數(shù)字信號處理第2章課件

1、 第2章. 連續(xù)時間信號的離散處理 2.1、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成 大多數(shù)數(shù)字信號處理的應(yīng)用中，信號為來自不同模擬信號源，這些模擬 信號(電壓或電流)通常為連續(xù)時間信號。 應(yīng)用數(shù)字信號處理(DSP)主要有三個原因： 1)濾波：濾除信號中來自周圍環(huán)境的干擾或噪聲； 2)檢測：檢測淹沒在噪聲中的特定信號（如雷達(dá)或聲納系統(tǒng)中），當(dāng)檢測 到的信號超過給定的閾值則認(rèn)為目標(biāo)信號存在，反之認(rèn)為不存在； 3)壓縮：當(dāng)信號轉(zhuǎn)換到另外一個域后，在變換域上更容易分辨信息的重 要程度，對重要部分分配多的比特?cái)?shù)，次要部分分配盡可能少的比特 數(shù)，達(dá)到壓縮的目的(如DCT算法)。 在所有這些應(yīng)用中將面臨一個相同的問題：

2、 如何將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換成適合計(jì)算機(jī)或DSP處理器處理的數(shù)據(jù)？模數(shù)轉(zhuǎn) 換器(ADC)實(shí)現(xiàn)。 如何將計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成適合模擬設(shè)備 (如揚(yáng)聲器)輸出連續(xù)時間 信號？數(shù)模轉(zhuǎn)換器 (DAC)實(shí)現(xiàn)。 通常，信號在采樣前需要前置去混濾波；信號在輸出前需要后置 重構(gòu)濾波，即 圓滑輸出。 如聲卡： 聲卡包含了數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成: 上述系統(tǒng)中存在兩類信號：連續(xù)時間信號x(t)、y(t)；數(shù)字信號x(n)、y(n)。ADC不僅用于采樣，而且對采樣后的信號進(jìn)行量化處理（每個采樣點(diǎn)的值用有限比特?cái)?shù)表示，引入量化誤差）。2.2 連續(xù)時間信號的抽樣一、理想抽樣后信號的頻譜 抽樣:現(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)信號為連續(xù)時間信號

3、,但數(shù)字信號處理時使用的是離散時間信號。將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換成離散時間信號的過程叫抽樣。抽樣可由稱為A/D變換器的器件完成：量化結(jié)果聲卡 抽樣器 Ts 信號 頻譜Ts周期性抽樣函數(shù)連續(xù)時間t 為周期函數(shù)，可用傅立葉級數(shù)表示：其中抽樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸每間隔抽樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次。幅度為原來的1/Ts。如果信號 是實(shí)帶限信號，且最高頻率 不超過 ：則抽樣后序列的頻譜不會發(fā)生混疊(下圖黑色)。如果信號 是實(shí)帶限信號，但最高頻率 超過 ：則抽樣后序列的頻譜發(fā)生混疊！(下圖紅色)11/Ts例:抽樣不足導(dǎo)致的信號失真:在頻率域迭加,在時間域的失真.例:抽樣不足導(dǎo)致的信號失真:在頻率域迭

4、加,在空間域的失真。二、奈奎斯特抽樣頻率（Nyquist rate） 抽樣過程看似不可避免丟失了一些信息（如nTst/Ts區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階。因此，通常在DAC后需要加平滑低通濾波器濾除多余的高頻分量。零階保持器輸出的頻譜為零階保持器頻響H(j)與 相乘缺點(diǎn)：恢復(fù)出的模擬信號是臺階包含多余的高頻分量?？捎弥貥?gòu)（平滑）濾波器去除高頻分量，使輸出波形變得圓滑。練習(xí)題：判斷如下說法是否正確：零階保持器是非理想低通濾波器，對滿足奈奎斯特采樣定理的采樣信號不能不失真恢復(fù)出原始模擬信號，其原因是濾波結(jié)果含有帶外高頻分量。（Yes） 2.3 量化誤差 1、概述 模數(shù)

