信號估值與檢測

1、信號估值與檢測一、信號檢測與估值理論的研究對象 信號檢測與估值理論是現(xiàn)代信息理論的一個重要分支， 是以率論與數(shù)理統(tǒng)計為工具，綜合系統(tǒng)理論與通信工程的一門學(xué)科。它為通信、雷達(dá)、聲納、自動控制等技術(shù)領(lǐng)域提供理論基礎(chǔ)。此外，它在統(tǒng)計識模、射電天文學(xué)、雷達(dá)天文學(xué)、地震學(xué)、生物物理學(xué)以及醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域里，也獲得了廣泛的應(yīng)用。 眾所同知，通信、雷達(dá)、自動控制系統(tǒng)等都是當(dāng)代重要的信息傳輸和處理系統(tǒng)，對它們的性能要求，總的說來有兩個方面。 一是要求系統(tǒng)能高效率地傳輸信息，這就是系統(tǒng)的有效性； 二是要求系統(tǒng)能可靠地傳輸信息，這就是系統(tǒng)的可靠性或抗干擾性。 使系統(tǒng)信息傳輸可靠性降低的主要原因有： 1不可避免的外部干擾

2、和內(nèi)部噪聲的影響； 2傳輸過程中攜帶信息的有用信號的畸變。 二信號檢測與估值理論發(fā)展的簡略回顧 信號檢測與估值理論是從 40 年代第二次世界大戰(zhàn)中逐步形成和發(fā)展起來的。整個40 年代是這個理論的初創(chuàng)和奠基時期。在這期間，美國科學(xué)家維納(NWiener)和蘇聯(lián)科學(xué)家柯爾莫格洛夫(AH)等作出了杰出的貢獻(xiàn)。他們將隨機(jī)過程和數(shù)理統(tǒng)計的觀點引入到通信和控制系統(tǒng)中來，揭示了信息傳輸和處理過程的統(tǒng)計本質(zhì)，建立了最佳線性濾波理論，后人稱之為維納濾波理論。 這樣，就把經(jīng)典的統(tǒng)計判決理論和統(tǒng)計估值理論與通信工程緊密結(jié)合起來，為信號檢測與估值理論奠定了基礎(chǔ)。對于當(dāng)時的傳統(tǒng)觀念來說，維納濾波理論的創(chuàng)立是一次沖擊和突

3、破。因此，在20 和 30 年代，人們在研究信息傳輸系統(tǒng)的可靠性問題時，總是習(xí)慣于把信號看成是一個確定性的過程（周期過程或瞬態(tài)過程） ，因而具有很大的局限性。第一章貝葉斯準(zhǔn)則（Bayes Criterion）：在假設(shè)Hj的先驗概率P(Hj)已知，各種判決代價因子cij給定的情況下，使平均代價C最小的準(zhǔn)則。根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則得到似然比檢驗，將似然比函數(shù)（轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)之比）(x)與最佳似然比門限（由先驗概率和判決代價因子確定）比較來判決哪種假設(shè)成立。似然比檢測有時可簡化為對數(shù)似然比檢驗。還可進(jìn)一步化簡，使判決表達(dá)式左邊的檢驗統(tǒng)計量為觀測量x的最簡函數(shù)。貝葉斯準(zhǔn)則是信號統(tǒng)計檢測理論中的通用準(zhǔn)則，對各

4、假設(shè)的先驗概率P(Hj)和各種判決的代價因子cij做某些約束，則得到它的派生準(zhǔn)則，如最小平均錯誤概率準(zhǔn)則（先驗等概時即為最大似然（ML）準(zhǔn)則），最大后驗概率（MAP）準(zhǔn)則，極小化極大準(zhǔn)則，Neyman-Pearson（N-P）準(zhǔn)則。最小平均錯誤概率準(zhǔn)則（Minimum mean probability of error criterion）：使平均錯誤概率最小的檢測準(zhǔn)則。在通信系統(tǒng)中，通常有c00=c11=0, c10=c01=1，即正確判決不付出代價，錯誤判決代價相同，此時平均代價C恰好就是平均錯誤概率Pe，貝葉斯準(zhǔn)則就轉(zhuǎn)化為其特例形式的最小平均錯誤概率準(zhǔn)則，似然比檢驗的判決門限為=P(H0

