高職單招單考復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)64：二面角

1、考點(diǎn)64二面角【考點(diǎn)分析】.考試要求了解半平面、二面角、直二面角的概念，理解二面角的平面角的概念，能求二面角的平 面角.考情分析面面角為近幾年的重要考點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，以解答題形式為主，分值約為2 7分，主要考查二面角的平面角的求值.知識(shí)清單(1)二面角的相關(guān)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面；(2)二面角平面角定義：過(guò)棱上的一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作與棱垂直的射線，以這兩條射線為邊的最小正角，叫做二面角的平面角；(3)二面角平面角的取值范圍是0 w 180，當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角為0；當(dāng)二面角的兩個(gè)半

2、平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角為180;當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，規(guī)定二面角的大小為90 .棱上一點(diǎn)雙垂線法：如圖(1)在棱上任取一點(diǎn) O,過(guò)這點(diǎn)在這兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線OA,OB, AOB就是二面角的平面角；面上一點(diǎn) 三垂線法：如圖(2)自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn) A向另外一個(gè)面引垂線AB,過(guò)B作OB 1,連接AO, AOB就是二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：如圖(3)若1, AOB就是二面角的平面角；【精確診斷】1.正方體ABCD ABGD中，平面ABC1D1與平面ABCD所成的角為(A. 30B.45C.60D.902.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為則側(cè)面與底面所成角的余弦值【答案】15 .153. (2

3、014 年第 32 題)(1)畫出底面邊長(zhǎng)為意圖；(2)由作出的正四棱錐4cm,高為2 cm的正四棱錐ABCD的示【答案】(1)作圖如下:P ABCD求二面角PAB(2)如圖所示，取 AB的中點(diǎn)M,底面的中心C的大小.O, PM AB,BC / OM ,OMAB,PMO即為二面角AB C的平面角，由題意可得 tanPMO2 r 一一一 一一,、萬(wàn)1,即二面角P AB C的度數(shù)為45.【精準(zhǔn)突破】題型1雙垂線法型例1如圖，正方體ABCDABQiDi中，求平面 ADQ與平面ABCD所成角的正切值.【思路點(diǎn)撥】求面面角的關(guān)鍵是找棱的垂線，都是等腰三角形,可以取中點(diǎn)用三線合一.【問(wèn)題解答】解：如圖，連

4、接 BD交AC于點(diǎn)O ,由正方體性質(zhì)易得 AD DC, AD1D1cDO AC, D1O ACDO 平面 ABCD ,D1O 平面 AD1GD1OD就是所求的角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則RtA D1OD 中，DD12, DO V2,AB題型2 三垂線法型例2 如圖所示，DA 平面ABC,在RtA ABC中，BAC=90 ,3, AC 4, AD 4,求二面角D BC A的平面角的正切值.在 RtA ABC 中，由 BAC=90 , ABtan D1OD= 2.【變式1】正方體ABCD A181c1D1中，二面角D AD C的平面角的余弦值【變式 2】正方體 ABCD ABiCiDi中，求平面

5、 A1DC1與平面 ADD1A所成的角正弦【思路點(diǎn)撥】線面垂直考慮三垂線法.【問(wèn)題解答】解：過(guò) A作AELBC,連接DE,-DA 平面 ABC, DA BC,又 v DA AE A, BC DE即DEA就是所求的角， TOC o 1-5 h z 一 一一.r _123, AC 4,勿信 AE=,5AD 5 5tan DEA=不，即所求的角正切值為 -.E 33【變式】如圖所示 ，PA 平面ABCD ,且ABCD是矩形AB 2, AD 2& AP 3,求二面角P BD A的平面角的 正切值.【答案】過(guò)A作AFLBD,連接PF , 丫 PA 平面 AC, PA BD,又PAnAF A, BD PF

6、,即PFA就是所求的角，由 BAD=90 , AB 2, AD 2 而易得 AF = tan PFA 鬢=點(diǎn)，即所求的角正切值為百. r題型3垂面法型例3 如圖所示，SA 平面ABC, AB BC,SA AB3面角C SA B的平面角的大小.【思路點(diǎn)撥】線面垂直中的線恰好是該二面角的棱，考慮垂面法【問(wèn)題解答】解： SA 平面ABC, SA AB ,SA AC,BAC就是所求的角，“AB BC, AB BC,BAC 45 ,即二面角C SA B的平面角的大小為 45 .【變式】題目如例題，則 S BC A的平面角的大小為 【答案】45 .題型4面面角已知型例4如圖，在平面角為60的二面角-l-內(nèi)

