高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)空間直角坐標(biāo)系精品試題文含模擬試題

1、精品題庫(kù)試題文數(shù)1.（北京市海淀區(qū)2014屆高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)） 如圖所示，正方體月雙霜-4叢（；%的棱長(zhǎng)為!,初14c = 0 , M是線段。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)1/做平面從他的垂線交平面于點(diǎn)N ,則點(diǎn)N到點(diǎn)X距離的最小值為. 氈A.eB. 2C. 3D. I解析1.平面B18DD所以平面,平面BXBDD卜在8出上運(yùn)動(dòng)，建立如iiui圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則與1.01）。1）,設(shè)Ngo）,及N=fRJ）即11 ir, -（1乎二-1| = 40.口）所以MI），|川、小加-疔+廣+1=/2廠一21 + 2,所以當(dāng)2.(2013課標(biāo)n, 9,5分)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中

2、的坐標(biāo)分別是(1,0,1), (1,1,0), (0,1, 1), (0,0, 0),畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí) ,以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()解析2.在空間直角坐標(biāo)系中，易知 0(0,0, 0), A(1,0, 1), B(1,1,0), C(0,1, 1)為單位正方體的四個(gè)頂點(diǎn).因此該幾何體以zOx平面為投影面所得的正視圖為A.3. (2011 全國(guó)，20, 12 分)如圖，四棱錐S-ABCD中，AB / CD, BOX CD,側(cè)面 SAB為等邊三 角形.AB=BC=2, CD=SD=1.(I )證明:SDL平面SAB;(11)求人8與平面SBC所成的角的大小4.(20

3、10 湖北，18, 12 分)如圖，在四面體 ABO沖,OCOA, OCLOB, ZAOB=120 ,且 0A=0B=0C=1.(I )設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q 在AB上且AB=3AQ.證明:PQ, OA;(n )求二面角 O-AC-B的平面角的余弦值(2010江西，20,12 分)女y，ABCD與MCCO是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，平面 MCD_平面 BCD, ABL平面 BCD, AB=2 .(I)求直線AM與平面BC所成角的大小(n)求平面acmW平面bc所成二面角的正弦值. 產(chǎn)6.(2010 江蘇，16, 14 分)如圖，在四棱錐 P-ABCC, PD，平面 ABCD, PD=DC=BC=1,

4、 AB=2, AB/ DC, / BCD=90 .(n)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.(I )求證:PC, BC;(2010 全國(guó) n , 19, 12分)如圖，直三棱柱 ABC-ABQ 中，AC=BC, AA1=AB, D 為 BB 的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn),AE=3EB1.(I )證明:DE為異面直線 AB與CD的公垂線；(n)設(shè)異面直線 AB與CD的夾角為45 ,求二面角 Ai-ACi-Bi的大小.4.(2013 江蘇，22,10 分)如圖，在直三棱柱 ABC-ABC中，AB AC, AB=AC=2, A iA=4,點(diǎn) D 是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線A1B與CD所成角的余弦值； (2)求

5、平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值8.答案和解析答案1.B解析11m 平面,所以平面“CD1,平面，N在8禺上運(yùn)動(dòng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(x-Ljz-l) = /(KkO)所以iur , 0, y0, z0.(I)AS=(x-2, y-2, z),BS=(x, y-2, z),I)S=(x-1, y, z),由 I AS 1=1 E0| 得J(X02+(y02+廣=Klx2+(y-2)24-z2；故 x=1.由 |*=1 得 y+z?, 又由 | BS|=2 得 x2+(y-2) 2+z2=4,即 y2+z2-4y+1=0,故 y=2, z=、2 . (3 分)于是 st1-

6、?,5?),咫=14室)，BsJl 弓用S=(o,3 噂,位.AS =0 ds . BS=o.ft DSL AS, DS1BS, X AST) BS=S，所以 SDL平面 SAB. (6 分) (n )設(shè)平面SBC的法向量a=(m, n, p),又曲z=(0, 2, 0),in-2n4-p=0.取 p=2 得 a=(-0, 2),又A=(-2, 0, 0), cos=施則 aB,S a a ES=O, a -匚口=0.vgT故AB與平面SBC所成的角為arcsin ? . （12 分）3.答案4. AOB 中,解法一 :（I ）在平面. /AOB=120 且OAB內(nèi)作0迎OA交AB于N,連ZC