5、)/P(H1)，似然比函數(shù)仍為(x)=P(x|H1)/P(x|H0)。當(dāng)先驗等概時，=1，判決就表示為兩個似然函數(shù)P(H0), P(H1)的比較，即轉(zhuǎn)化為最大似然（Maximum Likelihood）準(zhǔn)則。最大后驗概率準(zhǔn)則（Maximum a posteriori probability (MAP) criterion）：最小平均代價的貝葉斯準(zhǔn)則在判決代價滿足c10c00=c01c11的條件下，其判決式成為P(x|H1)/P(x|H0) P(H0)P(H1)（上述最小平均錯誤概率準(zhǔn)則也即為此），最終可表示為P(H1|x) P(H0|x)，即比較后驗概率的大小，就成為最大后驗概率準(zhǔn)則。易知，最

6、小平均錯誤概率準(zhǔn)則（因而最大似然準(zhǔn)則）是MAP準(zhǔn)則的特例，也可以說，在給定的判決代價條件下，兩種準(zhǔn)則是等價的。奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則在許多情況下，信號的先驗概率和代價因子無法知道，如雷達(dá)系統(tǒng)要確定目標(biāo)出現(xiàn)與不出現(xiàn)的概率是困難的，此時無法應(yīng)用貝葉斯準(zhǔn)則，應(yīng)以檢測概率最大為準(zhǔn)則，如果用降低檢測門限的方法來提高檢測概率，但門限降低后又會使虛警概率加大，因此只能在對虛警概率加以限制的條件下，使檢測概率最大，這就是奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則。極小化極大準(zhǔn)則（Minimax Criterion）：在已經(jīng)給定代價因子cij，但先驗概率P(Hj)未知時，為避免產(chǎn)生可能過分大的代價，使極大可能代價極小化的信號檢測準(zhǔn)則。其方法是

7、，猜測一個先驗概率P1g用來確定貝葉斯準(zhǔn)則的似然比檢測門限=(P1g)，P1g的選取使得可能產(chǎn)生的極大平均代價最小。結(jié)果是，無論實際先驗概率P1為多少，極小化極大準(zhǔn)則的平均代價都等于Cminmax（貝葉斯準(zhǔn)則的最小平均代價的最大值），而不會產(chǎn)生過分大的代價。在c00=c11=0條件下，極小化極大方程為c01PM(P1g)= c10PF(P1g)，進(jìn)一步若c10=c01=1，則為PM(P1g)= PF(P1g)，即P1g的選擇使漏檢概率和虛警概率相等，此時的極小化極大代價就是平均錯誤概率PF(P1g)。最大似然估計我們已經(jīng)知道進(jìn)行貝葉斯估計要用到被估計量的后驗概率密度函數(shù)，因而必須給出先驗概率密

8、度函數(shù)和似然函數(shù)，如果對被估計參量的分布規(guī)律毫無所知，在這種情況下，可采用最大似然估計法。線性最小均方誤差如果沒有關(guān)于觀測信號矢量 x 和被估計矢量的概率密度函數(shù)先驗知識，而僅知道觀測信號矢量和被估計隨機(jī)矢量的前二階矩，即均值矢量、協(xié)方差矩陣、互協(xié)方差矩陣；在這種情況下，我們要求估計量的均方誤差最小，但限定估計量是觀測量的線性函數(shù)。 最小二乘估計 最小二乘估計由于它不需要任何先驗知識，只需要關(guān)于被估計量的觀測信號模型，就可以實現(xiàn)信號參量的估計。 最小均方誤差意義上的最佳濾波器設(shè)計需要預(yù)先知道前二階矩。然而這些統(tǒng)計信息在很多實際應(yīng)用中無法得到，我們僅能得到輸入和期望相應(yīng)信號的測量值。為了避免這個問題，我們可以：（1）如果可能的話，從可用的數(shù)據(jù)估計出需要的二階矩，從而得到最佳 MMSE濾波器的估計；（2） 通過最小化性能標(biāo)準(zhǔn)，即可用數(shù)據(jù)的函數(shù)，而設(shè)計最佳濾波器。 總結(jié)：知道各假設(shè)的先驗概率P(Hj)，并對每種可能判決給定了代價因子cij的條件下，用貝