7、有一點(diǎn)P,過(guò)P作PC 交于點(diǎn)C, PD 于點(diǎn)D,且PC 1, PD 2,則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)一【答案】7.【變式】平面角為 60的二面角 -l-內(nèi)有一點(diǎn)P,且P到兩個(gè)半平面的距離都等于 6,則點(diǎn)PU棱l的距離為.【答案】12.【反思提升】.思想方法(1)解題關(guān)鍵是找棱的垂線，然后證明所求角，首先考慮現(xiàn)有的垂線，再考慮添輔助 線或找垂面.(2)抽象二面角 -l-可直接用長(zhǎng)方形折紙模型.誤區(qū)指津(1)面面角找到一定要說(shuō)明.(2)要注意取值范圍，有鈍角 .【精細(xì)訓(xùn)練】考點(diǎn)64二面角A基礎(chǔ)訓(xùn)練、選擇題1.正方體ABCDABiCDi中，二面角 A BD A1的平面角的正切值為（得 C. 2 D.-62.若

8、二面角-l-的大小為60 ,其中內(nèi)有一點(diǎn)P,且點(diǎn)P到棱l為2，3 ,則P到距離的距離為（）A. 1 B.2 C.2.3D. 3【答案】D.3.在正四棱錐 P ABCD中,PA 2底AB 4,二面角P AB C的大小為（A. 30 B. 45 C. 60【答案】C.D. 90則二面角P BC A4個(gè)6.如圖所示，四邊形 ABCD為正方形,PA 平面 ABCD ,PA AB 2 則.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點(diǎn), 的平面角為（）.A. ABP B. ACP C. PAC D.者 B 不是【答案】B.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，對(duì)于下列結(jié)論： AC BD;

9、ABCD為等邊三角形； AD與AB所成角為60 ; 1 ,AD與平面ABC所成角的余弦值為 萬(wàn)，其中正確的個(gè)數(shù)為（）.A. 1 個(gè) B. 2 個(gè)C.3 個(gè)D.【答案】C.平面PAD與平面ABCD所成的角為平面PBC與平面BCD所成的角為平面PBD與平面ABCD所成的角的正切值為.【答案】90 ；45 ； 2.在正三柱 ABC AB1C1中，已知 AB=2, AA| 3,則二面角 A BC A的大小.已知斜坡面和水平面所成的二面角的大小為45 ,某人沿坡面內(nèi)一條直線與坡腳成、填空題60的直線前進(jìn)160米，則升高 米.【答案】40 6三、解答題9.在正方體 ABCD AB1C1D1的棱長(zhǎng)為2,求二

10、面角 D1 AC【答案】如圖，連接 BD交AC于點(diǎn)O,由正方體性質(zhì)易得 AB BC, AD1 D1cBO AC, D1O AC ,BO 平面 ABCD,D1O 平面 AD1C,B的平面角的余弦值B所以由余弦定理得cos DiOBOB2 D1O2 BD2-2 OB D1OOD法一：Rt D1DO 中，cos DiOD 西cos D1OBcos D1OD10. (2015年第33題)在長(zhǎng)為 a正方體 ABCD分成兩部分；求：(1)直線GB與平面AD1C所成的角；(2)平面CQ與平面AD1C所成二面角的余弦值(3)兩部分中體積大的部分的體積.A B1C1D1中，平面ADQ把正方體【答案】(1)由CB

11、/ AD1, AD1 平面AD1C ,易得CB II平面AD1C所以所求角為 0 ；(2)連ZCD1 ,C1 D相交于點(diǎn)O,連結(jié)AO,易知平面C1D與平面 AD1C所成二面角的為 AOD或其補(bǔ)角.Rt ADO中，AD a, DO ga,AOAD2 DO2 咚 a ,故OD 3cos AOD,即平面CD與平面AD1c所成二面角的余弦值為O33T 3T或三；111(3)V*s aDDd a a一鋌 BADC 33adc 13 2a a136a,故兩部分中體積大 3135 3的部分的體積為V正方彳V ADC a 6a 6a .B提升訓(xùn)練1.空間三條射線 PA, PB,PC不共面，若 APC APB45 , BPC 60 ,則二面角DiOB就是所求的角，由題知：OB & DiO=；6, DB 2后B PA C的大小是【答案】90 .在長(zhǎng)方形 ABCD中，若AB 葬cm, BC 1 cm,沿對(duì)角線BD折成直二面角，則A到C 的距離是.10cm.22, BC 3, PB 6,求