初等變換與秩

1、第一章矩陣的初等變換 教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生了解矩陣十分重要的運(yùn)算矩陣的初等變換、初等方陣的概念，掌握初等變換的方法. 教學(xué)要求：理解初等變換、初等方陣的概念，熟練掌握初等變換的運(yùn)算，會(huì)用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. 教學(xué)重點(diǎn)：矩陣初等變換和初等方陣，用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形、行階梯形矩陣. 教學(xué)難點(diǎn)：用初等變換將矩陣化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的方法. 矩陣初等變換和初等方陣的關(guān)系.1引例求解線性方程組(1)(1)1233(2)2232+1+(2)1(3)2+3(3)(4)于是得3 消元過程利用三種同解變換 把方程組的上述三種同解變換移植到矩

2、陣上，就得到矩陣的三種初等變換 (1) 交換兩個(gè)方程的位置(2) 用一個(gè)非零的數(shù)乘以某個(gè)方程(3) 將一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上可逆4矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個(gè)重要的工具. 以上三種變換分別稱為矩陣的第一、第 二、第三種初等行(列)變換，通稱為初等變換 顯然,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換: (1) 對(duì)換變換 的逆變換就是其本身(2) 倍乘變換 的逆變換為(3) 倍加變換 的逆變換為5利用初等變換可以將矩陣化為梯形陣。作用例如：重要6矩陣A到梯形矩陣的變換過程和結(jié)果都不唯一 定理 設(shè)A為mn矩陣，則A必可經(jīng)過有限次初等變換化為如下形式 (*) 其中I 稱為矩陣A

3、在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形.簡(jiǎn) 稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣7 證明 若A為零矩陣，則定理顯然成立，此時(shí)r = 0.否則，必可經(jīng)過行、列的換法變換是第1行、第1列元素d 不為零.以 乘第1行，化（1，1）元為1，在經(jīng)過適當(dāng)?shù)男?、列消法變換，將矩陣化為如下形式如果bij(i=2,m;j=2, ,n)全為零，則B便是形如（*）式的矩陣（r=1）.如若不然，在B的第2m行，第2n列中進(jìn)行上述初等變換，即先使B的（2，2）元非零，化為1，再用適當(dāng)?shù)谋都幼儞Q，8將矩陣的第2行和第2列的其余非零元素都化為0，注意到這些初等變換不改變B的第1行及第1列的元素至此，已將矩陣A化為 如此繼續(xù)下去，最后必能得到一個(gè)形如（*）式的矩陣

4、.此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形I是唯一的9 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價(jià),記作A B. 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)： （1）反身性 A A（2）對(duì)稱性 若AB，則B A；（3）傳遞性 若A B，B C，則A C. 兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià).等價(jià)類：所有與A等價(jià)的矩陣組成的集合10推論:矩陣 A與 B 等價(jià)的充要條 件是A與 B有相同的標(biāo)準(zhǔn)形。 在前面例題的計(jì)算中，我們既使用了初等行變換，也是用了初等列變換.但在某些場(chǎng)合只允許使用初等行變換.例如，引例中求解方程組的過程對(duì)應(yīng)到相應(yīng)的矩陣上來，即有增廣矩陣111)行階梯形矩陣： 行階梯形矩陣的特點(diǎn)是：1 矩陣所有

5、元素全為0的行（若存在的話）都集中在矩陣的最下面2 每行左起第一非零元素（稱為首非零元）的下方元素全為0. 形象地說，可以在該矩陣中畫一條階梯線，線的下方元素全為0；每個(gè)階梯僅有一行，階梯數(shù)既是非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第1個(gè)元素即為首非零元.122) 行最簡(jiǎn)形矩陣： 行最簡(jiǎn)形矩陣的特點(diǎn)是： 非零行的首非零元為1，且這些首非零元所在的列的其它元素全為0. 一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.設(shè)A為mn矩陣，則A必可用初等行變換化為行階梯形矩陣.13矩陣的秩 秩的定義:矩陣 A 的所有不等于零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣 A 的秩.記作 r(A) .顯然:r(O)=0;只要A不是零陣,就有 r(A)0.并且:14故 r(A)=2.計(jì)算復(fù)雜例:求矩陣A的秩.15利用初等變換可以求矩陣的秩.16秩的求法定理:矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變.證:只證行變換的情形.17由此可以推出:18例:求矩陣的秩:19初等矩陣定義：對(duì)單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等行變換得到的初等矩陣分別為：第一章20對(duì)單位陣作一次列變換得到的矩陣也包括在上面的三類矩陣之中。kriri+krj21初等矩陣的性質(zhì) Pro 1. 初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩陣22Pro