四：Matlab符號(hào)運(yùn)算

1、Matlab 1Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹 Matlab 符號(hào)運(yùn)算是通過(guò)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（Symbolic Math Toolbox）來(lái)實(shí)現(xiàn)的。Matlab 符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱是建立在功能強(qiáng)大的 Maple 軟件的基礎(chǔ)上的，當(dāng) Matlab 進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，它就請(qǐng)求 Maple 軟件去計(jì)算并將結(jié)果返回給 Matlab。 Matlab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)算功能。主要包括：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)表達(dá)式的復(fù)合、化簡(jiǎn)，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)微積分、符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求解等。此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。 2Matlab 符號(hào)運(yùn)算特點(diǎn)

2、計(jì)算以推理方式進(jìn)行，因此不受計(jì)算誤差累積所帶來(lái)的困擾。 符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與數(shù)學(xué)教科書(shū)上的公式相近。 符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時(shí)）。 符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。3Matlab 符號(hào)運(yùn)算舉例 求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 solve(a*x2+b*x+c) 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次導(dǎo)數(shù) x=sym(x); diff(cos(x)2) 計(jì)算 f (x) = x2 在區(qū)間 a, b 上的定積分 syms a b x; int(x2,a,b)4 在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的符號(hào)對(duì)象，可以是

3、符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等。符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。符號(hào)對(duì)象與符號(hào)表達(dá)式 含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱為符號(hào)表達(dá)式，Matlab 在內(nèi)部把符號(hào)表達(dá)式表示成字符串，以與數(shù)字變量或運(yùn)算相區(qū)別。 符號(hào)矩陣/數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣/數(shù)組。5 sym 函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為： 符號(hào)對(duì)象的建立：sym 和 syms符號(hào)對(duì)象的建立例： a=sym(a) 符號(hào)變量 = sym(A)參數(shù) A 可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn) 是符號(hào)變量b 是符號(hào)常量 b=sym(1/3)c 是符號(hào)矩陣 c=sym(1 ab; c d)6 符號(hào)對(duì)象的建立：sym 和 syms符號(hào)對(duì)象的建立 sym

4、s 命令用來(lái)建立多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：syms 符號(hào)變量1 符號(hào)變量2 . 符號(hào)變量n 例： syms a b c a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c);7 符號(hào)表達(dá)式的建立：例：建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下2種方法：(1) 用 sym 函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。(2) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。 y=sym(sin(x)+cos(x) x=sym(x); y=sin(x)+cos(x)符號(hào)表達(dá)式的建立8Matlab 符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算 基本運(yùn)算符 普通運(yùn)算：+ 、-

5、 、* 、 、/ 、 數(shù)組運(yùn)算：.* 、. 、./ 、. 矩陣轉(zhuǎn)置： 、.例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X*Y; Z2=X.*Y;9符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imagrank、det、inv、eigdiag、triu、tril三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等 基本函數(shù)10符號(hào)表達(dá)式的替換subs(f,x,

6、a) 用 a 替換字符函數(shù) f 中的字符變量 x a 是可以是 數(shù)/數(shù)值變量/表達(dá)式 或 字符變量/表達(dá)式若 x 是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的數(shù)組或矩陣，則 a 應(yīng)該具有與 x 相同的形狀的數(shù)組或矩陣。 用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量11subs 舉例 f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=

7、6 例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果f=2*u12六類常見(jiàn)符號(hào)運(yùn)算 因式分解、展開(kāi)、合并、簡(jiǎn)化及通分等 計(jì)算極限 計(jì)算導(dǎo)數(shù) 計(jì)算積分 符號(hào)求和 代數(shù)方程和微分方程求解13因式分解 因式分解factor(f) syms x; f=x6+1; factor(f) factor 也可用于正整數(shù)的分解 s=factor(100) factor(sym(123456789) 大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量14函數(shù)展開(kāi) 函數(shù)展開(kāi)expand(f) syms x; f=(x+1)6; expand(f) 多項(xiàng)式展開(kāi) 三角函數(shù)展開(kāi) syms x y; f=sin(x+y); expand(f)15合并同類項(xiàng) 合并

8、同類項(xiàng)collect(f,v): 按指定變量 v 進(jìn)行合并collect(f): 按默認(rèn)變量進(jìn)行合并 syms x y; f= x2*y + y*x - x2 + 2*x ; collect(f) collect(f,y)16函數(shù)簡(jiǎn)化 函數(shù)簡(jiǎn)化y=simple(f): 對(duì) f 嘗試多種不同的算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，返回其中最簡(jiǎn)短的形式How,y=simple(f): y 為 f 的最簡(jiǎn)短形式，How 中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)程中使用的方法。fRHOW2*cos(x)2-sin(x)23*cos(x)2-1simplify(x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+

9、1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand17函數(shù)簡(jiǎn)化 函數(shù)簡(jiǎn)化y=simplify(f): 對(duì) f 進(jìn)行簡(jiǎn)化 syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; simplify(f) syms c alpha beta; f=exp(c*log(sqrt(alpha+beta); simplify(f)18函數(shù)簡(jiǎn)化舉例 syms c alpha beta; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); y1=simplify(f) g1=simple(f) g2=simple(g1) 多次使用 simple 可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)。例：簡(jiǎn)化19分式通

10、分 函數(shù)簡(jiǎn)化N,D=numden(f): N 為通分后的分子，D 為通分后的分母 syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f)20計(jì)算極限limit(f,x,a): 計(jì)算limit(f,a): 當(dāng)默認(rèn)變量趨向于 a 時(shí)的極限limit(f): 計(jì)算 a=0 時(shí)的極限limit(f,x,a,right): 計(jì)算右極限limit(f,x,a,left): 計(jì)算左極限例：計(jì)算 ， syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf)21計(jì)算導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于 v 的導(dǎo)

11、數(shù)g=diff(f)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求 f 關(guān)于 v 的 n 階導(dǎo)數(shù) diff syms x; f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x)22計(jì)算積分int(f,v,a,b): 計(jì)算定積分int(f,a,b): 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分int(f,v): 計(jì)算不定積分int(f): 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分 syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf)例：計(jì)算 和23符號(hào)求和 syms n; f=1/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,100)symsum(f,v,a,b): 求和symsum(f,a,b): 關(guān)于默認(rèn)變量求和例：計(jì)算級(jí)數(shù) 及其前100項(xiàng)的部分和例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù) syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf)24代數(shù)方程和微分方程求解 代數(shù)方程求解solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符號(hào)表達(dá)式