5、轉(zhuǎn)換器（ADC）將模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號，具體應(yīng)完成抽樣和量化編碼的工作。抽樣已在前面介紹。其中量化編碼是將抽樣值用二進(jìn)制編碼表示后，并以舍入或截尾方法截成預(yù)先規(guī)定的長度，形成數(shù)字信號。抽樣保持量化編碼二進(jìn)制表示的數(shù)字信號：有限精度離散時間點(diǎn)上采樣信號：無限精度 數(shù)字系統(tǒng)中通常有三種有限字長引起誤差的因素：A/D將模擬輸入信號xa(t)變?yōu)殡x散電平(數(shù)字信號x(n) )時產(chǎn)生的量化效應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)(ai，bi 等)用有限位二進(jìn)制數(shù)表示時產(chǎn)生的量化效應(yīng) 數(shù)字運(yùn)算中，為限制結(jié)果數(shù)據(jù)位數(shù)而進(jìn)行尾數(shù)處理以及為防止溢出而壓縮信號電平的有限字長效應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的表示 定點(diǎn)表示：二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的

6、位置是固定不變的，小數(shù)點(diǎn)緊跟隨在符號位后(符號位0，1分別表示正、負(fù)數(shù))，數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。原碼:一個(b+1)位碼, 其中 位符號位，如x=0.101 表示x=+0.625;x=1.101表示x=-0.625.反碼:正數(shù)的反碼與原碼表示一樣,負(fù)數(shù)的反碼是將尾數(shù)中1變0,0變1，如x=-0.625 (1.101 原碼)，反碼則為x=1.010高位低位補(bǔ)碼:正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼一樣，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是反碼最低位上加1 x=-0.625的補(bǔ)碼x=1.011. 浮點(diǎn)表示 M 尾數(shù) 尾數(shù)字長的最高位為1（規(guī)格化形式） 指數(shù)部分c 階碼如:x=0.112010表示十進(jìn)制數(shù) x=0.7522=3正

7、數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼形式一樣 兩種表示的特點(diǎn) 定點(diǎn)制加減法不增加字長，但可能溢出乘法字長一倍,不會溢出，但對結(jié)果需作截取或舍入處理精度低,動態(tài)范圍小 浮點(diǎn)制 加法需使兩個數(shù)的階碼相等(對階),并對結(jié)果尾數(shù)作截尾或舍入處理乘法是尾數(shù)相乘,階碼相加，對結(jié)果尾數(shù)截尾處理或舍入處理精度高,動態(tài)范圍大 定點(diǎn)制的量化誤差 兩種量化方式：截尾和舍入。 字長為(b+1)的寄存器，可表示的最小數(shù) q=2-b, 如：0.0.01。 因此，Vmax q = Vmax 2-b = Vmax 1/ 2b 稱為量化寬度或量化階，這里Vmax為目標(biāo)信號的最大范圍。 量化誤差 E=x-x這里x表示x的量化值。b=3（1）截尾

8、誤差：對于正數(shù)，原、反、補(bǔ)碼形式相同。 總是小于或等于零，當(dāng)上式 全為1時，最大誤差 b1=，無限精度對于負(fù)數(shù)，三種碼表示形式不相同，誤差也不一樣。負(fù)數(shù)的原碼：負(fù)數(shù)的反碼： 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼： 補(bǔ)碼量化曲線原碼、反碼量化曲線（2）舍入誤差: 對定點(diǎn)數(shù)x作舍入處理到b位，是通過尾數(shù)的b+1位上加1，然后截取到b位實(shí)現(xiàn)，舍入之后的量化間距：例如：b=2 x=0.0010 xR=0.01 x=0.1001 xR=0.10 對于原碼、反碼和補(bǔ)碼，誤差總是在 之間。 ER = x R - x -q/2 E R q/2。舍入處理的量化曲線2、A/D變換的量化效應(yīng)ADC的量化效應(yīng)： ADC具有兩個功能。采樣：將模

