高等數(shù)學上冊D6-2幾何應用

1、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充)三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積第二節(jié)一、 平面圖形的面積二、 平面曲線的弧長 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在幾何學上的應用 第六章 一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形設(shè)曲線與直線及 x 軸所圍曲則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 例1. 計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積 . 解: 由得交點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計算拋物線與直線的面積 . 解: 由得交點所圍圖形為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求橢圓解: 利用對稱性 ,

2、 所圍圖形的面積 . 有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當 a = b 時得圓面積公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 求由擺線的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應 從 0 變例5. 計算阿基米德螺線解:點擊圖片任意處播放開始或暫停機動 目錄 上

3、頁 下頁 返回 結(jié)束 到 2 所圍圖形面積 . 例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解:(利用對稱性)心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停 尖點: 面積: 弧長:參數(shù)的幾何意義例7. 計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解: 利用對稱性 ,所求面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例8. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解: 利用對稱性 ,則所求面積為思考: 用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案:二、平面曲線的弧長定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當折線段的最大邊長 0 時,折線的長度趨

4、向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱此曲線弧為可求長的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長(P168)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分) :(自己驗證)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解:機動 目錄 上頁

5、 下頁 返回 結(jié)束 下垂懸鏈線方程為例10. 求連續(xù)曲線段解:的弧長.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例11. 計算擺線一拱的弧長 .解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例12. 求阿基米德螺線相應于 02一段的弧長 . 解:(P349 公式39)小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), 則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上連續(xù),特別 , 當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有機動 目錄 上頁 下頁 返回

6、結(jié)束 例13. 計算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解: 方法1 利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法2 利用橢圓參數(shù)方程則特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例14. 計算擺線的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限 !注注 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分注(利用“偶倍奇零”)柱殼體積說明: 柱面面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

7、束 偶函數(shù)奇函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例15. 設(shè)在 x0 時為連續(xù)的非負函數(shù), 且 形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:證:利用柱殼法則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故例16. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 垂直 x 軸的截面是橢圓例17. 計算由

8、曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當 a = b = c 時就是球體體積 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的體積.例18. 求曲線與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解: 利用對稱性 ,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充)設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 側(cè)面積元素的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 機動 目錄 上頁

9、下頁 返回 結(jié)束 注意:側(cè)面積為例19. 計算圓x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解: 對曲線弧應用公式得當球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例20. 求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解: 利用對稱性繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 星形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針

10、方向確定直角坐標方程注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標系下 ds 的表達式)繞 y 軸 :(柱殼法)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示: 交點為弧線段部分直線段部分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓繞 x 軸上半圓為下求體積 :提示:方法1 利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

11、旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .方法2 用柱殼法說明: 上式可變形為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). 求側(cè)面積 :利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 作業(yè) P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面積及弧長部分： 體積及表面積部分：P279 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18補充題: 設(shè)有曲線 過原點作其切線 , 求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.備用題解：1. 求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又故在區(qū)域分析曲線特點2. 解:與 x 軸所圍面積由圖形的對稱性 ,也合于所求. 為何值