高三數(shù)學(xué)球習(xí)題精選精講

1、球面距離的計(jì)算經(jīng)典范例.位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例i已知幺,b兩地都位于北緯4yl，又分別位于東經(jīng)30和,設(shè)地球半徑為&,求工，b的球面距離.分析：要求兩點(diǎn) A，B的球面距離，過(guò)B作大圓，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵要求圓心角 UOB 的大?。ㄒ?jiàn)圖1）,而要求UOB 往往首先要求弦,AB的長(zhǎng)，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離.解 作出直觀圖（見(jiàn)圖2）,設(shè)。為球心，q為北緯45”圈的圓心，連結(jié)OA， OB ,限，陰 ,AB -由于地軸 *i平 面 aq*.：/。幺0與NOB。1為緯度4：,乙為二面角從。方的平面角.2aB = 6J3（r=3Cr （經(jīng)度差）.- 門M門O.A = OA

2、 cosZCMO. = R cos45=中，11 出中,由余弦定理，AB2= & # + q爐-2。4 0B COE 乙4aB-2AAcos30二, 中，由余弦定理:3 叱 aoba。即一助二二2OAOB2T._2-拈 02 R -2十出2R24成 7 n21=一岷. AB的球面距離約為18060.2.位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2求東經(jīng)57線上，緯度分別為北緯 6爐和野的兩地幺，B的球面距離.（設(shè)地球半徑為於）.（見(jiàn)圖3）O解 經(jīng)過(guò)乂 S兩地的大圓就是已知經(jīng)線. 30kR 獻(xiàn)？40h6-3到，=3.位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3 R地位于北緯jO,東經(jīng)60 , B地位于北緯日）

3、，東經(jīng)90，求乂，B兩地之間的球面距離.（見(jiàn)圖4）R sui 60,0.8205國(guó)4解 設(shè)。為球心，。1,(%分別為北緯?；和北緯6?！比Φ膱A心，連結(jié) Ok, OB, AB.Rt 中，由緯度為30知/。力。1 =兜，Op = Oj4sin ZCWO1 = /Jsin 3OB = R2 ,球面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用080. =6。AOOAOAORco =號(hào)op2 = oo2-oo1 = r-r = 22L乖 1R -2、J/?一 五-。30”注意到與是異面直線，它們的公垂線為。102,所成的角為經(jīng)度差6(T =31，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式. hb =oN+o+。&-2014&%州口( &

4、為經(jīng)度差)40% 客20405R2 +箝-2%OA2 + OB2 - AS cosZAOB =AB的球面距離約為180球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這段弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離，常見(jiàn)問(wèn)題是求地球上兩點(diǎn)的球面距離。對(duì)于地球上過(guò)A B兩點(diǎn)大圓的劣弧長(zhǎng)由球心角 AOB的大小確定，一般地是先求弦長(zhǎng)AB,然后在等腰 AOB中求/AOB下面我們運(yùn)用坐標(biāo)法來(lái)推導(dǎo)地球上兩點(diǎn)球面距離的一個(gè)公式。地球球面上的點(diǎn)的位置由經(jīng)度、緯度確定，我們引入有向角度概念與經(jīng)度、緯度記法：規(guī)定東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)；北緯為正，南緯為負(fù)(如西經(jīng)300為經(jīng)度a =-300,南緯400為緯度0

5、 =-400 ),這樣簡(jiǎn)單自然，記球面上一點(diǎn)A的球面坐標(biāo)為 A (經(jīng)度a ,緯度0 ),兩標(biāo)定點(diǎn)，清晰直觀。設(shè)地球半徑為 R,球面上兩點(diǎn) A B的球面坐標(biāo)為 A(ai, 0i), B ( a 2, 02), a、a 2 -無(wú)，無(wú),01、026 -,，如圖，設(shè)過(guò)地球O的球面上A處的經(jīng)線與赤道交于 C點(diǎn)，過(guò)B的經(jīng)線與赤道交于 D點(diǎn)。設(shè)地球半徑為 R; /AOC=3 i, / BOD書(shū)2, / DOC= = a i- a 2另外，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線為X軸，地軸所在直線 ON為Z軸建立坐標(biāo)系O-XYZ (如圖)。則A (Rcos 0 i,0,Rsin 0 i) ,B(Rcos 0 2cos (

