高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08 證明不等式問題（解析版）

1、專題08 證明不等式問題 【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）題型三：分析法題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友題型六：放縮法題型七：虛設(shè)零點(diǎn)題型八：同構(gòu)法題型九：泰勒展式和拉

2、格朗日中值定理題型十：分段分析法、主元法、估算法題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題題型十三：三角函數(shù)【典例例題】題型一：直接法例1已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，【解答】解：（1），因，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)

3、在內(nèi)的最小值為，欲證不等式成立，即證，即證，因，所以只需證，令，則，所以，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞減，（1），又因，即所以，即當(dāng)時(shí)，成立，綜上，當(dāng)時(shí)，例2設(shè)函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時(shí)，證明：【解答】解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）證明：當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞減，故（1），則，故例3已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，證明：【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由解得，由

4、解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）證明：令，則，（1），再令，則，當(dāng)時(shí)，即，在，上單調(diào)遞增，（1）（1），（1），在，上單調(diào)遞增，（1），綜上可知，題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例4已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（）求實(shí)數(shù)的值；（）求證：當(dāng)時(shí)，【解答】（）解：，依題意（1）（1），；（）證明：由，得，令，則，時(shí)，遞減；時(shí)，遞增時(shí)，（1），即，綜上所述，時(shí)，例5已知（1）若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，【解答】解：（1）不等式恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，得在，上單調(diào)遞增，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞減，

5、與矛盾，不合題意綜上所述，；證明：（2）令，在上單調(diào)遞增，且（1），（2），存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，由，得，上式“”不成立，即例6已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為，求證：【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋栽邳c(diǎn)，處的切線方程為證明：（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，故，所以在上單調(diào)遞增此時(shí)無極大值當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，其中，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增此時(shí)函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)為，且，又因?yàn)椋?，所以，記，則，所以單調(diào)遞增，即例7已知

6、函數(shù)（1）判斷的單調(diào)性，并說明理由；（2）若數(shù)列滿足，求證：對(duì)任意，【解答】（1）解：，令，在上遞增，在上單調(diào)遞增（2）證明：由，要證，只需證，即證：，先證左邊：，令證，即證，令，在上遞增，得證再證右邊：，即證，令，在上遞減，也得證綜上：對(duì)，題型三：分析法例8已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（）；（）【解答】證明：（），恒成立，在上單調(diào)遞增，（2），又，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)（），令，一方面，在單調(diào)遞增，另一方面，當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（1），（1），在單調(diào)遞減，綜上，要證明，只需證，由得只需證，只需證，只需證，即證，例9

7、已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（參考數(shù)值：【解答】證明：（），在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，（a），所以存在，使得，故，在上單調(diào)遞減；，在，上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，故由零點(diǎn)存在定理，在，上有唯一零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)（）由（）得：在，上單調(diào)遞增，且，故要證：，只要證（a），即證：在時(shí)恒成立，設(shè)（a），故（a），（a），由（a），所以（a）在遞減，在遞增，（1），所以存在，使得，所以（a）在遞減，遞增，所以（a），因?yàn)椋?），故只需證明，由，所以，由二次函數(shù)的單調(diào)性，得綜上，得證例10已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是

8、自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：【解答】（）解：函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，若，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不符合題意；若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，使得，而當(dāng)時(shí)，時(shí)，故，使得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，使得，符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（）證明：，所以，即，由（）知且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只要證明：，即，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，即（1），所以成立；綜上所述，成立題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例11已知函數(shù)且（1）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：【解答】解：（1）依題意，又，解得，令，

9、解得，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：要證成立，只需證成立，令，則，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由（1）可得在上，故不等式得證例12已知函數(shù)，（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，【解答】（1）解：令，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值（1），因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：由（1）可知，恒成立，即，所以要證，只需證明成立即可，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，又，（1），因?yàn)椋瑒t，所以存在，使得，故當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，又

10、（1），所以，因此，當(dāng)時(shí)，例13已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立【解答】（）解：的定義域是，時(shí)，故，在，遞增；（）證明：當(dāng)時(shí)，而，即在，成立；當(dāng)時(shí)，在遞增，時(shí)，恒成立，在，恒成立；當(dāng)時(shí)，故，使得，在遞增，是的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，從而，在，遞減，在，恒成立；綜上，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例14已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（）當(dāng)時(shí)，求證【解答】解：（），；時(shí)，；，時(shí)，；（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；（），要證明原不等式成立，只要證明；設(shè)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，（