7、 CN.OA=OB, / OABW OBA=30 .1在 RtAON中，/ OAN=30 , . ON=2aN.在ONB中，. / NOB=120 -90 =30 =/OBN,1.NB=ON=AN.又AB=3AQ, .-.Q為AN的中點(diǎn).在 CAN中，P, Q分別為AC, AN的中點(diǎn)，.PQ/ CN.由 OAL OC, OALON 知:OA,平面 CON.又 NC?平面 CON, .OALCN.由 PQ/ CN,知 OAL PQ.(n)連結(jié) PN, PO.在由 OCL OA, OCX OB 知:OC平面 OAB.又 ON?平面 OAB, .-.QCL ON.又由ONL OA知:ON,平面 AO

8、C.OP是NP在平面 AOC的射影.在等腰 RtCOA中，P為AC的中點(diǎn)， .Ad OP.根據(jù)三垂線定理，知:AC, NP./OPN為二面角 O-AC-B的平面角.卑在等腰 RtCOA中，OC=OA=1, .,.OP=2.在 RtAON中，ON=OAtan 30 = 3 ,cos/ OPN= = =.解法二:（I）取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A, OC所在的直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz（如圖所示）.則 A(1,0, 0), C(0, 0, 1), BP為AC的中點(diǎn)，t 1 jCb又由已知，可得AQ=3又=。之+.二.PQ 威=（。父4（i, 0, 0）=0. 故 pi）o.（n）記

9、平面 ABC的法向量 n=（n1, n 2, n 3）,則由 nX, n Ab,且C入=（1,0,-1）,F 門-%=0, 得住i+名尸，故可取n=(1, 0,1).又平面 OAC勺法向量為e=(0, 1,0).（1,信1）電1,0）平cos=面角O-AC-B的平面角是銳角,記為0 ,則cos 04.答案5. 解法一 :（I）取 CD中點(diǎn) O,連 OB, OM,則 OBLCD, OMLCD.又平面 MCD_平面 BCD,則MOL平面 BCD,所以MO/ AB, A、B、Q M共面.延長(zhǎng)AM BOffi交于E,則/AEB就是AMf平面BC的成白角.:OB=MO=,EO MO 1MO/ AB,則即

10、/=Z, eo=OB=號(hào)所以 EB=2W=AB,故/AEB=45 .直線AM與平面BC所成角的大小為45(n )CE是平面 ACMW平面BCD的交線.由(I )知，O是BE的中點(diǎn),則BCED1菱形.作BFL EC于F,連AF,則AFL EC, /AFB就是二面角 A-EC-B的平面角,設(shè)為0 .因?yàn)? BCE=120 ,所以/ BCF=60 .AHBF=BC sin 60=：3, tan 0 =灰=2, sin0所以，所求二面角的正弦值是-,2 ),則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0,), B(0, -, 0), A(0,cosAM.tii = iWm

11、解法二：取 CD中點(diǎn) O,連 OB, OM,則 OBL CD, OML CD,又平面 MCD_平面 BCD,則MOL平面 BCD.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC BO OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OB=OM=,S, 平面BCD的法向量為 n=(0, 0, 1). 則有sin a =所以a =45直線AM與平面BC所成角的大小為45 .(n)函=(-1,0,),2=(-1,-設(shè)平面ACM勺法向量為n1=(x, y, z),%，叫-x+*ni_LCA得陵-娘”入取=0,解得x=；*z, y=z, 取ni=( 1, 1, 1). 平面BCD的法向量為噌 1n=(0, 0, 1). 則 cos

12、= /1川=.設(shè)所求二面角為 0 ,則sin 0 = 1 U = /.所以，所求二面角的正弦值是：，.答案6.解法一 :(I)因?yàn)?PDL平面 ABCD, BC?平面ABCD, 所以PDL BC.由/ BCD=90 ,得 BCL DC.又 PDH DC=D, PD?平面 PCD,DC?平面PCD,所以BCL平面 PCD.因?yàn)镻C?平面PCD,所以PC! BC.(n)連結(jié)AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.因?yàn)?AB/ DC, /BCD=90 ,所以 / ABC=90 .從而由AB=2, BC=1,得 ABC的面積 Sabc=1.由PDL平面ABCCM PD=1,得三棱錐P-ABC的體積1V=

