根軌跡的概念

1、根軌跡的概念特征方程(見傳遞函數(shù))的根隨某個參數(shù)由零變到無窮大時在復(fù)數(shù)平面上 形成的軌跡，稱為根軌跡。我們先看下面的例子。設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)K從零到無窮大變化時，系統(tǒng)的特征根在s平面上怎樣分布? 解系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點S1 = 032 = 1系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,、Yfe) Got)G (s)二二X fc) 1+ Gofc)_ K_ s2+ s+ K系統(tǒng)的特征方程為S2+ s+ K = 0特征方程的根如=-0.5 +0.571-4X也=0.5- 0.5%/1-47可見特征根在s平面的位置與K有關(guān)。K=0時，明二。;如二i 1,與開環(huán)極點的位置相同。0K1/4時，判和宅

2、都成為共軛復(fù)數(shù)。j1；2=- 0,5 土滄5%/4K 1具有相同的負(fù)實部，且為常數(shù)，而虛部則隨K的增加其絕對值也增加。圖3.28給出了系統(tǒng)的特征根在K從零變化到無窮大時，相應(yīng)位置的變化情況。這種放大系數(shù)K從零到無窮大變化時，特征方程的根在s平面上相應(yīng)變化的軌跡， 稱為根軌跡。根軌跡完整地反映了特征根隨參數(shù)變化的情況。根據(jù)圖3.28的根軌 跡圖，我們可以知道，在Km，m條根軌跡終止于開環(huán)零點，還有（n-m） 條根軌跡則終止于無窮遠(yuǎn)處。這時因為，當(dāng)s! 1時，由于nm,同樣有mn 十瓦）lim =0S T 8 Zi z zn + 4）i = 1根軌跡的漸近線終止于無窮遠(yuǎn)處的（n-m）條根軌跡，在m

3、! 1時，沿漸近線變化。漸近線確定了終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的變化方向。漸近線與實軸正方向的夾角Y為白_ (2K十 1)130一 n-mK=SL2(3.152)漸近線與實軸的交點為nms （耳） 一（&）_ n m（3.153）式（3.153）可以表述為“=（所有開環(huán)極點之和-所有開環(huán)零點之和）/n-m根軌跡的對稱性特征方程的根不是實數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)，所以根軌跡對稱于實軸。在繪制根軌跡時，只需繪出上半平面的部分，根據(jù)對稱性，下半平面的部分很容 易繪制出來。實軸上的根軌跡實軸上的開環(huán)零點和開環(huán)極點把整個實軸劃分為若干線段。這些線段是不是根軌 跡的一部分，可以根據(jù)幅角條件來判斷。只有其右邊開環(huán)零極點總

4、數(shù)為奇數(shù)的線 段，才能滿足根軌跡的幅角條件。所以說，實軸上的根軌跡是那些右邊開環(huán)零極 點個數(shù)為奇數(shù)的線段。根軌跡的分離點與會合點兩支根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)后相遇又分開的點稱為根軌跡的分離點。兩支根軌跡 相遇后又分開各自趨向終點的點稱為根軌跡的會合點。在分離點或會合點上，特 征方程必有重根。分離點或會合點可用下面的方法求取。系統(tǒng)的特征方程為即mmn 十綏)十K 3+R) = 0i = 1J = 1上式可簡化為&十氐引5)= 0式中A(s)和B(s)是不含可變參數(shù)K的表達(dá)式。解方程dK=0/、急(3.154)即可求出分離點或會合點。但方程(3.154)的解不一定都是分離點或會合點。 經(jīng)檢驗，這些點若

5、在根軌跡上，則為分離點或會合點。若不在根軌跡上，此時對 應(yīng)的K一般為負(fù)值，則不是分離點或會合點。絕大多數(shù)分離點或會合點都分布在 實軸上。實軸以外的分離點或會合點則以共軛復(fù)數(shù)形式成對出現(xiàn)。根軌跡的出射角與入射角系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零點和開環(huán)極點時，必須知道根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出射的方 向或進(jìn)入到開環(huán)零點的方向。出射角(入射角)是根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)零極點上切線的方向角，可以根據(jù)根軌跡的幅角條件求出。根據(jù)式（3.150）可得m摭=100 十 I； % (3.155)(3.156)J = 1m TOC o 1-5 h z r.尸n=130-%十目織J 1-1*j上兩式中原為出射角，如為入射角，為和周是所有開

6、環(huán)零極點（不包括所求的零極點）指向所求開環(huán)復(fù)數(shù)極點或開環(huán)復(fù)數(shù)零點的矢量與實軸正方向的夾角。根軌跡與虛軸的交點s平面的虛軸是控制系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界線。根軌跡通過虛軸，系統(tǒng)的穩(wěn)定 性就會發(fā)生變化。所以，確定根軌跡與虛軸的交點非常重要。根軌跡在虛軸上，則s=j ,將其代入特征方程再令特征方程的實部和虛部都為零，可以得到兩個方程：實部方程和虛部方程。求解這兩個方程，可得到根軌跡與虛軸的交點和對應(yīng)的K值。利用上述8條繪制根軌跡的規(guī)則，可以較方便地做出系統(tǒng)的根軌跡圖。下面，通 過一些實例，進(jìn)一步了解根軌跡的作圖規(guī)則。例17控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為魚瓦0 =十 2）（ +4）試?yán)L制K從零到無窮大變化時系

