計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(第5章)課件

1、第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公式與智能決策 7/29/20221計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社確定性現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生現(xiàn)象。 如，微積分學(xué)的研究對象就是確定性現(xiàn)象。不確定性現(xiàn)象：事先無法預(yù)料的現(xiàn)象。 如，拋一枚硬幣，究竟是正面向上還是反面向上事先 無法預(yù)料；概率論：是探討隨機現(xiàn)象的一門學(xué)科。 什么是概率論7/29/20222計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社事件：指任何當時或?qū)砜赡艽嬖诘氖虑椤１热?，兩千年前埃及夏?/p>

2、的降雨情況。必然事件：指在一定條件下肯定發(fā)生的事件。比如，三角形的內(nèi)角和是180。隨機事件：單獨地看完全是隨機發(fā)生的，發(fā)生的可能性有大有小的事件。比如，拋一枚硬幣落下時是正面朝上還是反面朝上5.1.1 隨機事件7/29/20223計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社概率：是對隨機事件發(fā)生的可能性或機會的一種測量。（介于0和1之間的一個數(shù)） 注意：不可能發(fā)生的事件概率為0，肯定發(fā)生的事件概率為1。反之不成立！例5.1.1 擲一顆骰子，問出現(xiàn)點數(shù)5的概率有多大？解：如果是一顆均勻的骰子，1到6點有同樣的可能被擲到，在這6份可能中，5點占了一份，所以概率應(yīng)是 。5.1.2 概率7/29/202

3、24計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.1.2 同時投擲二枚硬幣A、B，問出現(xiàn)“兩枚都正面朝上”的概率有多大？解：如果用H表示“正面朝上”，T表示“反面朝上”，那么所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是：(H，H)，(H，T)，(T，H)，(T，T)其中(H，T)表示A枚出現(xiàn)正面，B枚出現(xiàn)反面，其它類似。不難斷定，這4種結(jié)果出現(xiàn)的機會是相等的。因此出現(xiàn)“兩枚都正面朝上”即(H，H)的概率是 。7/29/20225計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.1.3 給出英語文獻中特定的字母比如E出現(xiàn)的概率。解：英語中共有26個字母，每個字母出現(xiàn)的可能性是不同的，所以 是不對的?？梢越邮艿姆椒ㄊ峭ㄟ^

4、對大量文獻的統(tǒng)計獲得相對有依據(jù)的結(jié)果，下面就是一份統(tǒng)計了約438023個字母得到的概率值：字母 概率字母 概率字母 概率字母 概率E 0.1268R 0.0594M 0.0244K 0.0060T 0.0978H 0.0573W 0.0214X 0.0016A 0.0788 L 0.0394Y 0.0202J 0.0010O 0.0776D 0.0389G 0.0187Q 0.0009I 0.0707U 0.0280P 0.0186Z 0.0006N 0.0706C 0.0268B 0.0156S 0.0634F 0.0256V 0.01027/29/20226計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等

5、教育出版社例5.1.4 請預(yù)測下屆世界杯足球賽巴西隊獲冠軍的概率。解：巴西隊獲冠軍的概率是： ？理由：比賽是公平的。問題：因為各隊的實力不等。 ？理由：總共17屆賽事中巴西隊5次獲得了冠軍。問題：沒有考慮到未來比賽中天時、地利、人和等諸般多變的因素。所以不論得到的概率值是多少，都帶有強烈的主觀意見。7/29/20227計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社比率即先將所有可能出現(xiàn)的情況統(tǒng)統(tǒng)列出，然后將有關(guān)事件所占的份額（比例）作為其概率，其前提是出現(xiàn)各種情況的可能性是一樣的。如例5.1.1和例5.1.2。頻率的穩(wěn)定值即將某隨機事件重復(fù)做了無數(shù)次時，統(tǒng)計有關(guān)事件發(fā)生的次數(shù)，以頻率的穩(wěn)定值作為概

6、率。如例5.1.3。比率和頻率的方法有時卻行不通。如例5.1.4。因此，概率的定義有不同的背景。怎么計算概率7/29/20228計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社隨機試驗：指試驗中會出現(xiàn)哪種結(jié)果不得而知，但一切可能出現(xiàn)的結(jié)果卻是已知的試驗，記為E 。例： ：拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況 ：將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) ：記錄尋呼臺一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù) ：在一批光盤中任取一片，測試其使用壽命5.1.3 隨機試驗與樣本空間7/29/20229計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社樣本空間：指隨機試驗的一切可能結(jié)果的集合，用S表示。樣本或基本事件：指樣本空間的元素，

