高觀點下的高考數(shù)學(xué)函數(shù)問題-晉江第二中學(xué)

1、高觀點下的高考數(shù)學(xué)函數(shù)問題晉江二中林建彬摘要：在高等數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)比較靠近， 例如函數(shù)，它既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識，也是在高等數(shù)學(xué)中要繼續(xù)深入研究的重要對象.且有些概念、 結(jié)論只要稍作敘述，就能以中學(xué)數(shù)學(xué)的形式出現(xiàn)，比如函數(shù)的凹凸性，函數(shù)的拐 點，函數(shù)的有界性，函數(shù)的封閉性等。在近年的高考試題中，經(jīng)常會出現(xiàn)以高等 數(shù)學(xué)知識為背景的試題，這些試題既能考查學(xué)生能力，又有利于高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識內(nèi)容上的和諧接軌。關(guān)鍵詞：高觀點高考數(shù)學(xué)高題低做高中數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備和基礎(chǔ), 的選拔性考試一直關(guān)注這兩者的銜接點,高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展，高考作為高校從這個角度設(shè)計的試題,教學(xué)具有良好

2、的導(dǎo)向作用， 因此以高等數(shù)學(xué)豐富的內(nèi)容為感性材料, 于高中教學(xué)的數(shù)學(xué)問題，這正是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究所關(guān)注的一個課題。觀點高，立意新，對中學(xué)適當(dāng)移植，可產(chǎn)生適合函數(shù)的凹凸性【知識背景】觀察拋物線y = x2, y = jx,它們在區(qū)間（0,1）都是單調(diào)遞增，但彎曲的方向不一樣。這說明，在研究函數(shù)的圖形時，僅知道他們的單調(diào)性是不夠的，還需要考察曲線的彎曲方向-函數(shù)的凹凸性。定義： 設(shè) f (x)定義于a,b, Vx1,x2wa, b若 ftxi +(1t)X2tf (xj+(1t)f(X2。0 ct tf (x1)+(1-t)f(x2), 0t1 則稱 f(x)為a,b上的凹(下凹)函數(shù)，如圖2所示

3、。（注：函數(shù)的凹凸性是由函數(shù)的圖像由下而往上看得來的概念）1牛寸力I地，當(dāng)t= 一時有下面的推論：,則稱f（x）為a,b上2若f (xf(x1) f(x2)設(shè) f (x)定義于a, b , Vx1,x2a,b,的凸（上凹）函數(shù)。什.x1 x2f(x1) - f(x2)若f(12)之 2,則稱f (x)為a,b上的凹(下凹)函數(shù)，如圖所示。22圖形上任意弧段位 于所張弦的下方圖形上任意弧段位 于所張弦的上方函數(shù)凹凸性的判定:如果函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在(a,b)內(nèi)解：易知，f3(x)是正比例函數(shù)，必滿足條件故結(jié)論只可能是A或C.在已知條件中令九=1 ,得f (

4、x1 2) 0,則f (x)在a, b上的圖形是凹的f”(x)0,則f (x)在a, b上的圖形是凸的例如：判斷曲線y=x3的凹凸性角軍： y =3x2, y =6x,當(dāng)x0時，y*0時，y0,，曲線在0,一)為凹的；【考題賞析】例1、如圖fi(x)(i =1,2,3,4)是定義在0,1上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)“對0,1中的任意的xx2,任意的Kw0,1,有f九 +(1九/2曾便)+(1K)f(xz)恒成立”的有( )下凹”，不可“向上凸”,故選A.例 2、在 y =2x , y = log2 x , y = x2 , y = cos2x 中，當(dāng) 0 x1 f (x + f (x2)恒成立的

5、函數(shù)的個數(shù)是()22A. 0B. 1C. 2D. 3解析：答案為 B,要使f( 2) A xi) * X2)恒成立,由函數(shù)值的定義及函數(shù)圖像 22即需要函數(shù)在0cx1內(nèi)為凸函數(shù)。而y=2x,y = x2,在0 x1內(nèi)為凹函數(shù)，y = cos2x在0 x 1內(nèi)先凸后凹函數(shù)。只有 y = log2x在0 x0f+fNx1 -x222當(dāng)f(x)=lgx時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 解析：對于考查對數(shù)的運算性質(zhì)，驗證得滿足題意對于考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，f (x) = lg x為增函數(shù)，所以正確對于考查函數(shù)的凹凸性，f(x)=lgx為凹函數(shù)滿足f (Al) f()+f (x2),所以22不正確。例4.

