人教版八年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題試卷及答案

1、人教版八年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題試卷及答案1.如圖，在 ABC中， ACB 90 , AC BC,AB 8cm ,過點C做射線CD ,且CD /AB，點P從點C出發(fā)，沿射線CD方向均勻運動，速度為 3cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AB向點B勻速運動，速度為1cm / s ,當(dāng)點Q停止運動時，點P也停止運(2)當(dāng)t 2時，請說明PQ/BC ；2(3)設(shè) BCQ的面積為S cm ，求S與t之間的關(guān)系式.解析：(1) CP=3t, BQ=8-t； (2)見解析；(3) S=16-2t .【解析】【分析】(1)直接根據(jù)距離=速度 時間即可；(2)通過證明 OPCQ 4BQC,得到/ PQC=BCQ即可求

2、證；(3)過點C作CMLAB,垂足為M,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CM=AM=4即可求解. .CP=BQ/CD/ AB/ PCQ=Z BQC又 CQ=QC，PCQ 核BQC/ PQC= BCQPQ/ BC(3)過點C作CMLAB,垂足為M1 1 c , AM=AB 8 4 (cm)22. AC=BC / ACB=90/ A=Z B= 45.CML AB/ AMC=90/ ACM=45A=/ ACMCM=AM=4 cm)-1 18 t 4 16 2t2因此，S與t之間的關(guān)系式為 S=16-2t .【點睛】此題主要考查列代數(shù)式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握邏輯

3、推理是解題關(guān)鍵.2.直線MN與PQ相互垂直，垂足為點 O,點A在射線OQ上運動，點B在射線OM上運動，點A、點B均不與點O重合.(1)如圖1, AI平分 BAO, BI平分 ABO,若 BAO 40 ,求 AIB的度數(shù); S-BCQ a-BQ 翁 CM(2)如圖2, AI平分BAO, BC平分 ABM , BC的反向延長線交 AI于點D .若 BAO 40 ,則/ADB 度(直接寫出結(jié)果，不需說理)；點A、B在運動的過程中，ADB是否發(fā)生變化，若不變，試求 ADB的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律.OAE的角平分線(3)如圖3,已知點E在BA的延長線上，BAO的角平分線 AI、AF與 BOP的角平

4、分線所在的直線分別相交于的點D、F ,在&ADF中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的 4倍，請直接寫出ABO的度數(shù).解析：(1) 135; (2) 45;不變；45; (3) 45 或 36【解析】靈活運用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和;(1)求出 舊A , /IAB,根據(jù) AIB 180( IBAIAB),即可解決問題;(2)求出根據(jù) DCBA, / BAI ,根據(jù) CBA ADB_ 11CBA BAD MBA BAO22BAD ,即可求出 ADB的值;12 AOB即可得出結(jié)論；(3)首先證明DAF 90,ABO 2 D ,再分四種情況討論當(dāng)DAF 4 D時， DAF4 F時， F

5、 4 D時，D 4 F時，分別計算，符合題意得保留即可.【詳解】解：(1)如圖1中，: MN PQ ,AOB 90,，BAO 40 ,ABO 90 50 40 ,又AI平分 BAO, BI平分_1 一 一IBA -ABO 25 ,2_1 一 _.IAB -OAB 20 ,2AIB 180 ( IBA IAB) 135 , (2)如圖2中： MBA AOB BAD (三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和)，9040130丫 AI平分CBABAO , BC平分 HYPERLINK l bookmark203 o Current Document 1.MBA 65 HYPERLINK l bo

6、okmark45 o Current Document 2，ABM ,1-BAI BAO220CBA ADB BAD ,ADB 45 ;結(jié)論：點A、B在運動過程中，ADB 45、理由： D CBA BAD TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 1分MBA BAO HYPERLINK l bookmark136 o Current Document 21-：(MBA BAO)1AOB 2190245點A、B在運動過程中，ADB的角度不變，ADB 45;（3）如圖3中，BAO的角平分線 A卜 OAE的角平分線 AF與 BOP

7、的角平分線所 TOC o 1-5 h z 在的直線分別相交于的點D、F ,_1-_1DAO BAO , FAO EAP ,22又BAO EAP為平角,1 八 1DAF BAO 22D POD DAOABO 2 D , 又在AOB中：aob1EAP 18090 ,2 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 1-1-1-POB BAO HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 222ABO Z C,得出 此時不符合； 當(dāng)EA=ED時，求出/DAC,求出/ BAD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出 ZADB .【詳解】