6、 a i- a 2) ,Rcos 0 2sin ( a i- a 2) ,Rsin 0 2)cos Z AOB =cosOA OB =cos 0 icos 0 2cos ( a i- a 2) +sin 0 isin 0 2/AOB=arcoscos 0 icos 0 2cos ( a i- a 2) +sin 0 isin 0 2其中反余弦的單位為弧度。于是由弧長(zhǎng)公式，得 地球上兩點(diǎn) 球面距離公式：AB =R arcoscos 0 icos 0 2cos ( a i- a 2) +sin 0 isin p 2上述公式推導(dǎo)中只需寫出A, B兩點(diǎn)的球面坐標(biāo)，運(yùn)用向量的夾角公式、弧長(zhǎng)公式就能得出結(jié)

7、論，簡(jiǎn)單明了，易于理解，公式特征明顯.從公式的推導(dǎo)中我們體會(huì)到坐標(biāo)法在解決立幾問(wèn)題的不凡表現(xiàn)。由公式(I )知，求地球上兩點(diǎn)的球面距離，不需求弦AB,只需兩點(diǎn)的經(jīng)緯度即可。公式對(duì)求地球上任意兩點(diǎn)球面距離都適用，特別地，A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度或緯度相同時(shí)，有：i、0 i= 0 2= 0 ,則球面距離公式為：2、.2AB =R，arcoscos p cos ( a i-a 2) +sin p (II )2、a i- a 2= a ,則球面距離公式為：AB =R- arcos (cos 0 icos 0 2+sin pisin 0 2)=R- arcoscos (0i-02)(ill ), 一 H .一例

8、i、設(shè)地球半徑為R,地或上A、B兩點(diǎn)都在北緯45o的緯線上，A B兩點(diǎn)的球面距離是一R,A在東經(jīng)20o,求B點(diǎn)的位置。分析：a i=20o, 0i=02=45o,由公式(II )得：R= R - arcoscos 245 0cos (20o- a 2) +sin 245o3cos = cos ( 200- a 2) + 3 22cos (200- a 2) =0, 20 0- a 2= 900即：a 2=ii0o或 a 2=-70 0所以B點(diǎn)在北緯45o,東經(jīng)ii0o或西經(jīng)700i. 一個(gè)球的內(nèi)接正方體(正方體的頂點(diǎn)都在球面上)的表面積為6,則球的體積為 .由已知得正方體棱長(zhǎng)為i ,因球的直徑

9、等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，所以直徑2r = J3 , r 3 .球體積I22.在赤道上,東徑140與西徑130的海面上有兩點(diǎn) A、B, A、B的球面距離是（設(shè)地球半徑為R）.O, A、B 在赤道這個(gè)大圓上，/AOB= (180 140 ) + (180 130 ) = 90 ,A、B的球面距離為3.設(shè)正方體的全面積為24cm2,一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是（a. 4 兀cm33B.3二 cm323C.gm324. 3a.由正萬(wàn)體全面積為 24cm ,則棱長(zhǎng)為2cm,內(nèi)切于正方體的球的直徑為 2cm,則球的半徑為1,其體積為一冗-134. 一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，其棱長(zhǎng)為2cm,則球

10、的表面積為（）.2A- 8ncm2B . 12 二 cm2c. 16二 cm2d . 20 二 cm.B.球的直徑與正方體的對(duì)角線長(zhǎng)相等，：2R = 3 2,R = J3 ,球表面積 S = 4兀(V3)2二12兀(cm2).5.設(shè)地球半徑為 R,在北緯60。圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是R R ，、一， r,則這兩地的球面距離是（2).- R5J2R3R4.B.如圖答9-70,設(shè)北緯60圈的圓心為 O,球心為O,則 O A =O B = R cos60-R則/AOB =_2=兀，.1R2 AOB是正三角形，：A、B在緯度圈上的弧長(zhǎng)為A、O、B 三點(diǎn)共線，:OA=OB,冗/AOB=一

