利用放縮法證明數(shù)列型不等式

1、利用放縮法證明數(shù)列型不等式一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問題例1、若是自然數(shù)，求證證明： = =例2.數(shù)列，其前項(xiàng)和為，求證：解：令，的前項(xiàng)和為當(dāng)時， 例3、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 證明:對一切正整數(shù),有解 (1) 當(dāng)時, 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以. (2) 當(dāng)時,；當(dāng)時,； 當(dāng)時, 此時綜上,對一切正整數(shù),有.2.等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列，再求和，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)轉(zhuǎn)化。例4、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)）

2、 得 例5. 滿足：， ，求證：解： 又 ， 迭乘得： 例6 .設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且、成等差數(shù)列.（）求的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對一切正整數(shù)，有.解析：（）由，解得.（）由可得（），兩式相減，可得，即，即，所以數(shù)列（）是一個以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.由可得，所以，即（），當(dāng)時，也滿足該式子，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（）因?yàn)?，所以，所以，于?例7.設(shè)數(shù)列滿足求的通項(xiàng)公式；若求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和分析：（1）此時我們不妨設(shè)即與已知條件式比較系數(shù)得又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。.由（1）知. 當(dāng)時,當(dāng)n=1時，=1也適合上式，所以，故方法一：，(這步難度較大,也較關(guān)鍵,后一

3、式縮至常數(shù)不易想到.必須要有執(zhí)果索因的分析才可推測出.)、.方法二 :在數(shù)列中,簡單嘗試的方法也相當(dāng)重要.很多學(xué)生做此題時想用裂項(xiàng)相消法但是發(fā)現(xiàn)此種處理達(dá)不到目的.但是當(dāng)n3時,我們看:易驗(yàn)證當(dāng)n=1，2時 . 綜上二、放縮法的注意問題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個項(xiàng)，則縮小。2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時從第一項(xiàng)開始，有時從第三項(xiàng)，有時第三項(xiàng)，等等，即不一定是對全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：（1）根式的放縮：；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；真分?jǐn)?shù)分子分母同時減一個正數(shù)，則變大；，；假分?jǐn)?shù)分子分母同時減一個正數(shù)，則變小，如；（3）應(yīng)用基本不等式放縮：；（4）二項(xiàng)式定理放縮：如；（5）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，如：。4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過當(dāng)，是應(yīng)用放縮法