8、(1)在 ABAD 中，. / B=50 , / BDA=100 ,EDC 180 ADE ADB 1805010030 ,DEC 180 EDC C 1803050100 .故答案為 EDC 30 , DEC 100 .(2)當(dāng)DC 3時， ABD DCE ,理由如下： AB 3 , DC 3 AB DCB 50， ADE 50，B ADE ADB ADE EDC 180DEC C EDC 180 ADB DEC 在ABD和 DCE中AB DCB CADB DECABD DCE(3)可以，理由如下：, B C 50 , B C BAC 180BAC 180 B C分三種情況討論：當(dāng)DA DE

9、時, DAE ADE 50 , ADEDAE 180 502BAD BAC DAE80651518050 5080DEADAE DEA 18065BDA 180B BADB BAD BDA 1801805015115當(dāng) AD AE 時,AED ADE 50 ADE AED DAE 180DAE 180 AED ADE180505080又 BAC 80DAE BAE點D與點B重合，不合題意.當(dāng) EA ED 時， DAE ADE 50BAD BAC DAE805030B BADBDA 180BDA 180B BAD1805030100綜上所述，當(dāng) BDA的度數(shù)為115或100,時， ADE是等腰三

10、角形.本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)， 掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.6.已知：如圖1,直線AB/CD , EF分別交AB, CD于E, F兩點， BEF , DFE的平 分線相交于點K.(1)求 K的度數(shù)；(2)如圖2, BEK ,DFK的平分線相交于點 K1，問 K1與 K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；在圖2中作 BEKi, DFKi的平分線相交于點 K2,作 BEK2, DFK2的平分線相交于點K3，依此類推，作BEKn,DFKn的平分線相交于點 Kn 1,請用含的n式子表示Kn

11、1的度數(shù).(直接寫出答案，不必寫解答過程)1 一解析：(1) 90 ； (2)K 2 K1 ,證明見解析；(3)Kn 1 才 90【解析】【分析】(1)過 K 作 KG/ AB,交 EF 于 G ,證出 AB/CD / KG,得到 BEK EKG , GKF KFD ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到2 BEK DFK 180,即可得到答案；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BEK1KEK1 1 KEB ,1-KFK1DFK1 2 DFK ,根據(jù) BEK KFD 90 求出KEK1 KFK1 45 ,根據(jù)K1 180 KEF EFKKEK1KFK1 求出答案；(3)根據(jù)(2)得到規(guī)律解答即可.【

12、詳解】AB/CD / KG,BEK EKG , GKF KFD ,.EK, FK分別為BEF與 EFD的平分線,BEK FEK , EFK AB/CD ,BEK FEK EFKDFK ,DFK 180,2 BEK DFK 180：,BEK DFK 90, 則 EKF EKGGKF 90 ;(2) K 2 Ki ,理由為：；BEK , DFK的平分線相交于點 Ki , 11BEK1KEK1 - KEB , KFK 1 DFK 1 - DFK ,BEKFEKEFKDFK 180 ,即 2 BEK KFD 180 ,BEKKFD 90 ,KEK1KFK1 45 , TOC o 1-5 h z HYP

13、ERLINK l bookmark98 o Current Document K1 180, KEF EFKKEK1KFK145,K 2 K1；(3)由(2)知 K 90-；1 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document K1-K-9022111 同理可信K2K1 = K 90 HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 21441Kn1 / 90 .【點睛】 此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行公理的推論：平行于同一直線的兩直線平行；角平分線的性質(zhì)；(3)是難點，注意總結(jié)前兩問的做題思路得到規(guī)律

14、進行解答7.某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組對主角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系進行了探究.(1)如圖1,在 BC中，/ABC與/ACB的平分線交于點 P, /A=64,則/ BPC,(2)如圖2, AABC的內(nèi)角/ACB的平分線與 AABC的外角/ ABD的平分線交于點 E.其中 Z A= a,求/ BEC.(用 a 表不 / BE。；(3)如圖3, /CBM、/BCN為9BC的外角，/ CBM、/BCN的平分線交于點 Q,請你 寫出/BQC與/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖4, AABC外角/CBM、/ BCN的平分線交于點 Q, / A=64 , / CBQ, / BCQ的

