電磁場理論課件：2-1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程

1、第二章 靜電場Electrostatic field本章研究的主要問題是：在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，如何求解電場。注意兩點：電荷靜止，即： 電場不隨時間變化，即:本章求解靜電場的方法有：分離變量法;鏡像法；格林函數(shù)法。 求解的依據(jù)是：唯一性定理。靜電場的基本特點： 邊值關(guān)系： 等均與時間無關(guān)（， 為唯一解） 不考慮永久磁體（） 基本方程：1. 靜電場標(biāo)勢及微分方程2. 唯一性定理3. 分離變量法4. 鏡像法6. 電多級矩本章內(nèi)容：本章重點：本章難點：分離變量法、電多極子靜電勢及其特性、分離變量法、鏡象法2.1 靜電勢及其微分方程Scalar potential a

2、nd differential equation for electrostatic field一、靜電場的標(biāo)勢二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系 三靜電場的能量本節(jié)主要內(nèi)容在靜止情況下，電場與磁場無關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的電場部分為這兩方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜電問題的基礎(chǔ)。靜電場的無旋性是它的一個重要特性，由于無旋性，我們可以引入一個標(biāo)勢來描述靜電場。一、靜電場的標(biāo)勢無旋性的積分形式是電場沿任一閉合回路的環(huán)量等于零，即設(shè)C1和C2為P1和P2點的兩條不同路徑。C1與C2合成閉合回路，因此電荷由P1點移至P2點時電場對它所作的功與路徑無關(guān)，只和兩端點有關(guān)。把單位正電荷由P1點移至P2點，電場E對

3、它所作的功為這功定義為P1點和P2點的電勢差。若電場對電荷做了正功，則電勢下降。由此由這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的電勢的絕對數(shù)值是沒有物理意義的。參考點的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，常常選無窮遠(yuǎn)點作為參考點。令()=0有代表把單位電荷從P點移動到無窮遠(yuǎn)處的做功相距為dl的兩點的電勢差由于因此，電場強度E等于電勢 的負(fù)梯度 當(dāng)已知電場強度時，可以求出電勢；反過來，已知電勢 時，通過求梯度就可以求得電場強度。點電荷Q激發(fā)的電場強度其中r為源點到場點的距離。把此式沿徑向場點到無窮遠(yuǎn)點積分，電勢為一組點電荷Qi激發(fā)的電勢若電荷連續(xù)分布，電荷密度為，設(shè)r為源點x到場點x

4、的距離，則場點x處的電勢為二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系電勢滿足的方程 拉普拉斯方程 適用于無自由電荷分布的均勻介質(zhì)泊松方程(適用于均勻介質(zhì))靜電場的基本問題 如果電荷是連續(xù)分布的，則觀察點 處的標(biāo)勢為這個式子只反映了電荷激發(fā)電場這一面，而沒有反映電場對電荷的作用另一面。 如果空間還有導(dǎo)體存在的活，那么物理機制為 考慮到感應(yīng)情況，諸問題的模擬是：導(dǎo)體+-給定電荷分布求空間一點電場分布而場引起導(dǎo)體上感 應(yīng)電荷分布而感應(yīng)電荷分布反過來引起2靜電勢的邊值關(guān)系(1) 兩介質(zhì)分界面0 P Q電荷沿法線方向移動, 切線分量不做功，沿法線方向做功為零（因電場有限，且間距趨于零）注意： 可代替 ，即可代替證：

5、可見而故有即得p2p1P1P2導(dǎo)體的特殊性1、導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；2、導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；（有則電子運動，有電流)3、導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面，整個導(dǎo)體的電勢相等。（電場切向為零）設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為，導(dǎo)體表面的邊界條件為導(dǎo)體1自由電荷介質(zhì)2（2）導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系三靜電場的能量 一般方程： 能量密度 總能量 僅討論均勻介質(zhì) 若已知 總能量為 討論：（1）適用于靜電場，線性介質(zhì)；（2）適用于求總能量.（3）不能把 看成是電場能量密度，它只能表示能量與存在著電荷分布的空間有關(guān)。真實的靜電能量是以密度 的形式在空間連續(xù)分布

6、，場強大的地方能量也大；（4） 中的 是由電荷分布 激發(fā)的電勢；（5）在靜電場中，電場決定于電荷分布。在場內(nèi)沒有獨立的運動。因而場的能量就由電荷分布所決定。（6）若全空間充滿了介電常數(shù)為的介質(zhì)，可得到電荷分布所激發(fā)的電場總能量式中r為 與 點的距離。總電荷荷自由電荷荷例1 P56 求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場總能量。例1 P56 求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場總能量。整個導(dǎo)體為等勢體, 導(dǎo)體球的電荷分布于球面上因此靜電場總能量為解方法之一: 按電荷分布方法之二: 按電場分布因為球內(nèi)電場為零，故只須對球外積分例2 P55 求均勻電場 的電勢。yoxp例2 P55 求均勻電場 的電勢

7、。Solution: 因為均勻電場中每一點強度 相同，其電力線為平行直線，選空間任一點為原點，并設(shè)原點的電勢為 。根據(jù) ，得到如果， 例3 P56均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度的，求空間的電勢。 例3 P56均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度的，求空間的電勢。場點pRozz電荷源Solution: 選取柱坐標(biāo)：源點的坐標(biāo)為（0,0, z),場點的坐標(biāo)為（R, 0, 0)，電荷 元 到P點的距離無窮大的積分結(jié)果與電荷不是有限區(qū)域內(nèi)分布有關(guān)。 計算兩點P和P0的電勢差可以不出現(xiàn)無窮大。設(shè)P0點與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則有限長直導(dǎo)線在P點和P0點相對的電勢為無限長直導(dǎo)線在P點相對P0點的電勢差若選P0為參考點，則選取柱坐標(biāo)：源點的坐標(biāo)為（0, z），場點的坐標(biāo)為（R, 0），考慮到導(dǎo)線是無限長，電場強度顯然與z無關(guān)。 這里，先求場強 ，后求電勢 。場點pRozz電荷源解2： 由于電荷元為 ，因此令且而故設(shè)p0點與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則p點到p0點的電勢差為若選p0為參考點（即 ），則例題4 電偶極子產(chǎn)生的電勢例題4 電偶極子產(chǎn)生的電勢-QQzxyP解：系統(tǒng)偶極矩 求近似值：同理 平面為等勢面（Z = 0的平面）。若電偶極子放在均勻介質(zhì)中（無限大介質(zhì)）：注意：考慮