7、用e表示。事件：指樣本空間的子集，用大寫字母A,B,C表示。例：下面寫出前面4個隨機試驗的樣本空間 ： ：H,T；其中 ；分別表示：“正面朝上”，“反面朝上” ：0,1,2,3；其中 ；分別表示：“不出現(xiàn)正面”， “出現(xiàn)一次正面” ：0,1,2,3,；其中 ；分別表示：“無呼叫”， “有一次呼叫”等 ：t|t0；事件A為“壽命小于1000小時”，則At|0t10005.1.3 隨機試驗與樣本空間7/29/202210計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社設(shè)A和B是兩個集合，1事件的包含，記為如果事件A的發(fā)生，必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，則稱事件B包含事件A。對應(yīng)于集合論中：A是B的子集。2和事件

8、，記為A+B或指“事件A發(fā)生或事件B發(fā)生”，這是集合論中并的關(guān)系。3. 積事件，記為 或AB 指“事件A及事件B同時發(fā)生”，這是集合論中交的關(guān)系。5.1.4 事件的表示和關(guān)系7/29/202211計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社4差事件，記為AB指“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”。5互不相容的事件指事件A與事件B不能都發(fā)生，即AB=。6對立事件如果A，B互不相容，且A和B的并集構(gòu)成樣本空間S，即AB=且 則稱事件A與事件B互為對立事件，A的對立事件記為 ；可以看出對立事件一定互不相容，但反之則未必。7/29/202212計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.1.5 ：設(shè)事件A表

9、示“計算機感染蠕蟲病毒”，事件B是 “計算機感染CIH病毒”，事件C表示“計算機內(nèi)部軟件系統(tǒng)發(fā)生沖突”，請給出 、 、 、 在事件表示中的含義。解： ：計算機內(nèi)部軟件系統(tǒng)發(fā)生沖突但未感染蠕蟲病毒和CIH病毒。 ：計算機要么感染蠕蟲病毒，要么感染CIH病毒，要么內(nèi)部軟件系統(tǒng)發(fā)生沖突。 ：計算機同時感染蠕蟲病毒和CIH病毒。 ：計算機感染了蠕蟲病毒但未感染CIH病毒。7/29/202213計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7

10、 貝葉斯公式與智能決策 7/29/202214計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧概率：是對隨機事件發(fā)生的可能性或機會的一種測量。（介于0和1之間的一個數(shù)）概率計算：比率，即將有關(guān)事件在所有可能出現(xiàn)的情況中所占的份額作為其概率，其前提是出現(xiàn)各種情況的可能性是一樣的。頻率的穩(wěn)定值，即將某隨機事件重復(fù)做了無數(shù)次時，統(tǒng)計有關(guān)事件發(fā)生的次數(shù)，以頻率的穩(wěn)定值作為概率。7/29/202215計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社定義5.2.1 古典概率問題：若隨機試驗的樣本空間是由有限個樣本點組成，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，稱這一類型的概率求解問題為古典概率問題。其中事件A的概率

11、計算公式為：P(A)=7/29/202216計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.2.1 盒子中裝有4個白球，2個紅球，從中取球兩次，每次隨機取一個，考慮兩種取球方式，(a)放回抽樣，即第一次取一個球，觀察其顏色后放回；(b)不放回抽樣，即第一次取一個球后不放回，第二次從剩余的球中再取一球；分別計算事件A “取到兩個球均是白球”、B “取到兩只球均為紅球”、C “取到兩只球顏色相同”及 D“取到的兩只球中至少有一只白球”的概率。解：取球的結(jié)果狀態(tài)有限種，取到每個球的可能性是一樣的，所以這是一個古典概率問題。樣本空間S的總數(shù)第一次取球的可能數(shù)第二次取球的可能數(shù)7/29/202217計算

