知識(shí)講解_奇偶性_基礎(chǔ)

1、函數(shù)的奇偶性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解函數(shù)的奇偶性定義；.會(huì)利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問題方面的應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟.函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)稱為奇函數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)奇偶性是整體性質(zhì)；(2)x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的;f(-x)=f(x)的等價(jià)形式為：f(x)f (x) =0,) =1(f (x) #0),f(x)f(-x

2、)=-f(x) 的等價(jià)形式為：f (x) + f(x) =0, f ( x) =1(f (x) #0)； f(x)(4)由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有 f(0)=0 ;(5)若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有 f(x)=0.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)(2)如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟(1)求函數(shù)f(x)的定義域

3、，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；(2)結(jié)合函數(shù)f(x)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式；(3)求f(-x),可根據(jù)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.若f (-x) =- f (x),則f (x)是奇函數(shù)；若f(-x) = f(x),則f(x)是偶函數(shù);若f (-x)。士f(x),則f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若f (-x) =f(x)且f (-x) =- f(x),則f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)要點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

4、則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷f (-x)與土 f (x)之一是否相等(2)驗(yàn)證法：在判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證f(_x) 土 f (x)=0及1二x)=1是否成立即 f(x)可.(3)圖象法：奇(偶)函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)( y軸)對(duì)稱.(4)性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)(5)分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量 x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的

5、函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷f (-x)與f (x)的關(guān)系.首先要特別注意x與-x的范圍,然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，f(x)與f(-x)對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.要點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和卜b，-a上具有相同的單調(diào)性，即已知 f(x)是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)(減函數(shù))；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b ,-a上具有相反的單調(diào)性，即已知f(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)(減函數(shù)

6、)，則f (x)在區(qū)間-b ,-a上也是減函數(shù)(增函數(shù)).【典型例題】類型一、判斷函數(shù)的奇偶性例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) f(x) =(x +1)J ；(2)f(x)=x2-4|x|+3;f(x)=|x+3Hx-3|;(4)f(x),1- x2|x 2|-212_-x x(x 一 0)f(x)2x x(x :二 0)(6),1f(x) = g(x)-g(x)(xw R).【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷【答案】(1)非奇非偶函數(shù)；(2)偶函數(shù)；(3)奇函數(shù)；(4)奇函數(shù)；(5)奇函數(shù)；(6)奇函數(shù).【解析】(1) .f(x)的定義域?yàn)?-1,1，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此 f(x)為

7、非奇非偶函數(shù)；(2)對(duì)任意x CR,都有-x CR,且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),則 f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù).xCR, f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x), z. f(x)為奇函數(shù)；x 1-1,00,11京 -0 x+2 二 _2f(xJ1- x2f (-x)=1- (-x)2. 1-x2x=-f(x),，f(x)為奇函數(shù);(5) x C R, f(x)=-x|x|+xf(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),.f(x)為奇函數(shù);1 -1(6) . f(-x)=2g(-x)-g-(-x) =3g(-

8、x)-g(x)=-f(x) , f(x)為奇函數(shù).函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是【總結(jié)升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域在去掉| x + 2 |的絕對(duì)值符號(hào)時(shí)就十分麻煩函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的 定義域，否則就會(huì)做無用功.如在本例(4)中若不研究定義域,舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性: f(x)=; x2 3(2) f (x) =|x+1| 十|x1| ；一、 2x2 2x f(x)=T；(4) f (x)x2 2x -1二0-x2 2x1(x :二 0)(x = 0).(x 0)(1)奇函數(shù)；(2)

9、偶函數(shù)；(3)非奇非偶函數(shù);(4)奇函數(shù).f(x)的定義域是R,又 f (-x)=3( -x)3x22(-x)2 3 x2 3=f (x) ,，f (x)是奇函數(shù). 任取x=0 時(shí)，f(0)=-f(0) .xCR時(shí)，f(-x)=-f(x)f(x)為奇函數(shù).(2) f(x)的定義域是R,又 f (x)斗-x +1| +| x1|=|x1| +|x+1|= f (x),二 f (x)是偶函數(shù).函數(shù)定義域?yàn)?x#-1 ,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為非奇非偶函數(shù).任取 x0 貝U-x0 , 1. f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)x0 f

10、(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732例2 (1)】【變式2】已知f(x) , g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證： f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x) - g(x)為偶 函數(shù).證明：設(shè) F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)- g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)- -g(x)=f(x) g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x) - g(x)為偶函數(shù).【高清課堂

11、：函數(shù)的奇偶性356732例2 (2)】【變式3】設(shè)函數(shù)f(x)和g(x )分另是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是().A. f (x) +|g(x)| 是偶函數(shù)B . f (x) -|g(x)|是奇函數(shù)C. | f (x) | +g(x)是偶函數(shù) D . | f (x) |- g(x) 是奇函數(shù)【答案】A類型二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例 2.已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8 ,且 f(-2)=10 ,求 f(2).【答案】-26【解析】法一：: f(-2)=(-2)5+(-2) 3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

12、 8a-2b=-50.-.f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8 易證g(x)為奇函數(shù) g(-2)=-g(2). f(-2)+8=-f(2)-8.f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結(jié)升華】本題要會(huì)對(duì)已知式進(jìn)行變形，得出 f(x)+8= x 5+ax3-bx為奇函數(shù)，這是本題的關(guān)鍵之處,從而問題g(2)便能迎刃而解.舉一反三：【變式1】已知f(x)為奇函數(shù)，g(x) = f (x)+9,g(2) =3,則f (2)為().【答案】6【解析】g(2) = f (-2) +9=3,則(2) = 6 ,又 f(x)

