機器人運動分析中的矩陣變換

1、機器人工程(gngchng)及應(yīng)用1共五十三頁雅可比矩陣的定義微分運動(yndng)與廣義速度雅可比矩陣的構(gòu)造法PUMA560機器人的雅可比矩陣逆雅可比矩陣力雅可比矩陣第四講：微分(wi fn)運動和雅可比矩陣共五十三頁 上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機器人各連桿間的位移關(guān)系，建立了機器人的運動學(xué)方程，研究了運動學(xué)逆解，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。 本章將在位移分析的基礎(chǔ)上，進行速度分析，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度線性映射關(guān)系，同時(tngsh)也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系

2、。共五十三頁4.1 雅可比矩陣的定義 把機器人關(guān)節(jié)(gunji)速度向量 定義為： 式中， 為連桿i相對i-1的角速度或線速度。共五十三頁手抓在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量(xingling)為： 式中， v為線速度，為角速度分量。共五十三頁 從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱為(chn wi)雅可比矩陣，記為J，即： 4-3共五十三頁 在數(shù)學(xué)上，機器人終端(zhn dun)手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成： 上式對時間求導(dǎo)，有：4-5共五十三頁 對照(duzho)式4-3和式4-5，可知： 共五十三頁 在機器人學(xué)中，J是一個把關(guān)節(jié)速度向量 變換為手爪相對基坐標(biāo)的廣義速度向量的變換矩陣

3、。在三維空間運行(ynxng)的機器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個)；列數(shù)則為機械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。 對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量 均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。共五十三頁 對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維空間運行的機器人運動學(xué)方程，可以獲得(hud)直角坐標(biāo)位置向量 的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 的一般表達式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉(zhuǎn)角來描述方位繞直角坐標(biāo)軸的連續(xù)角運動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關(guān)，故一般不能運用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構(gòu)造性方

4、法求雅可比J。共五十三頁4.2 微分(wi fn)運動與廣義速度 剛體或坐標(biāo)系的微分運動包括微分移動矢量d和微分轉(zhuǎn)動矢量 。前者由沿三個坐標(biāo)軸的微分移動組成，后者由繞三個坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動組成，即 或 或共五十三頁剛體或坐標(biāo)系的微分(wi fn)運動矢量剛體(gngt)或坐標(biāo)系的廣義速度共五十三頁簡寫(jinxi)為：共五十三頁其中(qzhng)，R是旋轉(zhuǎn)矩陣S(P)為矢量P的反對(fndu)稱矩陣S(P)矩陣具有以下性質(zhì)：共五十三頁相應(yīng)的，廣義速度V的坐標(biāo)(zubio)變換為：任意兩坐標(biāo)(zubio)系A(chǔ)和B之間廣義速度的坐標(biāo)(zubio)變換為：共五十三頁4.3 雅可比矩陣的構(gòu)造法 構(gòu)造雅可

5、比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運動(yndng)轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即： 共五十三頁 對于有n個關(guān)節(jié)的機器人，其雅可比矩陣(j zhn)J(q) 是6n階矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度v的傳遞比，后三行稱為方位矩陣，代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度 對手爪的角速度的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即： 式中，Jli和Jai分別表示關(guān)節(jié)i的單位關(guān)節(jié)速度引起手爪的線速度和角速度。 共五十三頁雅可比矩陣的求解(qi ji)（矢量積法）：Jli的求法：(1) 第i關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時僅平移(pn y)關(guān)節(jié)

6、產(chǎn)生的線速度共五十三頁設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)(gunji)運動、其余的關(guān)節(jié)(gunji)靜止不動，則： 設(shè)bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標(biāo)下的平移速度(sd)di轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)坐標(biāo)下的速度(sd)：由于所以共五十三頁 (2)第i個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(zhun dng)關(guān)節(jié)時， 設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)運動，其余的關(guān)節(jié)靜止不動，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)中去僅旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)產(chǎn)生(chnshng)的線速度共五十三頁矢量 起于Oi-1，止于On，所以(suy)由i產(chǎn)生的線速度為:共五十三頁由于(yuy)所以(suy)共五十三頁雅可比矩陣(j zhn)的求解：Jai的求法：第i關(guān)節(jié)為移動

