高等數(shù)學(xué)第12章：無窮級數(shù)課件

1、第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一、無窮級數(shù)的概念二、無窮級數(shù)的性質(zhì)第1頁，共74頁。定義1 若有一個無窮數(shù)列 u1，u2，u3，un，此無窮數(shù)列構(gòu)成下列表達式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)稱以上表達式為(常數(shù)項)無窮級數(shù)，簡稱(常數(shù)項)級數(shù)，記為其中第n項un叫作級數(shù)的一般項或通項. 一、無窮級數(shù)的概念第2頁，共74頁。級數(shù)(1)的前n項相加得到它的前n項和，記作Sn.即：第3頁，共74頁。第4頁，共74頁。 我們以級數(shù)的前n項和作為研究無窮多項和的基礎(chǔ).由級數(shù)(1)的前n項和，容易寫出：第5頁，共74頁。定義2 如果級數(shù) 部分和數(shù)列 有極限s，即則稱無窮級數(shù) 收斂.s稱為

2、此級數(shù)的和.且有若 無極限，則稱無窮級數(shù) 發(fā)散.注意:稱為級數(shù)的余項， 為 代替s所產(chǎn)生的誤差 .第6頁，共74頁。第7頁，共74頁。 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1 若級數(shù) 收斂于和s，則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù) 也收斂，且其和為ks.第8頁，共74頁。性質(zhì)2 如果級數(shù) 、 分別收斂于即第9頁，共74頁。性質(zhì)3 在級數(shù)前面加上或去掉有限項，不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4 如果級數(shù) 收斂，則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變.第10頁，共74頁。注意：發(fā)散級數(shù)加括號后有可能收斂，即加括號后級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂.推論：如果加括號以后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散.第11

3、頁，共74頁。性質(zhì)5 (收斂的必要條件)如果收斂，則它的一般項 趨于零，即級數(shù)第12頁，共74頁。結(jié)論：由此我們可得第13頁，共74頁。注意: 級數(shù)收斂的必要條件常用于級數(shù)發(fā)散 的判定.第14頁，共74頁。第二節(jié) 正項級數(shù)及其斂散性一、正項級數(shù)及其收斂的充要條件二、正項級數(shù)收斂的比較判別法三、正項級數(shù)收斂的比值判別法第15頁，共74頁。 一、正項級數(shù)及其審斂法定義 設(shè)級數(shù)的每一項都是非負數(shù),則稱此級數(shù)是 顯然,正項級數(shù)的部分和sn數(shù)列是單調(diào)增加的，即正項級數(shù).第16頁，共74頁。定理1 正項級數(shù) 收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列sn有界.第17頁，共74頁。證明:這是一個正項級數(shù)，其部分和

4、為:故sn有界，所以原級數(shù)收斂.第18頁，共74頁。定理2(比較審斂法)設(shè) 和 都是正項級數(shù)，且若級數(shù) 收斂，則級數(shù) 收斂；反之，若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 也發(fā)散. 二、正項級數(shù)收斂的比較判別法第19頁，共74頁。則有：若 發(fā)散，則 也發(fā)散;且當(dāng) 時，有 成立，則有：若 收斂，則 也收斂.推論設(shè)級數(shù) 和 是兩個正項級數(shù)，且存在自然數(shù)N，使當(dāng) 時，有（k0)成立，第20頁，共74頁。例2 判定p-級數(shù)的斂散性.常數(shù) p0.第21頁，共74頁。第22頁，共74頁。由此可得結(jié)論，p級數(shù)當(dāng) 時發(fā)散，p1時收斂.第23頁，共74頁。第24頁，共74頁。由比較判別法可知，所給級數(shù)也發(fā)散.而級數(shù)是發(fā)散的；第25

5、頁，共74頁。定理(達朗貝爾比值判別法) 設(shè) 為正項級數(shù)，如果(1)當(dāng) 時，級數(shù)收斂；(3)當(dāng) 時，級數(shù)可能收斂，可能發(fā)散.(2)當(dāng) ( )時，級數(shù)發(fā)散. 三、正項級數(shù)收斂的比值判別法第26頁，共74頁。第27頁，共74頁。第28頁，共74頁。例7 判別級數(shù)解:由比值判別法可知所給級數(shù)發(fā)散.第29頁，共74頁。此時 ，比值判別法失效，用其他方法判定;第30頁，共74頁。第三節(jié)絕對收斂與條件收斂一、交錯級數(shù)及其斂散性二、絕對收斂與條件收斂第31頁，共74頁。 一、交錯級數(shù)及其審斂法定義 正負項相間的級數(shù)，稱為交錯級數(shù).第32頁，共74頁。定理1(萊布尼茲定理)則級數(shù)收斂，且其和 ，并且其余項 的

6、絕對值:(1)級數(shù)前項大于后項，即(2)級數(shù)的通項趨于零，即 如果交錯級數(shù)第33頁，共74頁。證明:先證明前2n項的和s2n的極限存在，為此將s2n寫成兩種形式:由(1)式可知s2n是單調(diào)增加的；由(2)式可知s2n0和R20，則收斂半徑R等于R1和R2中較小的一個.第55頁，共74頁。性質(zhì)1 如果冪級數(shù) 的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2 如果冪級數(shù) 的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式第56頁，共74頁。即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，并且積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.第57頁，共74頁。性質(zhì)3 冪級數(shù) 的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(R,+R)內(nèi)

7、可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.第58頁，共74頁。第59頁，共74頁。第60頁，共74頁。第61頁，共74頁。第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)第62頁，共74頁。 一、泰勒級數(shù)定義 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)為f(x)在x0的泰勒級數(shù).當(dāng)x0=0時，泰勒級數(shù)為:稱之為f(x)的麥克勞林級數(shù).第63頁，共74頁。定理1 (泰勒中值定理)如果函數(shù)f(x)在含點x0的區(qū)間(a,b)內(nèi)，有一階直到n 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x取區(qū)間(a,b)內(nèi)的任何值時，f(x)可以按(xx0)的方冪展開為：其中：第64頁，共74頁。公式(3)稱為函數(shù)f(x)的泰勒公式，余項(4)稱為拉格朗日余項.第65頁，共74頁。定理2 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x) 的泰勒公式余項Rn(x)當(dāng) 時的極限為零，即：第66頁，共74頁。 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)(也稱麥克勞林展開式)的基本法，其一般步驟為：第67頁，共74頁。第68頁，共74頁。第69頁，共74頁。第70頁，共74頁。間接展開法 利用一些已