7、統(tǒng)的根軌跡。解 （1）系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，根軌跡共有3條分支。（2）根軌跡的起點為0，-2, -4，圖3.29中用x表示開環(huán)極點。根軌跡無開環(huán)零點，三支根軌跡均終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的三條漸近線與實軸正方向的夾角和與實軸 的交點為=60?1300 + （- 2） + （- 4） - 0 n（4）根軌跡在實軸上的部分是。22，一8兩個線段。（5）分離點。特征方程十2）0十4）十氏=。K=-3（32）（3 +4）K=-3（32）（3 十 4）= 3s2 12s 0 = 0 ds求得：跖=3。83 2 = 2 - /3 = 3.15JK2 =- 3.00電不在根軌跡上，不是分離點。

8、分離點為s=-0.85。（6）系統(tǒng)無復(fù)數(shù)零極點，因而無出射角、入射角問題。（7）根軌跡與虛軸的交點理十2蟲+4）十風(fēng)，次=0得（K 6山勺知（山8） = 0實部方程K-6w=0虛部方程1）（1）2 8） = 0解得= 2.33K = 48圖3.29是該系統(tǒng)的根軌跡圖。圖3.29例17的根軌跡例18控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：=5十 3）（5，十 十 *）試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解 （1）系統(tǒng)為四階系統(tǒng)，根軌跡共有4條分支。（2）根軌跡的起點：0，-3, -1土 j1。根軌跡終點：-2,有3條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）漸近線與實軸的交角和交點E=6 此 1800 十（一3）十（一1 十時）十（一1

9、1） （ 2）（4）根軌跡在實軸上的部分是0到-2, -3到負(fù)無窮大。（5）分離點：無根軌跡分離與會合。（6）出射角：開環(huán)極點-1土j為共軛復(fù)數(shù)極點。開環(huán)零點分布入圖3.30所將圖3.30各角的值代入式（3.155），= 130+ 45- (26.6+ 90 + 135) =- 26.6根據(jù)根軌跡的對稱性，復(fù)數(shù)開環(huán)極點-1-j的出射角為2&礦。（7）與虛軸交點，將S二加代入特征方程。特征方程為1十= 03十 3）（3，十 2s 十 2）丁十5凌十爵十位十Kb十2K = 0代入S二如并整理后得實部方程4.-山一 +27 = 0虛部方程-5c/十（K十時山=0解此方程組，得Lb1 = 1.61K

10、= 7圖3.31是系統(tǒng)的根軌跡圖。圖3.32控制系統(tǒng)的根軌跡圖3.33附加零點的作用根軌跡法分析系統(tǒng)性能根軌跡法是一種圖解方法。運(yùn)用根軌跡法能夠分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性、穩(wěn) 定特性。根軌跡法在對高階系統(tǒng)的分析中，可以根據(jù)閉環(huán)零極點的位置，較方便 地確定參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響，利用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對系統(tǒng)進(jìn)行近 似分析計算。因此是一種很實用的工程方法。下面，我們通過一些實例說明根軌 跡法在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。例設(shè)某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3十 10)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性并利用根軌跡法校正系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解按照根軌跡的繪制規(guī)則，系統(tǒng)的根軌跡圖如圖3.32所示。由圖可見，系統(tǒng)的 兩支根軌跡位于s平

11、面右半邊，無論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是不穩(wěn)定的。若在系統(tǒng)中附加一個開環(huán)零點，該開環(huán)零點是位于0到-10之間的一個負(fù)實數(shù)，則 系統(tǒng)的根軌跡就變成圖3.33所示的形狀。顯然，無論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是穩(wěn) 定的。圖3.32和圖3.33說明，在適當(dāng)位置上引入附加零點，可以使控制系統(tǒng)的性能得到 有效改善。圖3.33還表明，在s平面原點有兩個開環(huán)極點，系統(tǒng)是氏型系統(tǒng)，對 單位階躍和單位斜坡輸入函數(shù)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，是衰 減振蕩過程。例20單位反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為玳。庇十1) 色乙(國_i)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍。解：本例給出的傳遞函數(shù)是典型環(huán)節(jié)形式，將其改寫為零極點形式：0.5X(+ 2) _ Kf(s + 2)頃時=。海3 少=理4)式中K稱為開環(huán)放大系統(tǒng)，K稱為根軌跡放大系數(shù)Kf=2K二者相差一個比例常數(shù)，比例常數(shù)是由時間常數(shù)和零極點的數(shù)值決定的?？梢宰C明，二階開環(huán)系統(tǒng)在其開環(huán)極點左邊有一個開環(huán)零點時，其根軌跡有一部