常見特殊數(shù)列求和

1、常見特殊數(shù)列求和前n項(xiàng)和公式都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，在熟練掌握等差、等比數(shù)列求和方法的基礎(chǔ)上，還要會用其他方法求常見特殊數(shù)列的和。一、分解法有些特殊數(shù)列可以分解為基本的等差數(shù)列或等比數(shù)列，再分別求和。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark111111例1：求數(shù)列1斤，2丁,3-，n的前n項(xiàng)和S。2482nn.解：這個(gè)數(shù)列可以分解成一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列之和。11111112nS=1+2-r+3=+n=(1+2+3+n)+(+-；+n2482n24n(n,1),1)2+1-二、錯(cuò)位相減法有些數(shù)列可以把原數(shù)列的前n項(xiàng)分別乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)囊驍?shù)作出一個(gè)輔助數(shù)列，它與

2、原數(shù)列相減，從而得到S所滿足的一個(gè)關(guān)系式，然后解出S。nn123n例2：求數(shù)列.，c的前n項(xiàng)和S。222232nn123n-1n解：S=+-+1作輔助數(shù)列：上式兩邊同時(shí)乘以21123n-1nS=+2n2223242n2n,1S=2-n12n-1于是-，得112132nn-1nSS=+(一）+(-)+(-)n2n2222223232n2n2n,1111111nS=+一+一+2n22223242n2n,11111-22nn1n=-=11-12n,12n2n,1評注：設(shè)a1，a2，a3，a組成等差數(shù)列，b,b2，b3，b組成等比數(shù)列，那么求TOC o 1-5 h zn123naaaaS=+2+d,+

3、t*或S=a1b1+a2b2+a3b3+ab都可以考慮用錯(cuò)位相減法求和,nbbbb112233nn123n第1頁共3頁第 頁共3頁一般是在原式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，作輔助數(shù)列，然后兩式錯(cuò)位相減。這種方法主要來源于等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)。三、裂項(xiàng)法把數(shù)列的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)的差，拆分后的相鄰兩項(xiàng)能夠相消去，這樣所得的結(jié)果只剩下首末兩項(xiàng)，再化簡就是數(shù)列的和。11例3：求數(shù)列帀，23134一右一祜的前n項(xiàng)和Snm+1n解：1、n(n+1,第 #頁共3頁第 #頁共3頁111丄丄丄S=+n122334n1111nn+1111=1-+-+223341n+1n+1第 #頁共3頁第 #頁共3頁評注：凡屬a

4、aa12k，(其aaa23k+1aaann+1n+k1第 #頁共3頁一般都可以用“裂項(xiàng)法”求解。中a,a2,a3，a組成等差數(shù)列)。這種形式的數(shù)列,123n四、累加法在推導(dǎo)自然數(shù)的n次幕的和的公式時(shí)，常用累加法。例4：求數(shù)列12,22,32,，n2的前n項(xiàng)和S。n解：(n+1)3=n3+3n2+3n+1.*.(n+1)3-n3=3n2+3n+1第 #頁共3頁第 #頁共3頁.23-13=3X12+3X1+133-23=3X22+3X2+1第 #頁共3頁第 頁共3頁43-33=3X32+3X3+1n+1)3-n3=3n2+3n+1把上面各等式兩邊分別相加，得(n+1)3-13=3(12+22+32+n2)+3(1+23+n)+n.3(12+22+32+n2)=(n+1)3-13-3X-n=n(n+1)(2n+1)26S=n(n+1,(2n+1)n6事實(shí)上,累加法和裂相法從思路上說都是利用交叉相消的方法求出這類數(shù)列的和。特殊數(shù)列求和沒有一般規(guī)律可循,除上面介紹的四種方法以外,還有一些數(shù)列求和的特殊技巧,舉例如下：例5：求S=7+77+777+7777n解：7S=(9+99+999+9999)n97=9【(10-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)7=9(10+102+103+10n)-n=97101-10J-n1-1