7、關(guān)節(jié)時由于關(guān)節(jié)移動的平移不對手部產(chǎn)生角速度，所以此時(2) 第i關(guān)節(jié)(gunji)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(gunji)時，所以共五十三頁當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)(gunji)為移動關(guān)節(jié)(gunji)時當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)(gunji)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(gunji)時共五十三頁確定(qudng)1、用b表示(biosh)zi-1軸上的單位向量把它轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，即為共五十三頁 如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示(biosh)基礎(chǔ)坐標(biāo)系、i-1號坐標(biāo)及手部坐標(biāo)系的原點。用矢量x表示(biosh)在各自坐標(biāo)系中的原點。把用齊次坐標(biāo)(zubio)表示共五十三頁有上式可以(ky)確定共五十三頁例2-6：建立(jinl)右圖的雅可比矩陣

8、共五十三頁共五十三頁機械(jxi)臂末端的速度為共五十三頁微分(wi fn)變換法 對于(duy)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié) 共五十三頁對于(duy)移動關(guān)節(jié) 共五十三頁對于(duy)移動關(guān)節(jié) 對于(duy)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié) 共五十三頁例：PUMA560的6個關(guān)節(jié)(gunji)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(gunji)，其雅可比有6列。此處用矢量積法計算J(q)共五十三頁共五十三頁共五十三頁共五十三頁例：斯坦福六自由度機器人除第三關(guān)節(jié)(gunji)為移動關(guān)節(jié)(gunji)外，其余5個關(guān)節(jié)(gunji)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(gunji)。此處用微分法計算TJ(q)共五十三頁共五十三頁共五十三頁 若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出

9、相應(yīng)(xingyng)的關(guān)節(jié)速度：逆雅可比矩陣(j zhn) 上式中， 稱為逆雅可比矩陣， 為加給對應(yīng)關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。共五十三頁雅可比矩陣的應(yīng)用1、分離(fnl)速度控制 由上式可見，當(dāng)已知手端速度向量V，可通過左乘雅可比逆矩陣(j zhn)計算出機器人的關(guān)節(jié)速度向量，所以上式為運動學(xué)逆問題的速度關(guān)系式，是對機器人進行速度控制的基本關(guān)系式。共五十三頁 采用計算機控制時，把速度表示(biosh)位置增量的形式，故將上式寫為：式中,v為手部在基礎(chǔ)坐標(biāo)(zubio)下一個采樣周期的位移(線位移、角位移)； q為在同一周期內(nèi)關(guān)節(jié)變量的增量。共五十三頁 當(dāng)要求機器人沿某軌跡運動時，v為已知，

10、將它代入上式中求得關(guān)節(jié)變量增量q ，于是可確定各關(guān)節(jié)變量值，由伺服系統(tǒng)實現(xiàn)(shxin)位置控制，這就是分離速度控制原理，如下圖所示。v要求(yoqi)v實際分離速度控制原理共五十三頁雅可比矩陣(j zhn)的應(yīng)用2、在靜力分析中的應(yīng)用 有些機器人的工作需要與環(huán)境接觸，并保持(boch)一定的接觸力，如右圖所示。接觸力F可表示為一個六維力向量： 設(shè)一個驅(qū)動器只驅(qū)動一個關(guān)節(jié)，則n個關(guān)節(jié)需求n個驅(qū)動力，可組成一個n維關(guān)節(jié)力向量:共五十三頁T與F的關(guān)系(gun x)可以表示為：2-56共五十三頁 式中， 稱為機器人力雅可比，它表示在靜止平衡(pnghng)狀態(tài)下，末端廣義力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。顯

11、然，力雅可比是機器人速度雅可比的轉(zhuǎn)置。因此，機器人靜力學(xué)傳遞關(guān)系和速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)。共五十三頁共五十三頁由構(gòu)型和例2-6可得：共五十三頁共五十三頁思考題1：右圖為三自由度機械手(1)用D-H方法建立各附體坐標(biāo)系；(2)列出連桿(lin n)的D-H參數(shù)表；(3)建立運動學(xué)方程；(4)建立雅可比矩陣。圖1共五十三頁思考題2： 對圖1的三自由度機械手，取10,290，390的姿態(tài)(如圖2)，試分別求出生成手爪力FAfx,0,0T， FB0,fy,0T, FC0,0,NT的驅(qū)動(q dn)力矩A,B ,C。圖1圖2共五十三頁內(nèi)容摘要機器人工程及應(yīng)用。在三維空間運行的機器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個)。S(P)為矢量(shling)P的反對稱矩陣。相應(yīng)的，廣義速度