12、機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社 A的份數(shù)第一次取白球的可能數(shù)第二次取白球的可能數(shù)同理根據(jù)事件的集合表示法，可得：，C和D的詳細計算在下一節(jié)介紹。7/29/202218計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社1合成乘法原理若一個過程可以分成兩個階段完成，第一階段有m種不同的做法，第二階段有n種不同的做法，則整個過程有mn種不同的作法，依此類推。2排列數(shù)是指從n個元素中取出r個進行排列，不僅要考慮取出的是哪n個元素，還要注意它們的順序（AB和BA是不同的），這樣總的排列個數(shù)稱為排列數(shù)。通常有以下幾種情況：(a)可重復(fù)的排列：即放回抽樣，同一元素允許被重復(fù)取到，排列數(shù)為 (b)選排列：即不

13、放回抽樣，故不會有元素重復(fù)出現(xiàn)，排列數(shù)記為 (c)全排列：從n個不同元素中每次取出n個不同元素的排列，排列數(shù)為 一些排列組合的計算技巧7/29/202219計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社3組合數(shù)是指從n個元素中取出r個，只考慮取出的是哪r個，而不考慮先后次序，這樣組合的個數(shù)記為 。7/29/202220計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.2.2 有N張軟件光盤，其中有D張是盜版的；現(xiàn)從中任取n張，問其中恰有k(kD)張是盜版的概率。解：在N張光盤中取n張，共有 種取法；在D張盜版光盤中取k張，共有 種取法；在余下的ND張光盤中取nk張，共有 種取法；由乘法原理知在N張光

14、盤中取n張，其中恰有k張是盜版的取法共有 種，故所求概率為： 7/29/202221計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.2.3 將15名新員工（其中有3名是系統(tǒng)分析員）隨機地平均分配到三個研發(fā)小組中，問：(1).每個研發(fā)小組各分配到一名系統(tǒng)分析員的概率是多少？(2).3名系統(tǒng)分析員分配在同一個研發(fā)小組的概率是多少？解：利用合成乘法原理，可知15名新員工隨機地平均分配到三個小組中的分法總數(shù)為： （1）每個研發(fā)小組各分配到一名系統(tǒng)分析員的做法可以分成兩步：首先將3名系統(tǒng)分析員各分到一個小組（全排列數(shù)）有3！種做法；其次將余下的12名員工平均分配到三個小組有 種分法；由乘法原理共有 種做

15、法，所求概率為： 7/29/202222計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社（接上頁） （2）同理，首先將3名系統(tǒng)分析員分到同一個小組有3種做法；其次將余下的12名員工按數(shù)分配到三個小組有 種分法；由乘法原理共有 種做法，故所求概率為：7/29/202223計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.2.4一計算機中心一周曾遭受某病毒攻擊12臺次，觀察到所有這12次攻擊均發(fā)生在周二或周五，問是否可以推斷該病毒的發(fā)作是有特定時間的。解：假設(shè)病毒的發(fā)作是沒有時間限制的，則它在一周中的任一天發(fā)作都是等可能的，在這種情況下，這12次均發(fā)生在周二或周五的概率 可能性為千萬分之一的事件是一個極小

16、概率事件，實際工作中認為幾乎不可能發(fā)生，因此有理由懷疑原假設(shè)的正確性，從而推斷該病毒的發(fā)作是有特定時間的。7/29/202224計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公式與智能決策 7/29/202225計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧古典概率問題：若隨機試驗的樣本空間是由有限個樣本點組成，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，稱這一類型的概率求解問題為古典概率問題。其中事件A的概率計算公式為：P(A

17、)=7/29/202226計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社性質(zhì)5.3.1 任意兩事件和的概率為：特別有A、B互不相容，則： 性質(zhì)5.3.2 一個概率模型中所有互不相容性事件的概率總和等于1。特別有：對立事件的概率和等于1，即 7/29/202227計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.3.1 （例5.2.1 續(xù)）由于 ，事件A、B是互不相容的，考慮放回抽樣的情況，有： 7/29/202228計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.3.2 在1，2，1000這一千個正整數(shù)中任取一個數(shù)，求它能被2或3整除的概率。解：設(shè)事件A表示“取得的數(shù)能被2整除”；事件B表示“取得的

18、數(shù)能被3整除”；則事件 表示“取得的數(shù)能被2或3整除”；注意到事件A、B并非互不相容，因為取到的數(shù)可能同時被2和3即6整除，易知這1000 個數(shù)中能被6整除的數(shù)共有166個，故有：根據(jù)性質(zhì)5.3.1, 得：7/29/202229計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.3.3 將n只球隨機地放入N（Nn）個盒子中，試求每個盒子至多有一個球的概率（設(shè)盒子的容量不限）解：這是一個古典概率問題，因每一個球等可能地放入N個盒子中的任一個，故共有 種不同放法，而每個盒子至多有一個球共有 種不同放法，因而所求概率為：7/29/202230計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社許多問題與上例具有相