13、Saabc - PD=.因?yàn)镻DL平面 ABCD, DC?平面 ABCD,所以PDL DC.又 PD=DC=1,所以 PC= ；：-=.由 PC! BC, BC=1,得PBC 的面積 4pbc=1 1正 1 6由 Y=SaPB(h=3 - h=*,得 h=，2.因此，點(diǎn)A到平面PBC的距離為.解法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).二=(0, 1, -1), =(-1,0, 0).Pt - BC=0 x (-1)+1 x0+( -1) X0=0, /.PCIBC.fnPC=O,仍(n)設(shè)平面PBC的法向量n=(x,

14、y, z),則有im由即i x=0.令y=1得n=(0, 1, 1). 又1AMi 1血乙0：21必因?yàn)锳(1, -1, 0), Ah=(0, 2, 0),所以點(diǎn)A到平面PBC的距離d=而 = V#+F=/2.a efl 解法三:(n)取AB中點(diǎn)E,連DE,貝U DE/ BC, DE/面PBC,貝U A點(diǎn)到面PBC的距離等于E點(diǎn)到面PBC距離的2倍，即等于點(diǎn)到面 PBC距離的2倍.過(guò) D 作 DHL PC,貝U DHL面 PBC.在 RHPCD中，DH=.A到面PBC的距離為也6.答案7.解法一 :(I)連結(jié) AiB,記AiB與AB的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊?AABiB為正方形，故AiB,AB,且AF

15、=FB.又AE=3EB,所以FE=EB.又D為BB的中點(diǎn)，故 DE/ BF, DEL ABi.M作 CGL AB, G為垂足，由 AC=B(口，G為AB中點(diǎn).又由底面 ABCL面 AABB,得CGL面AABiB.連結(jié)DG,則DG/ AB,故DEL DG,由三垂線定理，得DEL CD.所以DE為異面直線AB與CD的公垂線.(n )因?yàn)镈G/ ABi,故/ CDG為異面直線 AB與CD的夾角，/ CDG=45 .設(shè) AB=2,則 AB=2i2, DG=42, CG=42, AC= a .作BihIXA1C1, H為垂足.因?yàn)榈酌?AiBiC面AACiC,故BiH上面AACC,又作 HKLAO, K

16、為 垂足，連結(jié)BiK,由三垂線定理，得BiKLAC,因此/BiKH為二面角Ai-ACi-Bi的平面角.BiH=A叼AJHC=Je6孫 HAC=.U丁 = , HK=AA HCtan / B iKH=HK =，1 14,所以二面角Ai-ACi-Bi的大小為arctan解法二:(I)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.C.設(shè) AB=2,貝U A(2, 0, 0), Bi(0, 2, 0), D(0, i, 0),E，又設(shè) C(1,0, c),則口后=(22)凡*=(2,-2, 0), DC=(1,-1, c).于是 tit - BiA=0, ote tit

17、=0,故 DEL B lA, DE SC,所以DE為異面直線AB與CD的公垂線.(n )因?yàn)轳R”,1介等于異面直線ab與CD的夾角，故31A. DC=| BA| . DC|cos 45,即 2d2x M+2x$=4,解得c=,故此=(-1,0, 嫄).又 =B =(0, 2, 0),所以 = , + =(-1,2,).設(shè)平面 AAG的法向量為 m=(x, y, z),則 m- Ai=0, m -必i=0,即-x+2y+ 2z=0 且 2y=0.令 x=,則 z=1, y=0, 故 m=(V2,0, 1).設(shè)平面 ABG的法向量為n=(p, q, r),則 n ”i=0, n 盤(pán)=0,即-p+2q+r=0, 2p-2q=0.令 p=Z 則 q=H, r=-1,故 n=(#，M,-1).rnn 所以 cos= .|l1 =.-.由于m, n等于二面角 Ai-ACi-Bi的平面角，逗所以二面角 Ai-ACi-Bi的大小為arccos 15 .7.答案8.(i) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0, 0),B(2,0, 0), C(0,2, 0), D(i,i, 0), Ai(0,0,4), G(0,2, 4),所以章=(2,0,-4),而=(i,-i, -4).因?yàn)閏os=: I;:.;J=趣知