15、平分線交于點P,則/BPC=。，延長BC至點E, /ECQ的平分線與BP的延長線相 交于點R,則/ R= .一一1c 1解析：(1) 122。； (2) BEC ； (3) ZBQC- 900-1ZA； (4)119,29 ; 22【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用A與1表示出 2,再利用 E與1表示出 2 ,于是得到結(jié)論；(3)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出EBC與 ECB ,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；(4)根據(jù)(1) , (3)的結(jié)論可以得出 /BP

16、C的度數(shù)；根據(jù)(2)的結(jié)論可以得到 /R的 度數(shù).【詳解】解：(1) v BP、CP分別平分 ABC和 ACB , TOC o 1-5 h z -11 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document PBC ABC , PCB ACB , 22BPC 180( PBC PCB)1180( ABC ACB), HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 21 一 一180-( ABC ACB),21180-(180 A),118090- A ,9032 122”， 故答案為：122;(2)如圖2示，ABD的角平分線,

17、1 c1 - ACB又 ABD是ABDABC的一外角,ABD A12 -( A2ACBc 1ABC) 2BEC的一外角,BEC(3)QBC12( AACB),QCB12(A ABC),BQC180QBC18012(ACB)12( AABC)18012(ABCACB),結(jié)論BQC90A.(4)由(3)一， .、1,、 1,可知， BQC -90 -A-90 -X64 58再根據(jù)(1),可得 /BPC =180 ； (/PBC PCB)1 ., 1 ,-180 -|-QBC+2QCB)1-180 -90 - Q2一1802 58”1190 由(2)可得:.11.RQ 58 29 ;22故答案為：1

18、19, 29.圖4【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩 個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.8.如圖(1) , AB = 4Cm, ACXAB, BDXAB, AC=BD=3Cm.點 P在線段 AB上以 1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點 Q在線段BD上由點B向點D運動.它們運動 的時間為t (s) .(1)若點Q的運動速度與點 P的運動速度相等，當(dāng)t = 1時，ACP與 BPQ是否全等， 請說明理由， 并判斷此時線段 PC和線段PQ的位置關(guān)系；(2)如圖(2),將圖(1)中的 AC AB, BD AB為改 / CAB= / DBA= 60 ；其他

19、 條件不變.設(shè)點Q的運動速度為xcm/s,是否存在實數(shù) X,使得4ACP與4BPQ全等？若 存在，求出相應(yīng)的 X、t的值；若不存在，請說明理由.圖(1)B(2)t 1解析：(1)全等，垂直，理由詳見解析；(2)存在，或 3X 1 X -2【解析】【分析】(1)在t=1的條件下，找出條件判定 ACP和4BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直 角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，可證/CPQ= 90。，即可判斷線段 PC和線段PQ的位置關(guān)系；(2)本題主要在動點的條件下，分情況討論，利用三角形全等時對應(yīng)邊相等的性質(zhì)進行解 答即可.【詳解】(1)當(dāng) t=1 時，AP= BQ=1, BP= AC=3,又/

20、A=/B= 90 , 在 ACPA BPQ 中，AP BQ A BAC BP. .AC BPQ(SAS)./ ACP=Z BPQ , / APC+-Z BPQ=Z APC+-Z ACP = 90*./ CPQ= 90 ,即線段PC與線段PQ垂直;(2)若 AC BPQ, 貝U AC= BP AP= BQ3 4 tt xt解得 若 AC BQP,貝U AC= BQ AP= BP,3 xtt 4 tt 2解得： 3x2t 1綜上所述，存在或3使得 ACP與 BPQ全等.x 1 x -2本題主要考查三角形全等與動點問題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本 題的關(guān)鍵.9.在 ABC中，已知/

21、 A= a.（1）如圖1, / ABC /ACB的平分線相交于點 D.當(dāng)a= 70時，/ BDC度數(shù)=度（直接寫出結(jié)果）；/ BDC的度數(shù)為 （用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2,若/ ABC的平分線與/ ACE角平分線交于點F,求/ BFC的度數(shù)（用含 a的 代數(shù)式表示）.（3）在（2）的條件下，將 FBC以直線BC為對稱軸翻折得到 GBQ / GBC的角平分線與/ GCB的角平分線交于點 M （如圖3）,求/ BMC的度數(shù)（用含 a的代數(shù)式表示）. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark160 o Current Document _11解析：（1）（1） 1