6、 (2012年福建理10)函數(shù)f (x)在a, b上有定義，若對任意x1,x2wa,b,有f(x1 *x2) M1f (x)+ f(x2),則稱 f(x)在a,b上具有性質(zhì) P。設(shè) f(x)在1,3上具 22有性質(zhì)P ,現(xiàn)給出如下命題：f(x)在1,3上的圖像時連續(xù)不斷的；f(x2)在1,3上具有性質(zhì)P；若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x) = 1, x1,3；對任意 x1, x2, x3, x4 w 1,3,有 f(x1 +x2+x3+x4) “f(xj+ f(x2) + f(x3)+f(x4)。24其中真命題的序號是()D.A. B. C.解析：答案為D,在選項中f(XiX2X3X

7、4)=f(Xi X2) (X3 X4)力 2 f 函)2 f 2跣3) 2 f (X4)知*) fA:) 2221f (X1) f(X2) f(X3) f(X4)4函數(shù)的拐點【知識背景】拐點的定義：設(shè)曲線y=f(x)在點(比，f (x0)處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的，這時稱(, f (X0)為曲線y = f(x)的 拐點.(即為曲線凹凸部分的分界點)例如點 (0,0)是曲線y = x3的拐點。 必須指出；若 (X0, f (x0)是曲線y=f (x)的一個拐點，y =f(x)在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如y = 1X在x拐點的求法：設(shè)函數(shù) f (X)在的鄰

8、域內(nèi)二階可導(dǎo)，且 f (%) = 0,X0兩近旁f (x)變號，點(x0, f (x0)即為拐點;X0兩近旁f (x)不變號，點(x0, f (x0)不是拐點例：求曲線 y=3x44x3+1的拐點及凹凸區(qū)間。解：定義域為(if y = 12x312X2, y = 36x(x2)32v y = 0,信 x = 0, X2 =一.3觀察x, f (x), f (X)的變化情況,如下表:X(RO)0(，%)%(%”)+00+凹的拐點凸的拐點凹的所以曲線y=3x44x3+1的拐點是(0,1),(2,H)3 27【考題賞析】 例i對于三次函數(shù)/=& +/+。+dg *，定義一(外是y=/5)的導(dǎo)函數(shù) 尸

9、二廣(幻的導(dǎo)函數(shù)，若方程/*(工)=0有實數(shù)解X0,則稱點為函數(shù) 尸/任)的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何三次函數(shù)都有“拐點”， 任何三次函數(shù)都有對稱中心， 且“拐點” 就是對稱中心，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷下列命題：任意三次函數(shù)都關(guān)于點(-2)對稱： TOC o 1-5 h z 3白3a存在三次函數(shù)= 0有實數(shù)解/，點為函數(shù)y =的對稱中心；存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心；若函數(shù)雪=-x1 - X1 -,則，321 ug(-)+)+#(2)+g(Z2U)= -105.55 2012 5 201220126 2012 .其中正確命題的序號為 (把所有正確命題的序號都填上)例 2.對于三次函數(shù) f

10、 (x) =ax3+bx2+cx+ d (a # 0).定義：(1)設(shè)f “(x)是函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f(x)=0有實 數(shù)解xO,則稱點(%, f (%)為函數(shù)y = f(x)的“拐點”；定義：(2)設(shè)x0為常數(shù)，若定義在 R上的函數(shù)y = f (x)對于定義域內(nèi)白一切實數(shù) x, 都有f (%+x) + f (%x) =2 f (%)成立，則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于點(x0,f(x0)對 稱. 32已知f(x)=x 3x +2x+2,請回答下列問題：(1)求函數(shù)f(x)的“拐點” A的坐標(biāo)(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱，對于任意的三

11、次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論(不必證明)(3)寫出一個三次函數(shù) G(x),使得它的“拐點”是 (-1,3)(不要過程)解析：(1)依題意，得：f (x) =3x2 6x+2 ,二 f(x)=6x-6。 2分由 f (x) =0 ,即 6x6=0。x=1 ,又 f(1) = 2,f(x) =x3 -3x2 +2x+2 的“拐點”坐標(biāo)是(1,2)。(2)由知“拐點”坐標(biāo)是(1,2)。而f(1 x) f (1 -x) = (1 x)3 -3(1 x)2 2(1 x) 2 (1 -x)3 -3(1-x)2 2(1-x) 2=2+6x266x2 +4+4=4=2f (1),由定義(2)知：f (x)