13、為奇函數(shù)，所以 f (2) =-f(-2)=6 .例3. (2016春 山東臨沂期中)已知 f (x)的定義域?yàn)閤C R| xw。,且f (x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)2f (x) = x +bx+c,若 f (1) =f (3), f (2) =2.(1)求b, c的值；(2)求f (x)在x0時(shí)的表達(dá)式.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)f (1) =f (3)得函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=2對(duì)稱，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的公式列式得 到b的值，再由f (2) =2列式，解出c的值.(2)當(dāng)x0時(shí)，一x是正數(shù)，代入題中正數(shù)范圍內(nèi)的表達(dá)式得到f (一x)的式子，再結(jié)合f (x)是奇函數(shù)，取相反數(shù)即可得到f (x)在x0 時(shí)

14、 f (x) = x +4x2 ,當(dāng) XV0 時(shí)，f(x) =(x)2 +4(x) 2 = x2 -4x-2,.f (x)是奇函數(shù),當(dāng) xv 0 時(shí)，f (x) =f (x) = x2+4x +2 .【總結(jié)升華】本題給出二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，求函數(shù)表達(dá)式，并且在函數(shù)為奇函數(shù)的情況下求x0時(shí)，g(x)= x2+ 2x1,求g(x)的解析式.【答案】(1)x2f(x)=2x3x -1(x . 0)-3x -1(x 0)(2) g(x) =0( x = 0)2 一 x +2x + 1(x0)例4.設(shè)定義在-2 , 2上的偶函數(shù)f(x)在0, 2上是單調(diào)遞增，當(dāng) f(a+1) f(a)時(shí)，求a的取值范圍.

15、1【答案】-2 a ：-2【解析】f(a+1)f(a)f(|a+1|)f(|a|)而 |a+1| , |a| C 0 , 2|a 1| q a|2a 1 :二 0 TOC o 1-5 h z 一一一一 1，J-2Ea+1 蕓 2 -3a 1,-2a-.I2-2 a 2-2 a 2【總結(jié)升華】若一個(gè)函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，則一定有 f (x) = f (| x |),這樣就減少了討論的麻煩.舉一反三【變式1】定義在1 + a, 2上的偶函數(shù)f (x) =ax2+bx2在區(qū)間1, 2上是()A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減函數(shù)D.先減后增函數(shù)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)先求出a, b,然后利用

16、二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性.【答案】B【解析】f (x)是定義在1 + a, 2上的偶函，數(shù),，區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 1+a+2=0 ,解得a= - 3,且 f ( - x) =f (x),ax2 -bx -2 =ax2 +bx -2 ,即-bx= bx,解得 b=0,22 一f(x)=ax +bx2 = -3x -2 , .f (x)在區(qū)間1, 2上是減函數(shù).故選：B.【總結(jié)升華】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問題例5.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x 2+|x-a|+1 , xCR,試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最

17、小值.【思路點(diǎn)撥】對(duì)a進(jìn)行討論，把絕對(duì)值去掉，然后把 f(x)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題。【答案】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng) aw0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).當(dāng) TOC o 1-5 h z 31_311-oaV-.時(shí),f(x)扃=4-a;a A時(shí)，f (x)島=7+a;當(dāng)-萬 a 時(shí)，f(x)|min = a +1.【解析】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x 2+|x|+1 ,此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)aw 0時(shí)，f(x)=x 2+|x-a|+1 ,為非奇非偶函數(shù).一 .1.23(1)當(dāng) x 至a時(shí)，f(x)=(x+)十一-a241131aE-萬時(shí)，函數(shù)f (x)在la,十g )上的取小值為f (-萬)=%-a

18、,且f(-)Ef(a).1aA-萬時(shí)，函數(shù)f (x)在la,也)上單倜遞增，,f (x)在b,F 4的最小值為f(a)=a 2+1. TOC o 1-5 h z o3(2)當(dāng) x萬時(shí)，f (x) |min = 4+a;1-c-2a、時(shí)，f (x) |min=a +1.舉一反三：【變式1】(2016上海崇明模擬)已知函數(shù)f(x)=x |x-a |+b,xC R.當(dāng)b=0時(shí)，判斷f (x)的奇偶性，并說明理由.【答案】非奇非偶函數(shù)【解析】當(dāng)b=0時(shí)，f (x) =x | x-a | ,當(dāng)a=0時(shí)，f (x)為奇函數(shù)；當(dāng)a wo時(shí)，f (x)為非奇非偶函數(shù)，理由：當(dāng) a=0 時(shí)，f (x) =x |

19、 x | ,f( x) = x | x | = x I x | = f (x),f (x)為奇函數(shù)；當(dāng) aw。時(shí)，f( x) = x | x a | = x | x+a | 若(x),且f (x) f (x),則f (x)為非奇非偶函數(shù)2例6.已知y = f (x)是偶函數(shù)，且在0, +8)上是減函數(shù)，求函數(shù) f(1-x )的單調(diào)遞增區(qū)間.【思路點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性共 同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮?, 1和(8, 1【解析】f(X)是偶函數(shù)，且在0, +8)上是減函數(shù)，f (X)在(一8, 0上是增函數(shù).設(shè)u=1X2,則函數(shù)f(1X2)是函數(shù)f(u)與函數(shù)u=1X2的復(fù)合函數(shù).,當(dāng)0WXW 1時(shí)，u是減函數(shù)，且u0,而u0時(shí)，f (u)是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得f(1 X2) 是增函數(shù).當(dāng)XW1時(shí)，u是增函數(shù)，且uW0,而uW0時(shí)，f(u)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得f(1-X2)是增函數(shù).2同理可得當(dāng)一1*0或*1時(shí)，f(1X)是減函數(shù).，所求的遞增區(qū)間為0, 1和(一8, 1.【總結(jié)升華】(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題主要有兩類