9、擬信號xa（t）轉(zhuǎn)換成離散序列；量化：將離散序列的每個采樣值轉(zhuǎn)換成 b 位二進(jìn)制數(shù)字信號(尾數(shù))。量化過程將產(chǎn)生誤差！采樣器量化器（b位）A/D（采樣周期Ts或速率 1/Ts, b 位）無限精度有限精度采樣+e(n)等效量化 x(n)是一個序列，對整個量化過程應(yīng)作統(tǒng)計(jì)分析，量化誤差e(n)可假定： e(n)平穩(wěn)隨機(jī)序列 e(n)與x(n)不相關(guān) e(n)是白噪聲（自身不相關(guān)） e(n)均勻等概率 1432 由前面分析，截尾和舍入兩種量化方式對于補(bǔ)碼有：-q0ePT(e)1/q1/qPR(e)-q/20q/2補(bǔ)碼截尾q=2-b補(bǔ)碼舍入e假定：Vmax= 1補(bǔ)碼截尾時均值：表示誤差的均值補(bǔ)碼舍入時

10、： 兩種量化方式誤差均值不同，方差一樣，字長b越大，q(=2-b)越小，量化噪聲越小。表示誤差的功率補(bǔ)碼截尾時方差： ADC量化信噪比： 信號功率（能量）與噪聲功率之比 S/N，其dB表示為：例：x(n)在-1+1之間均勻分布，且均值為0。A/D變換的SNR?類似舍入量化噪聲概率分布-11x(n)P (x)1/q假定：Vmax= 1在信號功率不變的情況下，字長增加一位，SNR提高自6dB在量化字長不變的情況下， （信號功率）越大，SNR越高12不同的信號其功率計(jì)算公式不同。當(dāng)信號為正弦波時，如何計(jì)算其功率？幅度為A、周期為T的正弦波信號的功率為：3、量化噪聲通過線性移不變系統(tǒng)x(n)+e(n)

11、H(z)或h(n)系統(tǒng)輸出端輸出噪聲若e(n)舍入噪聲，均值為零。q=2-b假定系統(tǒng)因果、穩(wěn)定如果e(n)白色（互不相關(guān)），則H（z）的全部極點(diǎn)在單位園內(nèi)，積分c為單位園上圍線積分。已知h(n)已知H(z)已知H(ej)帕斯瓦爾定理（DTFT的性質(zhì)）例：設(shè)有一（b=7）A/D變換器，它的輸出 經(jīng)下列傳遞函數(shù)的IIR濾波器 H（z）=z/(z-0.999)此輸出濾波器的量化噪聲功率：根據(jù)留數(shù)定理可得：量化噪聲在輸出端放大了很多倍，此時應(yīng)盡可能減少ADC的量化噪聲。極點(diǎn)非?？拷鼏挝粓A。例：設(shè)有一A/D變換器，它的輸出 經(jīng)下列系統(tǒng)函數(shù)的因果濾波器 H（z）=z/(z-0.8)此濾波器的沖激響應(yīng)為量化

12、噪聲功率：量化噪聲在輸出端只有輸入端的2.78倍。極點(diǎn)離單位圓距離不同，對輸入噪聲的放大也不同例：若低通濾波器的帶寬為/10且幅度為1，則可得輸出端量化噪聲功率只為輸入端的10%。4、A/D變換的采樣頻率與量化比特?cái)?shù)的關(guān)系 假定所需要數(shù)字化的信號為x(t)，其帶寬為FB。若采樣頻率Fs2FB，用帶寬為B=2(FB/Fs )的數(shù)字濾波器對采樣后的信號進(jìn)行濾波，該濾波器能衰減量化噪聲。滿足耐奎斯特采樣定理B=2(FB/Fs ) 假若采樣頻率Fs2FB，則輸出方差變小了， 。那么其方差可由比特?cái)?shù)b表示為式中取決于噪聲的概率密度分布。假定采樣頻率分別為Fs1和Fs2，量化比特?cái)?shù)分別為b1 和b2，若要

