【高中數(shù)學(xué)競賽專題大全】 競賽專題14 數(shù)學(xué)歸納法（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）試卷

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁【高中數(shù)學(xué)競賽專題大全】 競賽專題14 數(shù)學(xué)歸納法（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、解答題1（2021全國高三競賽）已知.證明：當(dāng)時(shí)，.2（2019全國高三競賽）設(shè).證明：.3（2021全國高三競賽）數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式4（2019全國高三競賽）若為某一整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱為“代數(shù)數(shù)”.否則，稱為“超越數(shù)”，證明：（1）可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并為可數(shù)集；（2）存在超越數(shù).5（2019全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足，試求6（2019全國高三競賽）已知數(shù)列滿足， .證明：7（2019全國高三競賽）已知實(shí)數(shù)數(shù)列滿足,.其中,表示不超過實(shí)數(shù)的最

2、大整數(shù).求.8（2019全國高三競賽）給定正整數(shù)，非負(fù)整數(shù)滿足對均有，其中，表示中大于0的數(shù)的個(gè)數(shù)（規(guī)定）.試求的最大值.9（2019全國高三競賽）設(shè)為給定的正整數(shù).求所有正整數(shù)，使得存在，且恰有個(gè)不同的質(zhì)因子.10（2019全國高三競賽）設(shè)，已知個(gè)正實(shí)數(shù)，使對任意、，有，證明：11（2019全國高三競賽）已知各項(xiàng)均不小于1的數(shù)列滿足：，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）的值.12（2019全國高三競賽）數(shù)列定義如下：對任何正整數(shù)，. 證明：存在無數(shù)個(gè)的取值，使對一切正整數(shù)，有.13（2019全國高三競賽），給定，.證明：對任意、，.其中，表示與的最大公約數(shù).14（2021全國高三競賽）求所有

3、的函數(shù)，滿足，且對于所有整數(shù)，有.15（2019全國高三競賽）求證：數(shù)列的每一項(xiàng)都是整數(shù)，但都不是3的倍數(shù).16（2019全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足,.證明:對任意的, .17（2018四川高三競賽）已知數(shù)列滿足：，若對任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最大值.18（2018全國高三競賽）一束直線的每條均過xOy平面內(nèi)的拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線C交于點(diǎn)、.若的斜率為1，的斜率為，求的解析式.19（2018廣西高三競賽）設(shè)為非負(fù)數(shù)，求證：.20（2018全國高三競賽）設(shè)為正整數(shù)數(shù)列，且對任意滿足；的正整數(shù)m、n，存在正整數(shù)，使得試對每一個(gè)固定的，求的最大值21（2021全國高三競賽）給定正整數(shù)m、k，有n個(gè)

4、選手參加一次測試，該測試由m個(gè)項(xiàng)目構(gòu)成，每個(gè)項(xiàng)目完成后都會取得一個(gè)評分，沒有兩個(gè)人在一個(gè)項(xiàng)目取得相同的評分求n的最小值，使得總存在k個(gè)選手，在第j個(gè)項(xiàng)目中的k個(gè)得分要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減，22（2021全國高三競賽）已知數(shù)列滿足（1）求證：（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在求出的值；若不存在請說明理由23（2021全國高三競賽）設(shè)和為兩組復(fù)數(shù)，滿足：求證：存在數(shù)組（其中），使得24（2021全國高三競賽）已知n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為1求證：25（2021全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足.求證：.26（2021全國高三競賽）給定正整數(shù)求最大的實(shí)數(shù)使得對任意正實(shí)數(shù)恒成立，其中27（2021全國高三競賽）設(shè)n為不

5、小于3的正整數(shù)，在正n邊形中，選取一些對角線，滿足其中的任兩條對角線若在多邊形內(nèi)部相交則一定垂直問：最多可選取多少條對角線？28（2021全國高三競賽）設(shè)是整數(shù).對每個(gè)正整數(shù)，令為在進(jìn)制表示下的非零數(shù)字的個(gè)數(shù).證明：對于任意給定的正整數(shù)和，存在正整數(shù)使得.29（2021全國高三競賽）給定整數(shù).求具有下列性質(zhì)的最大常數(shù)，若實(shí)數(shù)列滿足：，則.30（2021全國高三競賽）已知數(shù)列滿足：，且對于任意正整數(shù)，均有.求證：（1）；（2）數(shù)列為單調(diào)數(shù)列.31（2021全國高三競賽）對于數(shù)列，若存在常數(shù)使得對任意正整數(shù)成立，則稱是有界數(shù)列已知數(shù)列滿足遞推式，求證：（1）若，則不是有界數(shù)列（2）若，則是有界數(shù)列

