168都是四舍五入得到的，則相對誤差e（x*x*）r12。Jx=2.8矛盾方程組lxi=3.2的最小二乘解為。近似數(shù)x*二0.01999關(guān)于真值x*二0.02000有位有效數(shù)字.取朽”32，迭代過程爲(wèi)=yn+0.1再是否穩(wěn)定？5求積公式1:f（X）dX二2f（2）有幾次的代數(shù)精確度？二.取初值x0二1.6，用牛頓迭代法求的近似值，要求先論證收斂性。當(dāng)Xn+1-XJ10_5時停止迭代。y=a+bx2用最小二乘法確

7、定x中的常數(shù)a和b，使該曲線擬合于下面的四個點(diǎn)（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）用乘冪法求矩陣A的按模最大的特征值九1的第k次近似值佯k）及相應(yīng)的特征向量x1，要求取初值U二（1丄1T且九(k)一九(k-1)10-311這里A=五.5110-21-3考察用高斯賽德爾迭代法解方程組I收斂性，并取x（0）=（1，0，0）T，求近似解x（z，使得叮1）一曹10-3（i=l,2,3）六已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f（x）的如下數(shù)據(jù)x1.120.001.802.20if(x)1.100.500.901.70i用插值法求方程/（x）=0在區(qū)間（0.0

8、0,1.80）內(nèi)根的近似值。（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）七I=J1設(shè)有積分0dx4+x取5個等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）用復(fù)化的simpson公式求該積分的近似值，并且由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。八給定初值問題y（0）=01x1.42)J*1/（x）dx沁設(shè)有插值公式-13Akf(xk)，則1Ak=；（只算系數(shù)）3)4)設(shè)近似數(shù)x1*=0.0235求方程x=C0Sx的根的牛頓迭代格式為x*=2.5160都是有效數(shù)，則相對誤差e(亠)，k=丄2,3對任意的初始向量x（0），X（k+1）是否收斂到Ax=b的解，為什么？2007第一學(xué)期.填空1)近似數(shù)

9、x*=1.253關(guān)于真值x=1.249有位有效數(shù)字；5)x+x=1121x-x=112矛盾方程組Ix1+2x2=-12x+2x=2121x-x=112與Ix1+2x2=-1得最小二乘解是否相同二.用迭代法（方法不限）求方程xex=1在區(qū)間（0，1）內(nèi)根的近似值，要求先論證收斂性，誤差小于10-2時迭代結(jié)束。三.用最小二乘法y二ax2+bex中的常數(shù)a和b，使該函數(shù)曲線擬合與下面四個點(diǎn)八、（1，-0.72）（1.5,0.02）,（2.0,0.61）,（2.5,0.32）（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位）五四用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組1020、(x11r5101011x32=1243x1730

10、103丿Ix丿7丿xix一h0 x0 x+h0f(x)f(x-h)f(x)f(x+h)i000設(shè)要給出f二cosx的如下函數(shù)表用二次插值多項(xiàng)式求f（x）得近似值，問步長不超過多少時，誤差小于10-3。六.設(shè)有微分方程初值問題Jy二一2y-4x,0 x0.2!y（0）二21）寫出歐拉預(yù)估校正法的計(jì)算格式；2）取步長h=0.1,用歐拉預(yù)估一校正法求該初值問題的數(shù)值解（計(jì)算結(jié)果保留4位小數(shù)）。七.I=J設(shè)有積分1dx01+x取11個等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)0和1），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值（小數(shù)點(diǎn)侯保留4位）；用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大?。ㄐ?shù)點(diǎn)侯保留4位

11、）。八.對方程組(1121.（x11x2人丿2211121用雅可比迭代法求解是否對任意初始向量都收斂？為什么？2取初始向量x=（0,0,0）T，用雅可比迭代法求近似解x（k+i）,使x(k+1)-x(k)10-3(i=1,2,3)ii九.設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)二f(b)=O，試證明max|f(x)|(ba)2max|f(x)|8axb參考答案1:(1)3axb(2)2(3)0.0023x4)k+1x一cosxxsinx+cosx1+sinxkkk,k=0,1,2,.1+sinxk(5)否2.方程的等價形式為x=e-x迭代格式為xk+1=e一xk10e-xeo=1收斂

12、性證明；當(dāng)xe()時，e”(x)=e-xeo=1所以依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收斂取迭代初值為xo=0.5，迭代結(jié)果如下nxnxx1nn1100.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.xn11.52.02.5x2n12.254.06.25e2.718284.481697.3890612.18249-12.71828_-0.722.254.48169a0.024.07.38906b0.61矛盾方程組為6.2512.182490.32對應(yīng)的

13、正則方程組為_61.125118.4989a-3.765118.4989230.4859b_6.538196解得a=2.0019,b=1.0009所以擬和曲線方程為y=2-0019x2-10009ex4.由矩陣Doolittle分解的緊湊記錄形式有102050101312431701037丿T10r1回代求解得41x=2x=(61-x)=242,32430 x1xx=34=12150 x=1方程組的解向量為x=(1,1,2,2)tmax5xxx令k-1k+1f)(xx)(xx)(xx)10-33!k1kk+1可求得h0.2498(或h0.2289)6.y1(0)=1.6,y=1.62,y(0)

