機率之測度及運算法則課件

1、集合與機率第5章第一節(jié)集合隨機的意義隨機實驗(random experiment)具有三種特性： (1)實驗可在相同條件下重複執(zhí)行。(2)所有實驗可能出現(xiàn)的結(jié)果，在事前是可以被預知的。(3)實驗未執(zhí)行，不能確知會出現(xiàn)何種結(jié)果。一隨機實驗的所有可能結(jié)果的集合，稱為樣本空間(sample space)，而單一可能的結(jié)果，即樣本空間內(nèi)的個別元素，則稱為樣本點(sample point)。 第一節(jié)集合1.列舉法指把樣本空間所有的樣本點都列舉出來 。例如投一枚硬幣的樣本空間寫作： S=正面，反面2.概述法以概括的方式描述樣本點所具有的性質(zhì)，它特別適用於樣本空間所包含的樣本點太多或為連續(xù)數(shù)值類 。電燈泡的

2、使用時間壽命：因為時間屬連續(xù)數(shù)值，有無限多個數(shù)值，無法列舉，故其樣本空間的表示法，必須採用概述法，即： S=tt0，其中t表示時間的長短第一節(jié)集合樣本空間依據(jù)樣本點的個數(shù)，可區(qū)分為有限樣本空間(finite sample space)與無限樣本空間(infinite sample space)。 樣本空間內(nèi)的樣本點，依某一特性集合在一起，稱為事件(event)。顯然，事件是樣本空間的子集合。如只含1個樣本點的事件，稱為簡單事件(simple event)；而包含2個以上樣本點的事件，稱為複合事件(compound event)。第一節(jié)集合任何樣本空間都包含兩種特殊的事件：(1)不含任何樣本點的

3、子集合，稱作空集合(null set)，以表示?？占洗頉]有事件發(fā)生，又稱為不可能事件(impossible event)。(2)樣本空間本身也是一種事件，因它包含樣本空間內(nèi)的所有樣本點，又稱全集合，表示此事件必然會發(fā)生，故又稱必然事件(sure event)。以投擲一顆骰子為例，其不可能事件寫作： =而必然事件寫作： S=1, 2, 3, 4, 5, 6第一節(jié)集合集合的運算交集的意義交集(intersection)是指A與B兩事件共同元素組成的集合，記作AB。若投擲一公正骰子，令： A=2, 3, 4、B=1, 2, 3 AB=2, 3，是交集的符號該交集的樣本點數(shù)目寫作：n(AB)=2。

4、第一節(jié)集合互斥事件當兩事件的交集為空集合（沒有任何元素的集合）時，即稱為互斥事件(mutually exclusive events)。譬如若B=1, 2, 3, C=4, 5, 6，則： BC= （空集合）該交集的樣本點數(shù)目寫作：n(BC)= n() =0。第一節(jié)集合聯(lián)集的意義聯(lián)集(union)表示屬於A事件或B事件的元素組成的集合，記作AB。 是聯(lián)集的符號若B=1, 2, 3, A=2, 3, 4，則： AB=1, 2, 3, 4（如圖深色區(qū)塊部分）A、B聯(lián)集的樣本點數(shù)目為：n(AB)=4。第一節(jié)集合餘集的意義 餘集(complement)表示在樣本空間S下，若B屬於S內(nèi)的某一事件，則不屬

5、於該事件B的所有元素組成的集合，稱為其餘集，記作 。投擲一公正骰子，令B為其一事件，則： S=1, 2, 3, 4, 5, 6 B=1, 2, 3在樣本空間S下，B事件的餘集為： =4, 5, 6（如圖深色區(qū)塊部分）第二節(jié)機率之測度及運算法則事件機率的意義和測度上一節(jié)提到，在隨機實驗之前，我們是無法預知哪一種結(jié)果必然會發(fā)生，但我們卻可計算出各個可能結(jié)果發(fā)生的機會或程度。事件機率就是用來表達事件發(fā)生的機會和程度。 事件E的機率是以符號P(E)來表示。P是probability的縮寫，代表機率函數(shù)。P(E)表示透過某種函數(shù)的運算而獲得的機率值。機率的值域在01之間，可寫作： 0 P(E) 1第二節(jié)