6、32（2021全國高三競賽）某個(gè)會議有若干人（至少3人）參加，現(xiàn)要將這些人分組分組前，每個(gè)人都選擇兩個(gè)人若被選擇的兩個(gè)人同組則選擇他們的人不能在這組中求最小的正整數(shù)，使無論有多少人參加，且無論每人如何選擇，都可以將他們按要求分成組33（2019全國高三競賽）在一次數(shù)學(xué)會議上，任意兩位數(shù)學(xué)家要么是朋友，要么是陌生人在進(jìn)餐期間，每位數(shù)學(xué)家在兩個(gè)大餐廳中的其中一個(gè)就餐，每位數(shù)學(xué)家所在的餐廳中包含偶數(shù)個(gè)他（或她）的朋友證明：數(shù)學(xué)家能被分到兩個(gè)餐廳中的不同分法的數(shù)目是2的正整數(shù)次幕（即形如，其中，是某個(gè)正整數(shù)）34（2019全國高三競賽）求最小的正整數(shù),使得存在一個(gè)的數(shù)陣滿足如下條件： (1)每一個(gè)數(shù)均

7、屬于集合; (2)記為數(shù)陣中第行中的數(shù)組成的集合, 為第列中的數(shù)組成的集合,則,是4026個(gè)不同的集合.35（2019全國高三競賽）已知數(shù)列滿足，給定奇質(zhì)數(shù)和正整數(shù)滿足，證明：的充分必要條件為36（2019全國高三競賽）對給定的正整數(shù)，定義表示的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的平方，當(dāng)且時(shí)，表示的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的次方，其中，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，試求的值37（2019全國高三競賽）試證：對任何正整數(shù)，存在唯一的正奇數(shù)對，使得38（2019全國高三競賽）證明:存在無窮多個(gè)棱長為正整數(shù)的長方體,其體積恰等于對角線長的平方,且該長方體的每一個(gè)表面總可以割并成兩個(gè)整邊正方形.39（2019全國高三競賽

8、）將一枚棋子放在一個(gè)的棋盤上，記為從左、上數(shù)第行第列的小方格，求所有的四元數(shù)組，使得從出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)小方格恰一次到達(dá)（每步為將棋子從一個(gè)小方格移到與之有共同邊的另一個(gè)小方格）.40（2019全國高三競賽）設(shè)為互不相等的正整數(shù)，它們的最小公倍數(shù)為.求證：.41（2019全國高三競賽）已知個(gè)實(shí)系數(shù)二次函數(shù)的判別式都相等.若對任意的，方程均有兩個(gè)不等的實(shí)根，求證：方程也有兩個(gè)不等的實(shí)根.42（2019全國高三競賽）設(shè)是定義在自然數(shù)集合上并在上取值的函數(shù),滿足:對任何兩個(gè)不相等的自然數(shù),有. (1)求;(2)假設(shè)是100個(gè)兩兩不相等的自然數(shù),求;(3)是否存在符合題設(shè)條件的函數(shù),使,證明你的結(jié)論.43（2019全國高三競賽）正整數(shù)數(shù)列滿足：，試求通項(xiàng)公式44（2019全國高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數(shù)t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點(diǎn)，使的面積不大于凸n邊形面積的.45（2019全國高三競賽）求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)列，使得，.46（2019全國高三競賽）已知，求證：對一切，均有，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立47（2018山東高三競賽）已知數(shù)列滿足：，求證：48（2018江西高三競賽）求最小的正整數(shù)，使得當(dāng)正整數(shù)點(diǎn)時(shí)，在前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中，對任意總存在另一個(gè)數(shù)且，滿足為平方數(shù)49（2018全國高三競賽）求正整數(shù)n的最大值，