11、1）；原不等式成立例15已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)求證：【解答】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，可得（1），（1），解得；（2）證明：當(dāng)時(shí)，即為，即，當(dāng)時(shí)，即為，設(shè)，可得在遞增，當(dāng)時(shí)，（1），即有；當(dāng)時(shí)，（1），即有綜上可得，當(dāng)且時(shí)，都成立例16已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，若，則在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞減；（2）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得，此時(shí)，要證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，由，即，故存在使得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，

12、當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單減，在，上單增，故當(dāng)時(shí)，有最小值，成立，即得證例17已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：【解答】解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得若，單調(diào)遞增；若，單調(diào)遞減綜合上述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，解得即令令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在，使得，可得，成立題型六：放縮法例18已知函數(shù)（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，【解答】（1）解：由，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

13、當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減（2）證明：令，則當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1）即，故例19已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，【解答】解：（1），當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，由解得，由解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）令當(dāng)時(shí)，欲證，即證即證，即，即證先證：設(shè)則設(shè)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)再證：設(shè)，則在上單調(diào)遞增，則，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又與兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取到，成立，即當(dāng)時(shí)，成立例20已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

14、；（2）解關(guān)于的不等式【解答】解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，?）令，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增（2）不等式，即，舍去當(dāng)時(shí)，不等式的左邊右邊，舍去，且時(shí)，由，要證不等式可以證明：等價(jià)于證明：令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1）當(dāng)時(shí)，不等式令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1）由，不等式成立綜上可得：不等式的解集為：題型七：虛設(shè)零點(diǎn)例21設(shè)函數(shù)（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【解答】解：（1）函數(shù)的定義域，當(dāng)，恒成立，沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，故只有1個(gè)零點(diǎn)；（2）令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則，故，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函

15、數(shù)取得最小值，例22設(shè)函數(shù)（）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）證明：當(dāng)時(shí)，【解答】解：（）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又（a），假設(shè)存在滿足時(shí)，且，（b），故當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，（）由（）知，可設(shè)導(dǎo)函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，由于，所以故當(dāng)時(shí)，例23已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，參考數(shù)據(jù)：，【解答】解：（1）解法，函數(shù)在遞增，得，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時(shí)，取得最小值，故，故的范圍是；解法2：由，設(shè)，則

16、，令，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時(shí)，取得最小值，函數(shù)在遞增，故，由于，則，解得：，故的范圍是；（2）證明：若，則，得，由（1）知函數(shù)在遞減，在遞增，又，（1），則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則函數(shù)在遞減，在，遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，故當(dāng)時(shí)，由，得，則，由于，則，故時(shí)，題型八：同構(gòu)法例24已知函數(shù)（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由，得，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減綜上可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證，令，則，

17、令，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，得證例25已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，證明（2）設(shè)，則，由（1）可得在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，例26已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，【解答】（1）解：，時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，若，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，若，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增（2）證明：時(shí)，要證，即證，

18、即證，令，上面不等式等價(jià)于，要證明對(duì)于任意，都成立，即證單調(diào)遞增，又，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即恒成立，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，又恒成立，故單調(diào)遞增，得證題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27已知函數(shù)，（1）若恰為的極小值點(diǎn)（）證明：；（）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，又由泰勒級(jí)數(shù)知：，證明：【解答】解：（1）證明：（）由題意得：，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以；（）由（）知：，當(dāng)時(shí)，由，得：，所以在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，若，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋凰源嬖?，滿足，當(dāng)時(shí)，在上單

19、調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；若，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減；若，則，在上單調(diào)遞減；由得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以存在使得，所以?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；（2）因?yàn)閷?duì)，兩邊求導(dǎo)得：，所以比較式中的系數(shù)，得：所以例28已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)若正實(shí)數(shù)，滿足，證明：【解答】解：（1），時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，或，故函數(shù)在，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，遞增，在，遞減

20、，（2），對(duì)，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，遞增，當(dāng)，遞減，（1），綜上，的范圍是，（3）證明：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，下先證：存在，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，使得，即存在，使得，又為增函數(shù)，即，設(shè)，則，由得，即例29英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域?yàn)椋瑫r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”，（）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不

21、存在，請(qǐng)說明理由【解答】（1）證明：由已知當(dāng)時(shí)，得，所以當(dāng)時(shí)，（2）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在，單調(diào)遞增，于是，即，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，令，則有時(shí)，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在和諧區(qū)間時(shí)，假設(shè)存在，則由知，若，則由，知，與值域是，矛盾，故不存在和諧區(qū)間，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，從而，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的和諧區(qū)