11、, 36. 一個(gè)正方體的內(nèi)切球與它的外接球的體積比是（). 冗一A、B的球面距離等于 一 R .a. 1 ： 331 ： 242.A.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則其內(nèi)切球半徑為a,外接球半徑為3a ,二球體積比為4/a331=1: 3,3.(3)37.球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB = BC = 2cm, AC=242cm,球心O到截面ABC的距離等于球半徑的一半，求球的體積.O1是a、b、C是球面上三點(diǎn)，：oa = ob=oc.設(shè)截面圓圓心為 O1,則OO1，平面ABC,01A=O1B = O1c , ABC的外接圓圓心.AB = BC=2, AC=2j2,AB2+BC2=AC2,/ABC 是直角

12、.在 AO1O 中，NOO1A = 90*, 01A =&，OO1 =R,oa=r,.有(V2)22球體積V=4W* 3327冗(cm3).8.半徑為1的球面上有三點(diǎn) A、B、C,其中兀 A和B、A和C的球面距離為 一，B和C的球面距離為上，求球心到平面ABC的距離. 33.設(shè)球心為O,由球面距離的定義可知ZAOB = , ZAOC = , /BOC =一OAXOB,OA OC,0A,平面B0C.三棱錐0ABC的體積V12在 ABC中,1AC = 2 , BC = 1,取 BC 中點(diǎn) M,則 AMXBC, MB = 2AM設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為h 5 -VOUBC =VA_B0O12 TO

13、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark69 o Current Document ,321-21h =.即點(diǎn)0到平面ABC的距離為 -777球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r = v R2 -d2 ,(計(jì)算公式)(3)球的截面是圓面：球的大圓：球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓。9.已知倒立的圓錐形容器的軸截面是一個(gè)等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半經(jīng)為 球后水面的高度。r的一個(gè)球，此時(shí)，水面恰好與球相切，求取出解：如圖所示,圓錐軸截面為正三角形ABP,設(shè)球心為O, PC為圓錐的高，取出球后，水面為 EF,其高度為PH,連結(jié)OC、OA。V球=4

14、叫3。. V球=4取3 ,33則 OC=r, OA=2r, AB = 23r, PC =3r VP“BC = 1nBC2 PC = 3叮3 3、，、，、，5萬(wàn)3PH 3V錐p_efV錐 P -EF - V錐PABC -5求 一- 又,:3 3 PCV 錐P-ABC：PH3 =5 PC3 =15r3, .PH=；彳5r。故取出球后水面高為 彳5r。 9分析：要求A、B兩點(diǎn)間球面距離，要把它放到 AOB中去分析，只要求得/ AOB的度數(shù)，AB的長(zhǎng)度，就可求球面距離。解：設(shè)北緯45圈的圓心為 O,地球中心 為O,則/AOB=160 70 =90AB = R,連結(jié) AO、AB.在北緯45的緯度圈上有

15、A、B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng) 70與東經(jīng)160的經(jīng)度圈上，設(shè)地球的半徑為 R,求A、B兩點(diǎn)的球面距離。2 -/ OBO=45 , OB=R . O B = OA =R,2一 一 ,一 。111則 AO = BO = AB = R, ./AOB=60AB = - - 2nR = -nR 故 a、B 兩點(diǎn)間球面的距離為一r。633-R.已知地球的半徑為 R ,球面上& 8兩點(diǎn)都在北緯45圈上，它們的球面距離為 3, A 點(diǎn)在東經(jīng)30上，求3 點(diǎn)的位置及兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度.分析：求點(diǎn)B的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦AB的長(zhǎng)度.應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可.解：如圖

16、，設(shè)球心為 0 ,北緯450圈的中心為,-R-由兩點(diǎn)的球面距離為3 ，所以U08 = 3 , /. AOAS為等邊三角形.于是AB二R .72OlA-OlB = RAT = R由2,算，0儼=件.即4*=3又R點(diǎn)在東經(jīng)30上，故E的位置在東經(jīng)120,北緯45或者西經(jīng)60 ,北緯45 d 口062 =總范及兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧24說(shuō)明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案.自半徑為R的球面上一點(diǎn)M ,弓球的三條兩兩垂直的弦,求肱4+艦臚+M?的值.分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體

17、并與球有密切的關(guān)系， 便于將球的條件與之相聯(lián).解：以她出,MC為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐M-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng) 方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑.，麻+ M獷+2=(2即=4必.說(shuō)明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算.*例7.把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè) 球的最高點(diǎn)與桌面的距離.分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為 兩球半彳5之和2.解：