19、同的數(shù)學(xué)模型。如n（365）個人中至少有兩人生日相同的概率問題，假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即1/365，則他們生日各不相同的概率依上式應(yīng)為：根據(jù)性質(zhì)5.3.2，n個人中至少有兩人生日相同的概率為:下表列出了一些計算結(jié)果：n202330405064100P0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.99999977/29/202231計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公

20、式與智能決策 7/29/202232計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧性質(zhì)5.3.1 任意兩事件和的概率為：特別有A、B互不相容，則： 性質(zhì)5.3.2 一個概率模型中所有互不相容性事件的概率總和等于1。特別有：對立事件的概率和等于1，即 7/29/202233計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社事件A已發(fā)生的條件下另一事件B發(fā)生的概率記作P(B/A)例5.4.1 設(shè)某工廠生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中有3件次品，今依次取出兩件（每次取后不放回），如果已經(jīng)知道取出的第一件產(chǎn)品是正品，求在此條件下第二件產(chǎn)品也是正品的概率。解：從這100件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，則“取得的產(chǎn)品是正品”（設(shè)為

21、事件A）的概率為： 如果已知取出的第一件產(chǎn)品是正品，要求取出的第二件產(chǎn)品也是正品（設(shè)為事件B）的概率為： 另外，易知： 7/29/202234計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社定義5.4.1 事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率定義為：定理5.4.1（乘法定理） 類似地有：推廣之可得：7/29/202235計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.4.2 某軟件公司在軟件研制完成后，通常需通過三道測試；已知軟件未能通過第一道測試的概率為1/2；若第一道測試通過，未能通過第二道的概率為3/10；若前兩道測試都通過，則未能通過第三道的概率為1/10；試求軟件能通過所有這三道測試的概

22、率。解：以 表示事件“軟件通過第 道測試”；B表示事件“軟件通過所有這三道測試”；則有 ，所以： 7/29/202236計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.4.3 已知某事件在時間(0,T)內(nèi)發(fā)生的概率為p，且在該時段內(nèi)的任何時刻發(fā)生是等可能的，若該事件在(0,t) (tT)內(nèi)沒有發(fā)生，求它在剩余的時間內(nèi)發(fā)生的概率。解：設(shè)A表示“該事件在(0,t)內(nèi)發(fā)生”，B表示“該事件在(t,T)內(nèi)發(fā)生”,則B就表示” 該事件在(0,t)內(nèi)沒有發(fā)生，而在剩余的(t,T)內(nèi)發(fā)生，因為： 即：最后得：7/29/202237計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相

23、關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公式與智能決策 7/29/202238計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧性質(zhì)5.3.1 任意兩事件和的概率為：定義5.4.1 事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率定義為：定理5.4.1（乘法定理） 7/29/202239計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社獨立事件：兩個互不關(guān)聯(lián)的事件稱為獨立事件。例如“隔壁公司的張三被蚊子叮了一下”，與“今天硬盤價格上漲”。若連續(xù)兩次投擲一顆骰子，第一次投出的點數(shù)和第二次投出的點數(shù)之間也沒有任何關(guān)

24、系。7/29/202240計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社性質(zhì)5.5.1 若A、B相互獨立，則： ，反之亦然。性質(zhì)5.5.2 若A、B相互獨立，則有： ，反之亦然。性質(zhì)5.5.3 若A、B相互獨立，則以下各對事件： 也相互獨立性質(zhì)5.5.4 事件A、B相互獨立與A、B互不相容不能同時成立7/29/202241計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.5.1 考慮一個使用二個磁盤驅(qū)動器的計算機系統(tǒng)，根據(jù)以往記錄，這二個驅(qū)動器發(fā)生故障概率分別為：P(A)= ，P(B)= ，這里A表示“第一個驅(qū)動器發(fā)生故障”，B表示“第二個驅(qū)動器發(fā)生故障”，試分析驅(qū)動器發(fā)生故障的詳細情況。（這里依經(jīng)