6、機率之測度及運算法則古典機率測度法(1)隨機實驗的樣本空間內(nèi)的所有樣本點，具有相同的出現(xiàn)機會。譬如投硬幣出現(xiàn)正面和反面的機會均等。(2)隨機實驗在相同條件下，可重複執(zhí)行，各樣本點出現(xiàn)的機會依然不變。(3)在滿足上述兩條件下，事件E發(fā)生的機率，以符號表示為：第二節(jié)機率之測度及運算法則前述的事件機率測度法有一先決的必備條件，那就是實驗前須先確定樣本空間內(nèi)所有樣本點的發(fā)生機會具有均等性。我們稱它作先驗機率(prior probability)。又因為此方法最早被提出，因此又被稱為古典機率(classical probability)。第二節(jié)機率之測度及運算法則機率的公理第二節(jié)機率之測度及運算法則所謂

7、的公理是指不論應用何種方式求出來的機率皆必須共同遵守的規(guī)則，意即機率運算的重要理論原則。依單元5-30至單元5-33，歸納出機率的公理如下：第二節(jié)機率之測度及運算法則相對次數(shù)機率測度法在討論古典機率測度法時，曾提到有一極重要的必備條件，即是樣本空間內(nèi)所有樣本點的出現(xiàn)，必須具有均等性。樣本空間內(nèi)各個樣本點的發(fā)生機會不相等時(參單元5-36)，就不適合採用古典機率測度法來計算機率。相對次數(shù)機率測度法正可用來取代古典機率測度法。第二節(jié)機率之測度及運算法則以公式表達此一定義：第二節(jié)機率之測度及運算法則相對次數(shù)機率測度法僅是求得機率的近似值，試行N的次數(shù)愈大，機率值精確度愈高。理論上，當試行N是無限大時

8、，就可保證得到完全精確的機率了。下面公式可說明此一意義。第二節(jié)機率之測度及運算法則主觀機率測度法 用主觀判斷來測度一事件發(fā)生的機率，會因個人的知識、經(jīng)驗和直覺等的不同而異，其對事件機率所下的判斷和評估是否正確，必須待事件發(fā)生之後，才能有所印證和揭曉。茲以機率符號來表示主觀機率：第二節(jié)機率之測度及運算法則應用相對次數(shù)機率測度法求事件機率在樣本空間S之下，事件E的機率為：事件E包含的樣本點個數(shù)與樣本空間樣本點總個數(shù)之比值：第二節(jié)機率之測度及運算法則應用機率運算法求事件機率任兩事件A和C聯(lián)集的機率為：若A和B兩事件為互斥，則其聯(lián)集的機率為：第三節(jié)雙維聯(lián)合機率聯(lián)合次數(shù)分配的形成對一樣本空間，依分類標準

9、X分割成r個相互排斥的部分空間，而為其任一空間（即屬一事件）；然後，再依分類標準Y，把它分割成c個相互排斥的部分空間，為其任一空間（亦屬一事件）。如是，樣本空間就被兩分類標準X和Y，聯(lián)合分割成rc個小部分空間，如表5-5所示。第三節(jié)雙維聯(lián)合機率將表5-4各空間內(nèi)之交集，轉(zhuǎn)換成樣本點數(shù)，即成為聯(lián)合次數(shù)分配表，或稱列聯(lián)表(contingency table)。 表5-5 x和y構(gòu)成的聯(lián)合次數(shù)分配表第三節(jié)雙維聯(lián)合機率雙維聯(lián)合機率所謂雙維聯(lián)合機率是指2個類別的事件同時發(fā)生的機率。對表5-6的和兩事件形成的交集（聯(lián)合事件），求其機率，即為雙維聯(lián)合機率。記作： P(xiyj), i=1, 2, r j=1, 2, c如果分類表的分類標準增加至3個或以上，則稱為多維聯(lián)合機率。第三節(jié)雙維聯(lián)合機率邊際機率 在2個類別（分類標準）的事件中，若僅考慮其中1個類別所發(fā)生的機率，稱為邊際機率(marginal probability)。換句話說，對表5-7中，僅考慮或單一事件發(fā)生的機率，記作： P(xi), i=1, 2, r P(yj), j=1, 2, c第四節(jié)條件機率條件機率的意義和運算條件機率(conditional p