22、間，題型十：分段分析法、主元法、估算法例30設(shè)且，函數(shù)（1）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點(diǎn)，求的取值范圍【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而證明結(jié)論成立即可；（2）通過討論的范圍，結(jié)論零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定的范圍【解答】解：（1）證明：，若，則在區(qū)間至少有，兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故，令，得，其中，僅當(dāng)時(shí)，且在的左右兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)的值由正變負(fù)，故時(shí)，在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，此時(shí)，將代入得：，當(dāng)，即時(shí)，由不等式：時(shí)，知：，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，由不等式知：，由知，（2）當(dāng)時(shí)，故，由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間，上至

23、少有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，在區(qū)間上，遞增，在區(qū)間上，即遞減，即遞減，故在上遞增，在，上遞減，又，即在上，故在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意，綜上，若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是，例31已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可（2）對(duì)任意的，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，即可，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究即可【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，則，故則在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，要證明對(duì)任意的，則只需要證明對(duì)任意的，設(shè)（a），看作以為變量的

24、一次函數(shù)，要使，則，即，恒成立，恒成立，對(duì)于，令，則，設(shè)時(shí)，即，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故式成立，綜上對(duì)任意的，例32已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以=.當(dāng)時(shí),等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對(duì)任意，；當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，而，因此當(dāng)時(shí)，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的近似值為.例33已知函數(shù)（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若取，試估計(jì)的范圍（精確到0.01）試題

25、解析：（1）; = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)，解得且（i）當(dāng)，則，故時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；恒成立這與恒成立矛盾綜上所述，的取值范圍是（2）由（1）得恒成立，取，得.又由（）可知時(shí)，在時(shí)恒成立，令，解得，取，即有在上恒成立，取，得（精確到）,取.題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例34已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：【解答】解：（1）由，得，函數(shù)的零點(diǎn)，曲線在處

26、的切線方程為，（1），曲線在處的切線方程為；（2）證明：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為由（1）知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，下面證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，易知，在，上單調(diào)遞增，而，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，由得記不妨設(shè)，則，要證，只要證，即證又，只要證，即，即證令，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，例35已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：【解答】解：（1）由，得，或，所以的零點(diǎn)為1，；因?yàn)?，所以?），（e）因?yàn)椋?）（e），所以曲線線在處的切線方程為，在處的切線方程為分（2）證明：因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞減令，下面證，即

27、，記，則，所以單調(diào)遞增，且（1），故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以（1），即，同法可證，即不妨設(shè)，因?yàn)椋覟樵龊瘮?shù)，所以，由，得，同理，所以，所以，所以，分例36已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程：（2）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：【解答】解：（1），所以曲線在，處的切線方程為（2）證明：令，得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，不妨設(shè)，令，令，所以對(duì)任意，所以，即，所以，所以，所以題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題例37已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)（1）若函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）求證：【解答】解：（1）由題意則即在，上單調(diào)遞增，；（2）即證，設(shè)，在

28、，上單調(diào)遞減，；（3）利用，令，得：，累加得：，當(dāng)時(shí)，；例38證明：【解答】證明：令，當(dāng)，在，上遞增，綜上：例39已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求證：恒成立；（2）設(shè)是正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，求的最小值【解答】解：（1）令，則，當(dāng)，；時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即恒成立；所以；（2）由（1）令，可知，由不等式性質(zhì)得所以的最小值為2題型十三：三角函數(shù)例40已知函數(shù).(1)設(shè)且，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值；（2）構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)的最小值大于等于0即可.(1)，又，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所

29、以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減的最小值為；(2)不等式等價(jià)于，令，令，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以原不等式成立.例41已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：【答案】（1）1；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1），令，則等價(jià)于，對(duì)任意恒成立，令，可知當(dāng)時(shí)不恒成立；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，由最大值等于0求得值；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，即，可得，把問題轉(zhuǎn)化為證明，即證：，構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)證明即可【詳解】（1）解：，令，則等價(jià)于，對(duì)任意恒成立，令，當(dāng)時(shí)，與恒成立矛盾，不合題意；當(dāng)時(shí)，與恒成立矛盾，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增

30、，的最小值為令，則，知在上遞增，在上遞減，要使，當(dāng)且僅當(dāng)綜上，實(shí)數(shù)的值為1；（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，即，下面證明，即證：令，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，顯然，即故對(duì)一切，都有，即故原不等式成立【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題例42已知.（1）當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)，求證：.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得有一個(gè)非零實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合函數(shù)的值的變化趨勢(shì)，即可求解；（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)