25、驗我們假設(shè)A，B相互獨立）解：A、B二者同時發(fā)生故障的概率應(yīng)為：相反，二者同時無故障的概率為：7/29/202242計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社（接上頁）一個故障而另一個無故障，其概率為：現(xiàn)在若將所求得的所有概率相加，則有任何時刻至少有一個發(fā)生故障的概率是：或7/29/202243計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.5.2 某軟件系統(tǒng)裝有密碼，若配置多組密碼可以降低系統(tǒng)被破譯的可能性，已知每一組密碼被破譯的概率為0.04，且各組密碼是否被破譯是相互獨立的，問：（1）如果采用兩組密碼，系統(tǒng)被破譯的概率是多少？（2）如果要使系統(tǒng)被破譯的概率小于0.01%,至少需要用多少組

26、密碼？ 解：如果只采用一組密碼，破譯概率是4。（1）設(shè) ，則所求的概率是：（2）假設(shè)要使系統(tǒng)被破譯的概率小于0.01%,至少需要N組密碼，則： 所以，只要采用3組或更多組的密碼，就能保證系統(tǒng)被破譯的概率小于0.01%7/29/202244計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公式與智能決策 7/29/202245計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧兩個互不關(guān)聯(lián)的事件稱為獨立事件。性質(zhì)5.5.1 若A、

27、B相互獨立，則： ，反之亦然。性質(zhì)5.5.2 若A、B相互獨立，則有： ，反之亦然。7/29/202246計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.6.1 某寬帶運營商提供給客戶的Modem分別來自大陸、臺灣、美國三個產(chǎn)地，份額分別為25%、35%、40%，三個產(chǎn)地產(chǎn)品的次品率分別為5%、4%、2%. 現(xiàn)在從這些產(chǎn)品中隨機地取一個，問它是次品的概率。解：不妨設(shè) 依次表示事件“產(chǎn)品是來自大陸、臺灣、美國的”，A表示“產(chǎn)品為次品”，依題意有：P(B1)=25%, P(B2)=35%, P(B3)=40%, P(A/B1)=5%, P(A/B2)=4%, P(A/B3)=2%隨機取一Modem

28、的次品率=設(shè)Modem總量為n，則隨機取一Modem的次品率 25%5%+35%4%+40%2% P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3)=3.45%7/29/202247計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社定義5.6.1 設(shè) 是樣本空間S的一組事件，滿足：（1） （即兩兩之間互不相容）（2） 則稱 為樣本空間S的一個劃分。上例中的 就是樣本空間的一個劃分。在劃分下，考慮樣本空間S中的一個事件A的概率，有：因為事件 兩兩互不相容，所以事件 也兩兩互不相容，從而，由性質(zhì)5.3.1有：7/29/202248計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社定

29、義5.6.2 設(shè) 為樣本空間S的一個劃分， ，A是其中的一個事件，則這個公式稱為全概率公式。7/29/202249計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.6.2暑假即將來臨，公司準備在媒體上做廣告推銷某品牌的電腦，根據(jù)以往的經(jīng)驗，在電視、報紙、街頭廣告牌三種媒體上做廣告被顧客看到的可能性分別為:70，50，40；顧客看到一種媒體上的廣告而決定購買的比率是20，看到兩種媒體上的廣告而決定購買的比率是60，若在三種媒體上都看到廣告則一定會購買該品牌電腦，問若在三種媒體上都做廣告，顧客的購買率是多少？解：設(shè)事件A：顧客購買該品牌電腦； ：顧客看到 種媒體上的廣告 ：在電視 、報紙 、街頭廣告

30、牌 上做廣告被顧客看到； 根據(jù)已知條件有：7/29/202250計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社（接上頁）將 看成樣本空間的一個劃分，由全概率公式得： 表示顧客看到 種媒體上的廣告，故有：不妨設(shè) 之間是相互獨立的，得：同理可得： 最后得： 7/29/202251計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社第5章 概率論基礎(chǔ)5.1 概率及其相關(guān)概念5.2 古典概率問題及計算方法5.3 概率的加法性質(zhì)及應(yīng)用5.4 條件概率與乘法定理5.5 事件的獨立性5.6 全概率公式5.7 貝葉斯公式與智能決策 7/29/202252計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社上節(jié)回顧定義5.6.2 設(shè)

