初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

1、 . . 43/432014年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由2如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求MBC

2、的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)平行四邊形類3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到ABO（1）一拋

3、物線經(jīng)過點A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點P是在第一象限拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積4倍？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB的兩條性質(zhì)5如圖，拋物線y=x22x+c的頂點A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點A的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷ABD的形狀；（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由周長類6如圖，RtABO的

4、兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得PBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作BD交x軸于點N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積

5、為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由等腰三角形類7如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由8在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析

6、式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由9在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由綜合類10如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）（1）

7、求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MNy軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標(biāo)11如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條

8、件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由12如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設(shè)拋物線的頂點為D（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo)（2）試判斷BCD的形狀，并說明理由（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由對應(yīng)練習(xí)13如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（

9、4，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求ACE的最大面積與E點的坐標(biāo)14如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式與它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存

10、在，請說明理由15如圖，在坐標(biāo)系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx2的圖象過C點（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l當(dāng)l移動到何處時，恰好將ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由2014年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類2如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點M是線段B

11、C下方的拋物線上一點，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)（3）MBC的面積可由SMBC=BCh表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a42，即：a=；拋物線的解析式為：y=

12、x2x2（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC為直角三角形，AB為ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為：（，0）（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直線BC的解析式為：y=x2；設(shè)直線lBC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=0，即b=4；直線l：y=x4所以點M即直線l和拋物線

13、的唯一交點，有：，解得：即 M（2，3）過M點作MNx軸于N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=2（2+3）+2324=4平行四邊形類3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待

14、定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題；存在型分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），用P點的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計算即可；（3）由PMOB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點P、M、B

15、、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值解答：解：（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=x3；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），因為p在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，

16、當(dāng)t=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=，則SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點的橫坐標(biāo)是；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點的橫坐標(biāo)是所以P點的橫坐標(biāo)是或4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到ABO（1

17、）一拋物線經(jīng)過點A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點P是在第一象限拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積4倍？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB的兩條性質(zhì)考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A（1，0），B（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）利用S四邊形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假設(shè)四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點坐標(biāo)即可；（3）利用P點坐標(biāo)以與B點坐標(biāo)即可得出四

18、邊形PBAB為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可解答：解：（1）ABO是由ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），A（1，0），B（0，2）方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a0），拋物線經(jīng)過點A、B、B，解得：，滿足條件的拋物線的解析式為y=x2+x+2方法二：A（1，0），B（0，2），B（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2）將B（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02），解得：a=1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=（x+1）（x2）=x2+x+2；（2）P為第一象限拋物線上的一動點，設(shè)P（x，y），則x0，

19、y0，P點坐標(biāo)滿足y=x2+x+2連接PB，PO，PB，S四邊形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=x2+2x+3AO=1，BO=2，ABO面積為：12=1，假設(shè)四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，則4=x2+2x+3，即x22x+1=0，解得：x1=x2=1，此時y=12+1+2=2，即P（1，2）存在點P（1，2），使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍 （3）四邊形PBAB為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形對角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10分）或用符號表

20、示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB（10分）5如圖，拋物線y=x22x+c的頂點A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點A的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷ABD的形狀；（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題；分類討論分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標(biāo)（2）由A點坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標(biāo)則

21、AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀（3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分AB為對角線、AD為對角線兩種情況討論，即ADPB、ABPD，然后結(jié)合勾股定理以與邊長的等量關(guān)系列方程求出P點的坐標(biāo)解答：解：（1）頂點A的橫坐標(biāo)為x=1，且頂點A在y=x5上，當(dāng)x=1時，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形將A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）當(dāng)y=0時，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2

22、+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由題意知：直線y=x5交y軸于點E（0，5），交x軸于點F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF與OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G設(shè)P（x1，x15），則G（1，x15）則PG=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2或4P（2，7）或P（4，1），存在點P（2，7）或P（4，1）使以點A

23、、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形周長類6如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得PBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M

24、作BD交x軸于點N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)拋物線y=經(jīng)過點B（0，4），以與頂點在直線x=上，得出b，c即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2時，y的值即可（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時，求出y即可；（4）利用MNBD，得出OMNOBD，進而得出，得到ON=，進而表示出PMN的面積，