13、求得到的輸出量化噪聲 相同，則由上式得到采樣頻率分別為Fs1和Fs2和量化比特?cái)?shù)分別為b1 和b2的關(guān)系為若Fs1b2。例：一帶寬為FB=4KHz的信號，采樣頻率分別為Fs1=8KHz，且采樣比特?cái)?shù)為b1 =16比特。若采樣頻率Fs2=16Fs1=128KHz，則量化比特?cái)?shù)b2=14比特。 結(jié)論:如果加大采樣頻率(即增加每秒內(nèi)采樣的點(diǎn)數(shù))，則可以降低采樣精度(每個采樣點(diǎn)用較少的比特表示)而不失數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性(輸出的量化噪聲功率不變)。2.4、基于預(yù)測的采樣法：和- 調(diào)制 上面介紹了信號數(shù)字化通常的方法，是否還存在其他高效的數(shù)字化方法？預(yù)測方法。 除白噪聲外，信號相鄰的兩個采樣x(n)和x(n-1

14、)并不完全獨(dú)立。每個采樣點(diǎn)可表示為兩部分之和這里， 表示基于n以前采樣值對x(n)的預(yù)測值，w(n)表示預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差（也稱作殘差）。 預(yù)測器的形式取決于信號的統(tǒng)計(jì)特性。假定希望得到的預(yù)測器形式簡單且需數(shù)字化的信號是慢變化的（相鄰兩個采樣間變化不大），則對x(n)最簡單的預(yù)測僅取決于x(n-1)，即將其代入預(yù)測式，則結(jié)合上述兩個等式，可得殘差w(n)與預(yù)測器的z變換表達(dá)式因此，有同時有預(yù)測預(yù)測值與預(yù)測誤差1.調(diào)制 調(diào)制中，誤差部分w(n)被量化為wq(n)，如下圖所示。x(n)按下式由誤差和信號間的關(guān)系重構(gòu)：即采樣離散時間積分器。但在實(shí)際中，采用積分器來重構(gòu)信號的方案并不可行，因?yàn)榉e

15、分器在單位圓上 z = -1 處有一個極點(diǎn)，使得系統(tǒng)不滿足BIBO穩(wěn)定性。2.-調(diào)制 若量化預(yù)測值 ，量化后的結(jié)果為 ，如下圖所示。信號的重構(gòu)采用低通濾波器來實(shí)現(xiàn)，該濾波器必須能夠讓所有的信號頻率成分通過，該濾波器帶寬2FB/Fs，其中Fs為采樣頻率。該方法對量化噪聲有很好的抑制作用，即便在僅使用1比特量化器情況下也能獲得不錯的性能。當(dāng)量化器僅有1比特精度時，假設(shè)輸出信號 為x(n)的最大或最小值。不失一般性，假設(shè)信號均值為零，那么 其中x(n)的取值范圍 。用直接加入量化噪聲來替代量化器，如下圖所示。此時：其中，H(z)為帶寬為2FB/Fs的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。(n)的方差為上式中假定低通濾波器是理想的，由可得上式說明了量化誤差與最終誤差之間的幅頻關(guān)系，如下圖。它在低頻處較小。-調(diào)制使得量化噪聲盡可能出現(xiàn)在信號x(n)的頻帶之外。假設(shè)FBFs，則可利用近似關(guān)系sin(/2)/2。上式的計(jì)算結(jié)果為 -調(diào)制的一個應(yīng)用是1比特模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)模轉(zhuǎn)換器，如下圖所示。采樣頻率一般較高，所以系統(tǒng)函數(shù)1/（z-1）是由連續(xù)時間積分器來實(shí)現(xiàn)的。如果采樣頻率非常高，模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)模轉(zhuǎn)換器可采用較少的量化比特，甚至1比特，即根據(jù)輸入信號與某一給定的閾值之間的關(guān)系來決定輸出正值或負(fù)值。例：考慮一連續(xù)時間信號x(t)其中, F0=10Hz 。該弦波的峰峰值為1.