31、為樣本空間S的一個劃分， ，A是其中的一個事件，則這個公式稱為全概率公式。7/29/202253計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.7.1 某公司專門生產(chǎn)計算機配件，對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當設(shè)備狀態(tài)良好時，配件產(chǎn)品的合格率為90，而當設(shè)備狀態(tài)不良時，其合格率為30；已知每日設(shè)備啟動時狀態(tài)良好的概率是75，某日早上第一件產(chǎn)品是合格品，問該日設(shè)備狀態(tài)良好的概率是多少？解：設(shè)事件A表示“產(chǎn)品合格”，B表示“設(shè)備狀態(tài)良好”，依題意有：要求的概率為 。綜合運用條件概率公式、乘法定理及全概率公式可得：所以，當?shù)谝患a(chǎn)品是合格品時，此時設(shè)備狀態(tài)良好的概率為0.9。5.7.1 貝葉斯(Bayes

32、)公式7/29/202254計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社在上例中，概率0.75是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做先驗概率，而在得到信息（早上第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.9）叫做后驗概率。定義5.7.1 設(shè) 為樣本空間S的一個劃分，A是其中的一個事件，且 ，則有:稱該公式為貝葉斯（Bayes）公式或逆概率公式。7/29/202255計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.7.2 在計算機的圖像表示中，一幅MN大小的黑白圖像可以用元素為0（表示“白”）或1（表示“黑”）的MN階矩陣來表示；現(xiàn)在假設(shè)一幅黑白圖像白與黑的比例是0.6：0.4，圖像在網(wǎng)上傳輸時由

33、于受到干擾，當發(fā)出的像素點為“白”時，接受方以概率0.8收到“白”的信號，而0.2的可能收到的卻是“黑”的信號；同樣，當發(fā)出的像素點為“黑”時，接受方分別以概率0.9和0.1收到信號 “黑”和“白”，求當收到信號是“黑”時，原像素點確實是“黑”的概率。解：設(shè)事件A=收到信號“黑”，B=發(fā)出信號“黑”，依題意有：所要求的是 。由貝葉斯（Bayes）公式有： 7/29/202256計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社5.7.2 貝葉斯公式在智能決策中的應(yīng)用設(shè)樣本空間的劃分 這n個事件可以看作是導(dǎo)致事件A發(fā)生的各種“因素”， 是在事件A出現(xiàn)前“原因” 出現(xiàn)的可能性，即先驗概率。但是在試驗中事件

34、A的出現(xiàn)有助于對導(dǎo)致事件A出現(xiàn)的各種“因素”發(fā)生的概率作進一步探討, 即計算后驗概率 貝葉斯決策，就是在已知 先驗概率的情況下，做試驗。再通過試驗中事件A的具體情況得到的新信息，獲得導(dǎo)致A出現(xiàn)的各種因素 發(fā)生情況的新知識。7/29/202257計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社例5.7.3 仍然來考慮前面例5.7.1中這家專門生產(chǎn)計算機配件的公司，硬盤是其產(chǎn)品之一，為了提高其硬盤的質(zhì)量，公司經(jīng)理考慮增加投資來改進生產(chǎn)設(shè)備。但從投資效果看，二個顧問提出了兩種不同意見： Y1：改進生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占90%， Y2：改進生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占70%。根據(jù)二個顧問過去建議被采納的情

35、況，經(jīng)理認為Y1的可信度只有40%，Y2的可信度有60%，即 P（Y1）=0.4，P（Y2）=0.6 這二個都是經(jīng)理的主觀概率。經(jīng)理不想僅憑過去的經(jīng)驗來決策此事，為此他決定先通過小規(guī)模試驗，觀其結(jié)果再做決定。他組織進行了一項試驗，試驗結(jié)果（記為A）如下：A：試制5個產(chǎn)品，全是高質(zhì)量的產(chǎn)品。經(jīng)理希望知道此試驗結(jié)果會如何改變他原來對Y1和Y2的看法，即要求后驗概率P (Y1/A)與P (Y2/A)。7/29/202258計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（葉東毅等） 高等教育出版社（接上頁）不妨設(shè)每一個產(chǎn)品的生產(chǎn)都是相互獨立的，有： P (A/Y1)=(0.9)5=0.590，P (A/Y2)=(0.7)5=0.168。再由全概率公式算得P(A)= P (A/Y1) P(Y1)+ P (A/Y2) P(Y2)=0.337。于是可求得后驗概率為 P (Y1/A) = P(A/Y1) P(Y1) /P(A)=0.236/0.337