22、25。； 905, （2）BFC ；（3） HYPERLINK l bookmark162 o Current Document -1 HYPERLINK l bookmark166 o Current Document BMC 904【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理易得/ ABC+/ ACB=110,然后根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三 角形內(nèi)角和定理可求/ BDC; 由三角形內(nèi)角和定理易得/ ABC+Z ACB=180。-/A,采用 的推導(dǎo)方法即可求解;（2）由三角形外角性質(zhì)得（3）由折疊的對稱性得【詳解】解：（1） DBCBGC BFC，結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案.BFC FCE FBC

23、 ,然后結(jié)合角平分線的定義求解;1 / ABC / DCB= 1 / ACB,22/ BDC= 180 - / DBC- / DCB。1 ，、= 180 ( / ABC+/ACB)2。1= 180 - (180 - 70 )2= 125 TOC o 1-5 h z _ 11 : DBC / ABC, / DCB= Z ACB, 22/ BDC= 180 - / DBC- / DCB。1 ，、= 180 ( / ABC+/ACB)2。1。,= 180 - - (180 - / A)。1=90 +21=90 +22/ A民.故答案分別為125, 900+12(2) .BF和 CF分另IJ平分 /A

24、BC和/ACE TOC o 1-5 h z _ 1_1_FBC ABCFCE ACE22，BFC FCE FBC = 2( ACE ABC)rr-1即 BFC -. 1(3)由軸對稱性質(zhì)知：BGC BFC ,21由(1)可得 BMC 90 BGC1BMC 904【點睛】本題考查三角形中與角平分線有關(guān)的角度計算,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.如圖，若要判定紙帶兩條邊線 a, b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的(3)如圖3,紙帶兩條邊線 a, b互相平行，折疊后的邊線 b與a交于點C,若將紙帶沿A4 (A, B1分別在邊線a, b上)再次折疊，折疊后

25、的邊線b與a交于點C1，AB/ AB , BB1 3, AC 7,求出 AC 的長.解析：(1)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(2) / 1+2/2=180。； ( 3) 4或10【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；(2)由折疊的性質(zhì)得：/ 3=7 4,若a/ b,則/ 3=/2,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；(3)分兩種情況：當(dāng) Bi在B的左側(cè)時，如圖2,當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3,分別求出AC的長，即可得到答案.【詳解】 12 ,a / b (內(nèi)錯角相等，兩直線平行)，故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(2)如圖1,由折疊的性質(zhì)得：Z 3=74,若 a/ b,則/ 3

26、=Z2,4=Z2,/ 2+Z 4+21=180 ,1+2Z 2=180 ,要使a/b,則 1與2應(yīng)該滿足的關(guān)系是：/1+2/2=180故答案是：Z 1+2/2=180 ;(3)當(dāng)Bi在B的左側(cè)時，如圖2,AB/ A1B1 , a/ b,-AAi=bBi=3, A(C =AC-AA=7-3=4;當(dāng)Bi在B的右側(cè)時，如圖3,. AB/ A1B1 , a/ b,. AAi=BBi=3,AC =AC+AA=7+3=10.綜上所述：AP=4或10.【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平 行線間的平行線段長度相等”是解題的關(guān)鍵.AD AE11.已知a ABC

27、和3ADE都是等腰三角形， AB ACDAE BAC .（初步感知）（1）特殊情形：如圖，若點 D , E分別在邊AB , AC上，則EC .（填、或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖，將圖中的3ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D在/.ABC外部，點E在&ABC內(nèi)部時，求證：DB EC .（深入研究）（3）如圖，ziABC和&ADE都是等邊三角形，點 C, E, D在同一條 直線上，則 CDB的度數(shù)為 ;線段CE , BD之間的數(shù)量關(guān)系為 .圖（4）如圖，aABC和&ADE都是等腰直角三角形，BAC DAE 90，點C、D、E在同一直線上， AM為&ADE中DE邊上的高，則 CDB的度數(shù)為 線段AM, BD ,