14、=1.256,y=1.2724227.0.6932|R(f)|1.3333x10-58.1)Jacobi迭代法的迭代矩陣為r01-22022、1丿丿0丿譜半徑P(Bj)=01此時Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂.r4r8r2r2x(1)=1,x(2)=6,x(3)=0,x(4)=03丿7丿1丿1丿9.以x0=a,x1=b為插值節(jié)點(diǎn)，做Lagrange插值f(x)=L(x)+2f(g)(xa)(xb)=2-f化)(xa)(xb)其中E(x)ea,b故maxf(x)max丄f(g)(x-a)(x-b)w丄maxf(x)|max|(x-a)(x-b)-(b-a)2max|f(x)|2!28ax

15、baxbaxbaxbaxb計(jì)算方法2006-2007第二學(xué)期1填空.近似數(shù)x*=.142關(guān)于真值x二O.139有為有效數(shù)字。f1f(x)dxq工Af(x)適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn)和系數(shù)，則求積公式-1“1kk的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到次.設(shè)近似數(shù)x；二235，x2二2.5160都是四舍五入得到的，則相對誤差k(x;x2)的相對誤差限近似值y*二后的相對誤差為er(x*)的_倍。擬合三點(diǎn)A(0,l),B(l,3),C(2,2)的平行于y軸的直線方程為.2.用迭代法求方程x2+2xex+心=0在(-1,0)內(nèi)的重根的近似值+1。要求1)說明所用的方法為什么收斂；2)誤差小于10-4時迭代結(jié)束。xi1.01.

16、11.2f(x)i0.010.110.244設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在一些點(diǎn)上的值如下3.用最小二乘法確定y二ax2+blnx中的a和b，使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個點(diǎn)(1.0,1.01),(1.5,2.45),(2.0,4.35),(2.5,6.71)(計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位)寫出中心差分表示的二階三點(diǎn)微分公式，并由此計(jì)算f(1.1)。5已知五階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)x01f(x)01f(x)01f(x)0試求滿足插值條件的四次多項(xiàng)式p（x）.6設(shè)有如下的常微分方程初值問題dyx4二二一,1x1.4dxyy二1寫出每步用歐拉法預(yù)估，用梯形法進(jìn)行一次校正的計(jì)算格式。取步長0.2用

17、上述格式求解。I=J0.6ex2dx7設(shè)有積分01）取7個等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），列出被積函數(shù)在這些點(diǎn)出的值（保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值。8用LU分解法求解線性代數(shù)方程組仃120211-12、225試取出試點(diǎn)x0二0.3,參考答案；1:（1）2,9當(dāng)常數(shù)c取合適的值時，兩條拋物線y二x2+x+c與y二小就在某點(diǎn)相切,用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)。誤差小于10-4時迭代結(jié)束。(2)2n-1(3)2.1457*10E-3(4)1/5(5)x=12解：將方程變形為(x+ex)2=0即求x+ex=0在（-1，0）內(nèi)的根的近似值xn+1牛頓迭代格式為x=x-n+1n1+e

18、xn收斂性證明；局部收斂定理結(jié)果x4=-0.56714。3用最小二乘法正則方程組為I61.125a+9.41165b二65.86&解得a=1.0072;b=0.45639.41165a+1.48446二10.15864解推導(dǎo)中心差分格式f”(x)=(f(x+f(x)-2f(x)1h2021得到f”(l.l)二3解p(x).=-2x4+3x3截?cái)嗾`差R(x)=f)x3(x-1)2y(1.2)=1.2;y(1.4)=1.40.6805(0101)9解兩條曲線求導(dǎo)y=2x+1和y=x-2切點(diǎn)橫坐標(biāo)一定滿足2x+1=x-2將等式變形為f(x)=4x3+4x2+x-1牛頓迭代法結(jié)果為0.34781200

19、8第一學(xué)期1填空(15分)1)設(shè)近似數(shù)x1*=9.2270，x2*=0.8009都是四舍五入得到的，則相對誤差e(x*x*)p（Xi）二廣（Xi）的三次插值多項(xiàng)式p（x）,并寫出截?cái)嗾`差R（x）=f（x）P（x）的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式（不必證明）I=J2x3exdx（15分）設(shè)有積分11）取7個等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)1和2），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）；2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。（10分）給定初值問題y-=0,y(l)=1,1x1.4x寫出歐拉(Euler)預(yù)估-校正的計(jì)算格式;取步長h=0.2，求y(1.4)的近似值。9(

20、10分)用迭代法的思想證明：等號左邊有k個2)。lim2+2+J2=2kfg參考答案：1:(1)6.78X105,x=2(3)2(4)n-2(5)32.切線斜率相等：3x2=4.8x+0.51，3x2-4.8x0.51=03x2-4.8x0.51x=x-nn牛頓迭代格式：n+1n6xn-4.8取X0=1.6，得X1=1.70625,x2=1.70002,X=1.70000,X=1.70000a=2.013.矛盾方程組(354正則方程組：4a+bIn2=7.3V9a+bIn3=16.916a+bln4=30.834.84081Ya(672.91134.840813.60921人b丿166.04713丿a沁1.99