18、由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為 2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1,且三個(gè)球心到桌面的距離都為1,故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為2+迎313.個(gè)球的半徑為 R ,B 是球面上的兩個(gè)點(diǎn)，如果 A、 B 沿球面最短距離為1 _-nR,求過(guò)A、3B兩點(diǎn)的平面到球心的最大距離。cAB球面解：1=1 jiR設(shè)球心為O),上AOB = 31 R3 R要使o到平面ABO的距離最長(zhǎng)(O為過(guò)AB的圓的圓心)，只須過(guò)A、B的小圓最小，即 AB=2r丁 在AOOB中,D 二則 OO = OBcos30JOB = R.3R即所求最大距離為R2A30O14.設(shè)A、B是地

19、球北緯600圈上兩點(diǎn)，點(diǎn) A、B的經(jīng)度分別是東經(jīng) 40o和西經(jīng)20,求A、B兩點(diǎn)的球面距離。解：設(shè)O為北緯600圈所在圓圓心，r為半徑，地球半徑為 R;在AAOO中，/AOO = 90，AO = R, /AOO=30口1 _1 _=0 A = r= 2r 又丫/aOB=40口+20口 =60 二 AB =r=3 R, 一 一 . 1二在 MOB 中,NAOB = 2 arcsin 一41 于是AB球面=2Rarcsin 4小結(jié)：1。在小圓中求AB的長(zhǎng) 2。解三角形AOB,求/AOB 3“用弧長(zhǎng)公式lR8,求AB球面15.求棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球的體積。解：設(shè)正四面體 ABCD高為AO =h內(nèi)

20、切球心為 O,半徑為r則OB=2 ma =a 在Rt4AOB中，AO = V AB2 - BO2 = Ja2 - ( a)2 = a 32333Vabcd =4 . Vo-BCD- 141.6即 Sh S , r = r h = a33412二v內(nèi)切球436 二 3= ra HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 3216注：正四面體外接球與內(nèi)切球半徑之比為 3: 1。16.在球面上有四個(gè)點(diǎn) P、A、B、C,若PA、PB、PC兩兩垂直，且 PA=PB=PC=a,求這個(gè)球的體積和表面積。 解：設(shè)過(guò)P、A、B三點(diǎn)的圓為圓Oi【關(guān)于“球”的常見(jiàn)問(wèn)題】忌問(wèn)題

21、： 地球半徑為 R, A、B兩地都在北緯45線上，且 A B的球面距離為 3 ,求A、B兩地經(jīng)度的差. AOB解答：分析：如圖，O為球心，O為北緯45小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得/ AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求彳|線段 AB的長(zhǎng)，在 中，/AOB的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差. 成 TOC o 1-5 h z 解 設(shè)O是北緯45圈的中心，丁 A B都在此圈上，iA= QB= 2 RA B的球面距離為3 ,nRIVKii/AOBR=R =3, AO時(shí)等邊三角形.AB=R,在 AOB 中，.OiA2+OB2=2 R2+2R = R=A氏：/ AOB=90 .B兩地的經(jīng)度差是 90 .評(píng)析：注意

22、搞清緯度和經(jīng)度的問(wèn)題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問(wèn)題問(wèn)題：已知圓錐的母親長(zhǎng)為l ,母線對(duì)圓錐底面的傾角為 0 ,在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方 體的體積.解答:解 設(shè)球半徑為R,以內(nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接 OA ZOAD= 2 , R= OD= AD- tan 2 ,VA = l,AD = Icos 8 , ：R=873Icos 0 tan 2，又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 x,則 3x2=EG2=4R,x= R R.：V 正方體=9 (lcos 0 tan 2 )3.問(wèn)題：如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PRPC,(1)求證：PA+PB+PC為定值；(2)求三棱錐P ABC勺體積的最大值.解答：分析：先選其中兩條弦PAPB,設(shè)其確定的平面截球得。1, AB是。1的直徑，連PO并延長(zhǎng)交。1于D,PADB1矩形，PC2=AB?=PA+PB,然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了 .解 (1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得。1, ,PALPB二.AB是。0 1的直徑，連 PO并延長(zhǎng)交。0 1于D,則PADB1矩形，PEpA+pB.設(shè)O為球心，則OOL平面00 1, PCLQ 0 1平面，：OO/PC因此過(guò) PC PD的平面經(jīng)過(guò)球心 O,截球得大圓，又 PCL PD.：CD