28、CD之間的數(shù)量關(guān)系為.（拓展提升）（5）如圖，&ABC和&ADE都是等腰直角三角形,BAC DAE 90 ,將ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BE、AD 2時，在旋轉(zhuǎn)過程中， 4ABE與凸ADC的面積和的最大值為解析：(1)=；(2)證明見解析；(3)60, BD=CE(4)90,AM+BD=CM；(5) 7【解析】【分析】(1)由 DE/ BC,得到DBABECAC，結(jié)合 AB=AC,得至ij DB=EC(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出DAB0 EAC,得到DB=CE(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明DAB0 EAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；(4)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和

29、等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(5)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中 ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，ADC的AC始終保持不變，即可.【詳解】 初步感知(1) DE/ BC,DB 股AB AC .AB=AC, .DB=EC故答案為：=,(2)成立.理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知/ DAB=Z EAG在 口人8和4 EAC中AD = AEDAB= EAC , AB=AC.DAB EAC (SAS , . DB=CE深入探究(3)如圖，設(shè) AB, CD交于O,. ABJDA ADE都是等邊三角形,.AD=AE, AB=AQ Z DAE=Z BAC=60 , DAB=Z EAC,在 口人8和4 EAC中AD

30、= AEDAB= EAC , AB=AC.DAB EAC (SAS ,. DB=CE / ABD=Z AC耳. / BOD=Z AOC,. / BDC=Z BAC=60 ；(4)DAE是等腰直角三角形，/ AED=45 , ./ AEC=135, 在 口人8和4 EAC中AD = AEDAB= EAC , AB=AC.DAB EAC (SAS ,. / ADB=Z AEC=135 , BD=CE / ADE=45 ,./ BDC=Z ADB-/ADE=90 ,ADE都是等腰直角三角形，AM為 ADE中DE邊上的高,.AM=EM=MD ,.AM+BD=CM;故答案為：90, AM+BD=CM;【

31、拓展提升】(5)如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中ADE的面積始終保持不變, ADE與 ADC面積的和達到最大，. ADC面積最大，在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，要 ADC面積最大，點D到AC的距離最大，DAXAC,. ADE與 ADC面積的和達至IJ的最大為 2+- X ACX AD=5+2=72故答案為7.【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定.12.閱讀下面材料，完成(1)-(3)題.數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1,已知等腰4 ABC中，AB=AC, AD為BC邊上的中線，以 AB為邊向AB左

32、側(cè)作等邊 ABE,直線CE與直線AD交于點F.請?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. 同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：小明： 通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)/ DFC的度數(shù)可以求出來.”小強： 通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段 DF和CF之間存在某種數(shù)量關(guān)系.”小偉：通過做輔助線構(gòu)造全等三角形，就可以將問題解決. ”老師：若以AB為邊向AB右側(cè)作等邊 ABE,其它條件均不改變，請在圖 2中補全圖形 探究線段ER AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.”(2)在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在圖2中補全圖形，探究線段 EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.解析：

33、(1) 60; (2) EF=AF+FC證明見解析；(3) AF=EF+2DF證明見解析.【解析】【分析】(1)可設(shè)/ BAD=/CAD= a, / AEC= Z ACE= 3,在GACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得 2 a + 60 + 2 3= 180,從而有3= 60。，即可得出/ DFC的度數(shù)；(2)在EC上截取EG= CF,連接AG,證明 AE8 ACF,然后再證明 AFG為等邊三角形，從而可得出 EF= EG+ GF= AF+ FC；(3)在AF上截取AG= EF,連接BG, BF,證明方法類似(2),先證明 AB8 EBF 再證明 BFG為等邊三角形，最后可得出結(jié)論.【詳解】解：(1

34、) ,AB=AC, AD 為 BC邊上的中線，可設(shè) Z BAD= Z CAD= a, 又4 ABE為等邊三角形，.AE=AB=AG / EAB=60 , .可設(shè) / AEC= / AC3在 AACE 中，2a+ 60 + 2 3= 180,a+ 3= 60 ,/ DFC池+ 3= 60;(2) EF=AF+FC證明如下：. AB=AC, AD 為 BC邊上的中線，. ADBC, . / FDC=90 ,. / CFD= 60,貝U/ DCF=30 ,.CF= 2DF,在EC上截取EG= CF,連接AG,又 AE=AQ./ AEG=Z ACF,.AES ACF (SA ,./ EAG= / CA