31、化為，令，得到新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)闀r(shí)，解得，所以當(dāng)有一個(gè)非零實(shí)根，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，時(shí)，；時(shí)，所以或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由題意，可得，要證，即證，令，令，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式

32、同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).【過關(guān)測(cè)試】1已知函數(shù)，且(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，得到切線斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求出答案.（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，原函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中，方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)交點(diǎn)， 令， 對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即，要證，即證，由對(duì)數(shù)平均數(shù)表達(dá)式可得 ，即可得證.(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)， ，切點(diǎn)為 故切線為.(2) 由題意知，有三個(gè)實(shí)數(shù)跟，則，方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)交點(diǎn)令，當(dāng)時(shí)，故

33、在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減；作出，的圖象如圖由圖可知，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，且要證即證即證，則則 即，由對(duì)數(shù)平均數(shù)表達(dá)式可得 ， 故即可證得.2已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時(shí)，【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得方程在上有兩不等實(shí)根，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，再構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性得在單調(diào)遞增，進(jìn)而.(1)解：，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且由題意知方程在上有兩不等實(shí)根，設(shè)，其圖像的對(duì)稱軸為直線，故有 ，解得所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明：由題意知是方程的較大的根，故，由于，

34、設(shè)，在單調(diào)遞增，即成立不等式成立,證畢.3已知.(1)若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題知在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再研究函數(shù)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明即可.(1)解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，因?yàn)椋手恍?，所?2)解：由（1）知，在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，證畢.4已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求曲線在點(diǎn)處的

35、切線方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，證明即可，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求出的最小值即可(1)， ， 所以在處的切線方程為，即(2)，構(gòu)造函數(shù)，則.令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，在上遞增，于是.于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，于是，命題獲證.5已知函數(shù)， .(1)試討論f（x）的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意 ， 均有 ，求a的取值范圍；(3)求證: .【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論，說明

36、當(dāng)時(shí),符合題意；當(dāng)時(shí),不合題意，當(dāng)時(shí)令函數(shù)的最大值小于等于0，求得答案;（3）利用當(dāng) 時(shí)，即，從而，進(jìn)而，再采用累加，然后結(jié)合裂項(xiàng)求和的方法證明結(jié)論.(1) ,若 則， 在 上單調(diào)遞減；若，則由,得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在 上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),符合題意；當(dāng)時(shí),由（1）知在 上單調(diào)遞減，而 ，不合題意；當(dāng)時(shí),結(jié)合（1）得，即，得， 綜上，的取值范圍是；(3)證明：由（2）知，當(dāng) 時(shí)，即所以，所以，所以 ，即得證.6已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；(2)若對(duì)于恒成立，求正整數(shù)的最大值；(3)求證：【答案】(1)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析(2)(3)證明見解析【解析】

37、【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得出結(jié)論；（2）由恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出整數(shù)的最大值；（3）由（2）可得出，令，可得出，利用裂項(xiàng)法結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)互化可證得結(jié)論成立.(1)解：函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)在上為減函數(shù).(2)解：由恒成立，即恒成立，即，設(shè)，其中，所以，令，則，即在為增函數(shù)，又 ，即存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則，故整數(shù)的最大值為.(3)證明：由（2）知，則，其中，令，則，則，故.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原

38、則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.7已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的值域；(2)當(dāng)時(shí)，證明：【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義得到方程，求出，檢驗(yàn)得到符合題意，再求導(dǎo)得到單調(diào)性，極值，最值情況，求出值域；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出最值，結(jié)合基本不等式證明出不等式.(1)，是的極值點(diǎn)，解得:經(jīng)檢驗(yàn)符合題意函數(shù)，其定義域?yàn)樵O(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，即； 當(dāng)時(shí)，即所以在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)；因此的最小值為，的值域?yàn)?2)證明：要證，即證設(shè)，即證當(dāng)， 在上為增函數(shù)，且中，故在上有唯一實(shí)數(shù)根，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值由，得，故綜上，當(dāng)時(shí)， 即【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)的極值和最值情況，有時(shí)會(huì)用到隱零點(diǎn)和基本不等式或放縮法進(jìn)行證明.8已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的意義列方程組，即可解得；（2）（i）求出導(dǎo)函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在對(duì)立即可證明；（ii）求出，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞減，即可證明；要證，即證.令，利用導(dǎo)數(shù)證明