25、利用二次函數(shù)最值求出即可解答：解：（1）拋物線y=經(jīng)過點B（0，4）c=4，頂點在直線x=上，=，b=；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D兩點的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng)x=5時，y=，當(dāng)x=2時，y=，點C和點D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當(dāng)x=時，y=，P（），（4）MNBD，OMNOBD，即得ON=，設(shè)對稱軸交x于點F，則（PF+OM）OF=（+t），SPNF=NFPF=（t）=，S=（），=（0t4

26、），a=0拋物線開口向下，S存在最大值由SPMN=t2+t=（t）2+，當(dāng)t=時，S取最大值是，此時，點M的坐標(biāo)為（0，）等腰三角形類7如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題；分類討論分析：（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點的坐標(biāo)（2）已知O、A、B三點

27、坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出OPB三邊的邊長表達式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點解答：解：（1）如圖，過B點作BCx軸，垂足為C，則BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，點B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）拋物線過原點O和點A、B，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x（3）存在，如圖，

28、拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，y），若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=2，當(dāng)y=2時，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三點在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點P的坐標(biāo)為（2，2）若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=2，故點P的坐標(biāo)為（2，2），若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故點P的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標(biāo)為（2，2），8在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC

29、放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，過點B作BDx軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線過B點的坐標(biāo)，可得a的值，進而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案解答：解：（1）過點B

30、作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）點B的坐標(biāo)為（3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點B（3，1），則得到1=9a3a2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x2；（7分）（3）假設(shè)存在點P，使得ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）過點P1作P1Mx軸，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1

31、CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，1）；（11分）若以點A為直角頂點；則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）過點P2作P2Ny軸，同理可證AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），（14分）經(jīng)檢驗，點P1（1，1）與點P2（2，1）都在拋物線y=x2+x2上（16分）9在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是

32、否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）首先過點B作BDx軸，垂足為D，易證得BDCCOA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3）分別從以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1Mx軸，若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2Ny軸，

33、若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3Hy軸，去分析則可求得答案解答：解：（1）過點B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，點B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線y=ax2ax2過點B（3，1），1=9a3a2，解得：a=，拋物線的解析式為y=x2x2；（3）假設(shè)存在點P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP

34、1，過點P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（1，1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=x2x2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2Ny軸，如圖（2），同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2（2，1），經(jīng)檢驗P2（2，1）也在拋物線y=x2x2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3Hy軸，如圖（3），同理可證

35、AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P3（2，3），經(jīng)檢驗P3（2，3）不在拋物線y=x2x2上；故符合條件的點有P1（1，1），P2（2，1）兩點綜合類10如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MNy軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，ABN的面積為S2，且S1=6S2，

36、求點P的坐標(biāo)考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；（3）先求出ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點D作直線BC的平行線，交拋物

37、線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形證明EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為（1，0），運用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=x1，然后解方程組，即可求出點P的坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=x+5；將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x26x+5；（2）設(shè)M（x，x26x+5）（1x5），則N（x，x+5），MN=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+，當(dāng)

38、x=時，MN有最大值；（3）MN取得最大值時，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）解方程x26x+5=0，得x=1或5，A（1，0），B（5，0），AB=51=4，ABN的面積S2=42.5=5，平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BCBDBC=5，BCBD=30，BD=3過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6，B（5，0），E（1，0），設(shè)直線PQ的解析式為y=x+t，

39、將E（1，0）代入，得1+t=0，解得t=1直線PQ的解析式為y=x1解方程組，得，點P的坐標(biāo)為P1（2，3）（與點D重合）或P2（3，4）11如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)

40、網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）關(guān)鍵是證明CEQ與CDO均為等腰直角三角形；（4）如答圖所示，作點C關(guān)于直線QE的對稱點C，作點C關(guān)于x軸的對稱點C，連接CC，交OD于點F，交QE于點P，則PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的周長等于線段CC的長度利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時PCF的周長最小如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長度，即PCF周長的最小值解答：解：（1）C（0，1），OD=OC，D點坐標(biāo)為（1，0）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k0），將C（0，1），D

41、（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直線CD的解析式為：y=x+1（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2+3，將C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）證明：由題意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD為等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx軸，則點C、E關(guān)于對稱軸（直線x=2）對稱，點E的坐標(biāo)為（4，1）如答圖所示，設(shè)對稱軸（直線x=2）與CE交于點M，則M（2，1），ME=CM=QM=2，QME與QMC均為等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD為等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=OD