35、F, AG= AF,又/ CAF=Z BAD,/ EAG=Z BAD,/ GAF= / BAD+Z BAG=Z EAG+Z BAG=Z 60,. AFG為等邊三角形，.EF= EG+ GF= AF+FC,即 EF=AF+FC(3)補全圖形如圖所示，結(jié)論：AF=EF+2DF證明如下：同（1）可設(shè)/ BAD= / CAD= ，/ ACE= / AEC= 3, ./ CAE= 180 -2 3,./BAE= 2a+ 180 - 2 3= 60, /. 3- a= 60,./ AFC邛a= 60,又 ABE為等邊三角形，/ ABE=/ AFC=6。，由8字圖可得：/ BAD= / BEF,在AF上截取

36、 AG= EF,連接BG, BF,又 AB=BE,.ABG EBF （SAS ,. BG= BF,又AF垂直平分BC,.BF吁/ BFA=Z AFC=60 ,. BFG為等邊三角形，. BG=BE 又 BC FG,FG=BF=2DF.AF= AG+ GF= BF+ EF= 2DF+ EF.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解 決問題的關(guān)鍵是常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型.13.問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖 1, AABC是等邊三角形，點 D 是BC的中點，且滿足/ ADE= 60。，DE交等邊三角形外角平分線于點

37、 E.試探究AD與DE 的數(shù)量關(guān)系.操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過點 D作DF/ AC交AB于F,通過構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理論 證就可以解決問題，請您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進行證明.類比探究：（2）如圖2,當(dāng)點D是線段BC上任意一點（除B C外），其他條件不變，試猜 想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點D在線段BC的延長線上，且滿足 CD= BC,在圖3中補全圖形，直 接判斷 那DE的形狀（不要求證明）.圖3解析：（1）AD=DE,見解析；（2）AD= DE,見解析；（3）見解析，AADE是等邊三角形，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，通過平行線的

38、性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明ADF EDC即可得解；（2）根據(jù)題意，通過平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明AFD DCE即可得解；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理進行證明即可【詳解】（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD=DE證明： ABC是等邊三角形 .AB=BC,B= BAC= BCA= 60DF/ ACBFD= BAC , / BDF= / BCAB= BFD= BDF =60BDF是等邊三角形，AFD=120.DF= BD點D是BC的中點.BD=CD.DF=CD CE是等邊 ABC的外角平分線DCE = 120 = AFD ABC是等邊三角形，點 D是BC的中點 .-.ADXBCA

39、DC = 90BDF= ADE =60ADF= EDC =30在ADF與 EDC中AFD= ECDDF = CDADF = EDC. ADF EDC(ASA).AD= DE;(2)結(jié)論：AD=DE證明：如下圖，過點 D作DF/AC,交AB于F b ABC是等邊三角形.-.AB=BCB= BAC= BCA= 60. DF/ ACBFD= BAC, BDF = BCAB= BFD= BDF =60BDF是等邊三角形，AFD =120.BF= BD .AF= DCCE是等邊 ABC的外角平分線DCE = 120 = AFD / ADC是 ABD的外角ADC= B+ FAD =60+ FADADC=

40、ADE+ CDE=60 + CDEFAD= / CDE在AFD與DCE中AFD= DCEAF = CDFAD= EDC. AFD DCE (ASA).AD= DE;(3)如下圖，ADE是等邊三角形.證明： BC CD:.AC CD. CE平分 ACDCE垂直平分AD.AE=DE ADE 60ADE是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵14.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，2,0) , B(0,4 J2) , C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是線段OA上一點

41、，且PO PD , DE AB于E.(1)求 OAB的度數(shù)；(2)當(dāng)點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值.(3)若 OPD 45 ,求點D的坐標(biāo).解析：(1)45;(2)PE的值不變，PE=4,理由見t解；(3)D(8J28，。)【解析】【分析】(1)根據(jù)A(4j2,0) , B(0,4j2),得AOB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的 性質(zhì)，即可求出/OAB的度數(shù)；(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/AOC=/ BOC=45 , OCX AB,再證明 POJ DPE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=PE即可得到答案；(3)證明PO ADPA,得到PA=OB=

42、472，DA=PB,進而得 OD的值，即可求出點 坐標(biāo).【詳解】A(472,0) , B(0,472),.OA=OB=4 2 , / AOB=90 ,.AOB為等腰直角三角形，/ OAB=45 ;PE的值不變，理由如下：AOB為等腰直角三角形， C為AB的中點，/AOC=/ BOC=45 , OCX AB,PO=PD,/ POD=Z PDO,.D是線段OA上一點，點P在線段BC上，. / POD=45 +/ POG / PDO=45 +/ DPE,/ POC=Z DPE,在 POC和ADPE中，DPEPED 90 ,DPE(AAS)1-,POC OCPPO PD POC?A.OC=pe1 OC