12、=x33x2+2x+2關(guān)于點(1,2)對稱。3 . 2.b b一般地，二次函數(shù) f(x)=ax +bx +cx + d(a#0)的 拐點 是 一一，f (一一)1, 3a 3a它就是f(x)的對稱中心。(或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù))都可以給分(3 ) G(x) =a(x+1)3 +b(x+1) + 3 (a#0)或 寫出一個具體 的函數(shù)，如3- 23_ 2G(x)=x +3x +3x+4或G(x)=x +3x x。三.函數(shù)的有界性【知識背景】函數(shù)的有界性表示函數(shù)的值域有一個固定的范圍，即其值始終不能某個界限。這是直觀的認(rèn)識。

13、數(shù)學(xué)上需要給出明確的定義。對于函數(shù)f(x),若存在一個正數(shù) M ,對于任意的xWD ,都有|f(x)|WM ,則稱f (x)在定義域D上有界，或稱f(x)是定義域上的有界函數(shù)。幾何上有界的含義指f(x)的圖像被夾在兩條平行線y=M之間，不能超越之。反之，若又任給的正數(shù)M，存在x0 w D ,使| f (x0)| M ,則稱f(x)在D上無界。這就是說，有界者必須始終不越界，而無界者只須一處越界便成立。有界性可分為上有界和下有界，即單方向的。對于函數(shù)f(x),若存在一個實數(shù)M ,對于任意的 xw D ,都有f(x) N ,則稱f (x)在定義域D上為下有界,N稱為f(x)的一個下界。顯然若 f(

14、x)上有界或下界，那么它的上、下界都不是唯一的。由此，有界函數(shù)也可以定義為滿足下列條件:N f(x) M , Vx= D 。要注意的是，這里的數(shù) M和N ,必須是有限值，否則屬于無界。例如正弦函數(shù) y=sinx在R上的最小值為-1,最大值為1,所以它是有界的,而函數(shù)f (x) T1 _3x|從畫出的圖像看，顯然是有下界而無上界。其下界為0。所以這個函數(shù)無界【考題賞析】例1.對于函數(shù)f (x),在使f(x) M成立的所有常數(shù) M中，我們把 M的最小值稱為函 TOC o 1-5 h z 數(shù)f(x)的“上確界”，則函數(shù)f(x)=(n的“上確界”為()x 11(A) (B) (C) 2(D) 442點

15、評：本題主要考查函數(shù)的值域，解決本題的關(guān)鍵在于理解題意，知道所求問題就是求函數(shù)2_(x 1)2x2f(x)的最大值即 f (x) =( 2 )=1+,=1+W2 故選 Cx 1 x 11x x例2 定義在D上的函數(shù)f (x),如果滿足；對任意x W D，存在常數(shù)M A0 ,都有f (x) M M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)2f (x) = 1 + x + ax ,(1)當(dāng)a = -1時，求函數(shù)f (x)在(一8,0)上的值域，并判斷函數(shù)f (x)在(_g,0)上是否為有界函數(shù)，請說明理由；(2)若函數(shù)f (x)在xw 1,4上是以3為上界的函數(shù)，求

16、實數(shù) a的取值范圍.1 o 51斛析：(1) a =-1 時 f (x) =1+x-x =(x) + 對稱軸為 x =- 242二f (x)在xW(-,0)上單調(diào)遞增:f(x)0,使f (x) M都成立。故f (x)不是有界函數(shù)。(2)若f (x)在xw 1,4上是以3為上界的有界函數(shù)，則 f (x) 0 (b w R)恒成立，于是， = (4a)2 -16a 0 解得 0 a 1.故 當(dāng)bwR, f(x)包有兩個相異的不動點時，a的取值范圍為0a1.例2已知數(shù)列an中，a1 =1, an書=2an +1求數(shù)列的通項公式 斗。解：因為an + = 2an +1 ,所以x = 2x +1 = x = -1 ,兩邊都減去不動點 T 得 %+1=24+1+1,所以可以得到 4由+1=2(4+1),設(shè) 4+1 = bn,所以 bn由=2bn, 數(shù)列Ln為等比數(shù)列，故bn=D 2n ” = 2n,所以an=bn-1=2n-1o點評：用函數(shù)的不動點求數(shù)列的通項公式：如果給出的數(shù)列的遞推式中不含有自變量n的函數(shù)f(n),那么就可以考慮用函數(shù)的不動點法：