42、C=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答圖所示，作點C關(guān)于直線QE的對稱點C，作點C關(guān)于x軸的對稱點C，連接CC，交OD于點F，交QE于點P，則PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的周長等于線段CC的長度（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F，在線段QE上取異于點P的任一點P，連接FC，F(xiàn)P，PC由軸對稱的性質(zhì)可知，PCF的周長=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是點C，C之間的折線段，由兩點之間線段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周長大于PCE的周長）如答圖所示，連接CE，C，C關(guān)于直線QE對稱，QCE為等腰直角三角形，QCE為等腰直角三

43、角形，CEC為等腰直角三角形，點C的坐標(biāo)為（4，5）；C，C關(guān)于x軸對稱，點C的坐標(biāo)為（0，1）過點C作CNy軸于點N，則NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=綜上所述，在P點和F點移動過程中，PCF的周長存在最小值，最小值為12如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設(shè)拋物線的頂點為D（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo)（2）試判斷BCD的形狀，并說明理由（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題

44、分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用勾股定理求得BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3把點A（1，0）、點B（3，0）代入，得解得a=1，b=2拋物線的解析式為y=x22x+3y=x22x+3=（x+1）2+4頂點D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）BCD是直角三角形理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F在RtBOC

45、中，OB=3，OC=3，BC2=OB2+OC2=18在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1，CD2=DF2+CF2=2在RtBDE中，DE=4，BE=OBOE=31=2，BD2=DE2+BE2=20BC2+CD2=BD2BCD為直角三角形解法二：過點D作DFy軸于點F在RtBOC中，OB=3，OC=3OB=OCOCB=45在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1DF=CFDCF=45BCD=180DCFOCB=90BCD為直角三角形（3）BCD的三邊，=，又=，故當(dāng)P是原點O時，ACPDBC；當(dāng)AC是直角邊時，若AC與CD是對應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3a，=

46、，即=，解得：a=9，則P的坐標(biāo)是（0，9），三角形ACP不是直角三角形，則ACPCBD不成立；當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對應(yīng)邊時，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3b，則=，即=，解得：b=，故P是（0，）時，則ACPCBD一定成立；當(dāng)P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）則AP=1d，當(dāng)AC與CD是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：d=13，此時，兩個三角形不相似；當(dāng)P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）則AP=1e，當(dāng)AC與DC是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：e=9，符合條件總之，符合條件的點P的坐標(biāo)為：對應(yīng)練習(xí)13如圖，已知拋物線y=

47、ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求ACE的最大面積與E點的坐標(biāo)考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D；（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)

48、出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式=0時，ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3），解得，所以，拋物線的解析式為y=x24x+3；（2）點A、B關(guān)于對稱軸對稱，點D為AC與對稱軸的交點時BCD的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k0），則，解得，所以，直線AC的解析式為

49、y=x1，y=x24x+3=（x2）21，拋物線的對稱軸為直線x=2，當(dāng)x=2時，y=21=1，拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使BCD的周長最小；（3）如圖，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即m=時，點E到AC的距離最大，ACE的面積最大，此時x=，y=，點E的坐標(biāo)為（，），設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0），AF=1=，直線AC的解析式為y=x1，CAB=45，點F到AC的距離為=，又AC=3，ACE的最大面積=3=，此時E點坐標(biāo)為（，）14如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸

50、相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式與它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標(biāo)；令y=0，可求出點B坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；

51、（4）本問為存在型問題若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解解答：解：（1）拋物線y=x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，對稱軸方程為：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，直線BC的解析式為：y=x+4（3）可

52、判定AOCCOB成立理由如下：在AOC與COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設(shè)點Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=i）當(dāng)AQ=CQ時，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時，有=，t2=5，此方程無實數(shù)根，此時ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，點Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4）綜上所述，存在點Q，使ACQ為等腰三角形，點Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）15如圖

53、，在坐標(biāo)系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx2的圖象過C點（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l當(dāng)l移動到何處時，恰好將ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)所有專題：壓軸題分析：如解答圖所示：（1）首先構(gòu)造全等三角形AOBCDA，求出點C的坐標(biāo)；然后利用點C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)SCEF=SABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出PACB，然后證明點P在拋物線上即可解答：解：（1）如答圖1所示