微 分 方 程 建 模

1、模型1 當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時，通常要建立對象的動態(tài)模型。 在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關系較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。2我們來建立如下的一些問題的模型： 我們通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學工具之一。 1、Malthus模型2、Logistic模型3 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。首先我們建立兩個

2、簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。 種群的數(shù)量本應取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。 4世界人口數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年1625183019301960197419871999人口億5102030405060中國人口數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年1908193319531964198219902000人口3.04.76.07.210.311.312.9551 馬爾薩斯（Malthus）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），因而提出了著名的人口

3、指數(shù)增長模型 。 分析與建模： 人口的凈增長率是一個常數(shù)，也就是單位時間內人口增長量與當時人口數(shù)成正比。設t時刻人口數(shù)為N(t)，t=t0時，N(t0)=N0，則6這個方程的解為： 馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有： 故即Malthus模型7模型檢驗 比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預報結果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6 （即3.06109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口

4、數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。 模型預測 假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達21014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達361015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。 故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應當與人口數(shù)量有關。82 Log

5、istic模型 人口凈增長率應當與人口數(shù)量有關，即： r=r(N) 從而有：（1）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求 。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項） 此時得到微分方程： 或（2） （2）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學生物學家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產生抑制性，故一次項又被

6、稱為競爭項。（2）可改寫成： （3） (3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結果的支持，這就是（3）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。 9對（3）分離變量：兩邊積分并整理得： 令N(0)=N0，求得： 故（3）的滿足初始條件N(0)=N0的解為： （4）易見： N(0)=N0 ，N(t

7、)的圖形請看右圖 10模型檢驗 用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗比克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學生物學家高斯（EFGauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結果都和Logistic曲線十分吻合。 大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見右圖 11Malthus模型和Logistic模型的總結 Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（1）所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內稟增長率）。后一模型則假設環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。 用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。