43、=2 AB=2 X4J2 X V2 =4, PE=4;. OP=PD,，/POD=/ PDO=(180 -45 )+2=675 ,./APD=/ PDO-/A=22.5 , / BOP=90 - / POD=22.5 ,/ APD=Z BOP,在 POB和ADPA中，OBP PADBOP APDOP PD.,.POBADPA(AAS；). PA=OB=4& , DA=PB,.da=pb=4應(yīng) X,y2-4/2=8-472，. OD=0A-DA= 472 -(8- 4亞)=8& 8，點D的坐標(biāo)為(8&8，0)【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)定理，圖形與坐標(biāo)，掌握

44、等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.ACB 90，直線l過點C .15.直角三角形ABC中,(1)當(dāng)AC BC時，如圖E, ACD與4CBE是否全等，并說明理由；1,分別過點 A和B作AD 直線l于點D , BE 直線l于點(2)當(dāng)AC 8cm, BC 6cm時，如圖2,點B與點F關(guān)于直線l對稱，連接BF、CF ,點M是AC上一點，點 N是CF上一點，分別過點 M、N作MD 直線l于 點D , NE 直線l于點E ,點M從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A C路徑運動， 終點為C ,點N從點F出發(fā)，以每秒3cm的速度沿F C B C F路徑運動,終 點為F ,點M,N同時開始運動，各自達到相應(yīng)的

45、終點時停止運動，設(shè)運動時間為t秒， 當(dāng)4CMN為等腰直角三角形時，求 t的值.解析：(1)全等，理由見解析；(2) t=3.5秒或5秒【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到/ DAC=Z ECB,利用AAS定理證明4 AC* CBE(2)分點F沿CAB路徑運動和點F沿B-C路徑運動兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計算即可；【詳解】解：(1) 4ACD 與4CBE全等.理由如下： AD，直線1, / DAC+-Z ACD=90 , / ACB=90 , ./ BCE乜 ACD=90 , / DAC=Z ECR在 ACD和4CBE中，ADC CEBDAC ECB , CA CB. .AC

46、g CBE (AAS)； (2)由題意得，AM=t, FN=3t,則 CM=8-t,由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6.CN=6-3t,點N在BC上時， CMN為等腰直角三角形，當(dāng)點N沿CB路徑運動時，由題意得，8-t=3t-6,解得，t=3.5,當(dāng)點N沿BfC路徑運動時，由題意得，8-t=18-3t ,解得，t=5,綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒時， CMN為等腰直角三角形； 【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運 用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.二、選擇題16.如圖，實數(shù)-3、x、3、y在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為 M、N、P、Q,這四個數(shù)中絕對值 最

47、小的數(shù)對應(yīng)的點是()盯P -3x 03y *A.點MB.點NC.點PD.點Q解析：B【解析】【分析】【詳解】實數(shù)-3, x, 3, y在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為 M、N、P、Q,，原點在點P與N之間，這四個數(shù)中絕對值最小的數(shù)對應(yīng)的點是點N.故選B.17.如圖，田亮同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比 原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）A.垂線段最短B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線C.兩點之間，線段最短D.經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線解析：C【解析】【詳解】用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，線段AB的長小于點A繞點C到B

48、的長度，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是兩點之間，線段最短，故選C.【點睛】根據(jù)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要 小”得到線段AB的長小于點A繞點C到B的長度，從而確定答案.本題考查了線段的性質(zhì)，能 夠正確的理解題意是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)知識，比較簡單.18.如圖，已知線段 AB的長度為a, CD的長度為b,則圖中所有線段的長度和為 （）A CD BA. 3a+bB. 3a-bC. a+3bD. 2a+2b解析：A【解析】【分析】依據(jù)線段AB長度為a,可得AB=AC+CD+DB=a依據(jù)CD長度為b,可得AD+CB=a+b,進而 得出所有線段的長度和.

49、【詳解】線段AB長度為a,，AB=AC+CD+DB=a又二 CD長度為b,，AD+CB=a+b,，圖中所有線段的長度和為：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b故選A.【點睛】本題考查了比較線段的長度和有關(guān)計算，主要考查學(xué)生能否求出線段的長度和知道如何數(shù) 圖形中的線段.2019年6月21日甬臺溫高速溫嶺聯(lián)絡(luò)線工程初步設(shè)計通過，本項目為沿海高速和甬 臺溫高速公路之間的主要聯(lián)絡(luò)通道，總投資1289000000元，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. 0.1289 X 彳0B. 1.289 X 彳0C. 1.289 X 例D. 1289 X 10解析：C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法

50、的表示形式為ax 10的形式，其中1W|a|10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值v 1時，n是負(fù)數(shù).【詳解】解：12 8900 0000元，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為1.289X 109.故選：C.【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax 10的形式，其中1w|a|v10, n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.)B.若 a=b,則 a+1=b1D.若亙，則2a = 3b2 320.根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（A.若 2a=3b,則 a= b3C.若 a=b,則 2 -亙=233解析：C【解析】【分析】 利用等式的性質(zhì)對每個式子進行變形即可找出答案.解：A、

51、根據(jù)等式性質(zhì)2, 2a= 3b兩邊同時除以2得a= 3 b,原變形錯誤，故此選項不符合題意;B、根據(jù)等式性質(zhì)1,等式兩邊都加上1,即可得到a+=b+1,原變形錯誤，故此選項不符合題意;C、根據(jù)等式性質(zhì)1和2,等式兩邊同時除以-3且加上2應(yīng)得2- a=2- b,原變形正33確，故此選項符合題意；D、根據(jù)等式性質(zhì)2,等式兩邊同時乘以 6, 3a = 2b,原變形錯誤，故此選項不符合題意.故選：C.【點睛】 本題主要考查等式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì).運用等式性質(zhì)兩邊所加上的（或減去的）必須是同一個數(shù)或整式；運用等式性質(zhì)乘的（或除的）數(shù)或式子不為 0,才能保證所得的結(jié)果仍是等式.1必須注意等

52、式2必須注意等式兩邊所不相等的圖形是 C.D.如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中/ “ 與/ 3解析：C【解析】【分析】根據(jù)余角與補角的性質(zhì)進行一一判斷可得答案【詳解】解:A,根據(jù)角的和差關(guān)系可得/ a=Z 3 =45o；B,根據(jù)同角的余角相等可得/ a=/ 3 ；C,由圖可得/ a不一定與/ 3 相等；D,根據(jù)等角的補角相等可得/ a=/ 3 .故選C.【點睛】本題主要考查角度的計算及余角、補角的性質(zhì)，其中等角的余角相等，等角的補角相等.底面半徑為r,高為h的圓柱的體積為r2h,單項式r2h的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A., 3B., 2C. 1, 4D. 1, 3解析：A【解析】【分析

53、】由題意根據(jù)單項式系數(shù)和次數(shù)的確定方法即可求出答案得到選項.【詳解】解：單項式 r2h的系數(shù)和次數(shù)分別是，3；故選：A.【點睛】本題考查單項式定義，解題的關(guān)鍵是理解單項式系數(shù)和次數(shù)的確定方法，本題屬于基礎(chǔ)題 型.23.在實數(shù)：3.14159, 了5，兀，曬,個3）中，無理數(shù)的個數(shù)是（）1,0.1313313331（每2個1之間依次多一7A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個解析：C【解析】【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，依據(jù)定義即可判斷.【詳解】解：在 3.14159,15，兀，聒,0.1313313331（每2個1之間依次多一個 3）中，無理數(shù)有 15、兀、0.1313313331（每2

54、個1之間依次多一個 3）這3個，故選：C.【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方開不盡的數(shù)；以及像 0.1010010001，等有這樣規(guī)律的數(shù).7D. 5 或一324.已知關(guān)于x的方程mx+3=2 （ m - x）的解滿足（x+3） 2=4,則m的值是（）A.或-1B. 1 或-1C.一或一333解析：A【解析】先求出方程的解，把 x的值代入方程得出關(guān)于 m的方程，求出方程的解即可. 【詳解】解：（x+3） 2 = 4, x - 3 = Z解得：x=5或1,把 x= 5 代入方程 mx+3 = 2 (m-x)得：5m+3= 2 (m-5),解得：m= 3 ,m+3 = 2