高考數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-絕對值不等式

1、典型例題一絕對值不等式例1解不等式x+1 |2x3 -2分析：解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念a=3a(a*0)，將不等式中-a(a0)的絕對符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含絕對值的不等式(組)，再去求解.去絕對值符號(hào)的關(guān)鍵是找零點(diǎn)(使絕對值等于零的那個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn))，將數(shù)軸分成若干段，然后從左向右逐段討論.3解：令 x +1 =0 ,， x = -1,令 2x -3 = 0 ,，x =，如圖所示.2(1)當(dāng)xW1時(shí)原不等式化為 (x+1)(2x3)2 x A 2與條件矛盾，無解.一3(2)當(dāng)1 x -(2x -3) -2 .23 x A 0 ,故 0 x 時(shí)，原不等式化為23x+1

2、2x-3-2 .，x 6 ,故 x6.2綜上，原不等式的解為 0 :二x :二6:.說明：要注意找零點(diǎn)去絕對值符號(hào)最好畫數(shù)軸，零點(diǎn)分段，然后從左向右逐段討論，這 樣做條理分明、不重不漏.典型例題二例2求使不等式x-4 + x-3a有解的a的取值范圍.分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解十分簡 便.解法一：將數(shù)軸分為(-叫33,4,(4，收)三個(gè)區(qū)間 TOC o 1-5 h z 7 - a7 - a當(dāng)x3時(shí)，原不等式變?yōu)?4 一x)+(3 -x) 有解的條件為 1 ；當(dāng) 3 MxM4時(shí)，得(4 -x) +(x3) 1 ；a ：；,7a ：:. 7.當(dāng)x 4時(shí)，得（

3、x 4）+（x 3） M a,即x4 - a 1 .22以上三種情況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為 a1 .P A B1，解法二：設(shè)數(shù)x, 3, 4在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為P, A, B,如圖，由絕對值的幾何定義，原不等式PA +|PB 1 時(shí)，x4+x3a 有解.典型例題三例 3 已知 x -a -,0 |y -b 弟，y w (0, M),求證 xy-ab s . 2 M2 a分析：根據(jù)條件湊x -a, y -b .證明： xy-ab =xy-ya ya-ab+ a2M2|a|y(x a) +a(y b) | y x -a +|a| y -b |a - b1a分析：使用分析

4、法22證明i a 0，只需證明a2 -b2至a - a|b ,兩邊同除b ,即只需證明b2 一仃-1/）當(dāng)亙之1時(shí),b當(dāng)月1時(shí),ba 2a 2、 a 2(-)-1 =(一) -1(-)bbb-b 0,原不等式顯然成立.，原不等式成立.說明：在絕對值不等式的證明，常用分析法.本例也可以一開始就用定理:a(1)如果b1.則a - b 0 ,原不等式顯然成立. TOC o 1-5 h z .一 bb(2)如果 l -b ,利用不等式的傳遞性知aa|原不等式也成立.典型例題五小 “十 a +baIbl例 5 求證! 十LL .1 +|a+b| 1 +|a| 1 +|b|分析：本題的證法很多， 下面給出

5、一種證法： 比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全 相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明.x 1x7/1證明：設(shè) f (x) =1 -.1 x 1 x 1 x定義域?yàn)?x x w R ,且x # 1 , f (x)分別在區(qū)間 y , -1),區(qū)間(1,十8)上是增函數(shù).又 0 平 +b |a +|b ,f (a +b) W f (a + b)a +b|a| +|b|a|b|忖 H即=1, 十1 ； , 0 ,.a +b|a| +|b|1al1bl1al|b, , 士=T三:T.1+a+b 1 +|a +b| 1+|a+b| 1+|a+b|1 +|a| 1Hbi錯(cuò)誤在不能保證1 +

6、 a +b|之1 + a , 1 +|a+b之1 + b .絕對值不等式 a b a + b在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活. 放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時(shí)調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu).典型例題六例6關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x2(a 1)2(a _1)2 與 x2 -3(a +1)x +2(3a +1) 0 (aw R)2的解集依次為 A與B ,求使A = B的a的取值范圍.解：解不等式_ (a_1)22(a-1)2一 ?2(a-1)2(a 1)2 (a-1)2x 一-222，A = 4 2a x a2 +1, a = R解不等式 x2 -3(a+1)x+2(3a +1)0

7、, x-(3a+1)(x-2) 0 .-1 .當(dāng)a a時(shí)(即3a +1 a2時(shí))，得B =x3-1 . 一當(dāng) a E時(shí)(即 3a +1 M2時(shí))，得 B =，x3.1當(dāng)a a-時(shí)，要滿足 3a =1 .所以a的取值范圍是八c ，12MxM 3a 1, a33a+1x2,a. ，32a 2,AB ,必須0故1 EaE3;a2 +1 3a +1, 2a2 +1;a 1,-1an時(shí)，求證：am -an -.2n分析：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的前n項(xiàng)和，它的任意兩項(xiàng)差還是某個(gè)數(shù)列的和，再利用不等式a1 +a2 +an nsin(n +2)a 22sin(n+1)a sin(n+2)a sin ma a

8、m -an =2+22+ + 2m-sin(n 1)a（1 - ？m）11 -22 n 11十 一 十2m1111聲)T-嚴(yán) 1) -1為公比，共有2m -n項(xiàng)的等比數(shù)列r 1111,、，.，說明：匕+是以1A為首項(xiàng)，以 2 n 2n 22m 2n 1的和，誤認(rèn)為共有 m -n -1項(xiàng)是常見錯(cuò)誤.正余弦函數(shù)的值域，即 sin q 1, cosod 1 ,是解本題的關(guān)鍵.本題把不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、n個(gè)變量的絕對值不等式問題連在一起，是一個(gè)較為典型的綜合題目.如果將本題中 的正弦改為余弦，不等式同樣成立.典型例題八例 8 已知 f (x)=x2 -x+13, x-a 1 ,求證：|f(x) f

9、(a) 2(a +1)分析：本題中給定函數(shù) f(x)和條件|x-a 1 ,注意到要證的式子右邊不含 x,因此對 條件x-a 1的使用可有幾種選擇：(1)直接用；(2)打開絕對值用a-1xa+1,替出x; (3)用絕對值的性質(zhì) x -a |x-a 1= |x |a +1進(jìn)行替換.證明：= f (x) =x2 -x+13 ,f (a) =a2-a+13 ,x -a 1, l- x-a |x -a 1 .x a +1,f (x) - f (a) = x2 -a2 +a -x=(x -a)(x a) -(x-a)=|(x -a)(x +a -1)=x a x +a -1|x +a -1 |x +|a

10、+1 |a +1 +|a +1 =2(a +1),：2（a說明：這是絕對值和函數(shù)的綜合題,這類題通常要涉及絕對值及絕對值不等式的性質(zhì)等綜合知識(shí)的運(yùn)用.分析中對條件x-a 3 +x 2 +xA. x 0 cx 2C. 1x 0 cx 46)。0cx2.5D. x 0 x 七4 ,知3 + x 2 +x舒0-3 x 3 ,又x A0 ,0 x 3 ,解原不等式組實(shí)為解不等式3 -x3 x2 二x 2-x(0 x(3 + x)2(2-x)2 .(x2 -x -6)2 (x2 +x -6)2 , 即(x2 x - 6 +x2 +x -6)(x2 - x- 6-x2-x+6)0,1- x(6 -x2)

11、0 ,又 0 cx 3 .2 2x2 -6 00 x 300 , 可分成兩種情況討論：（1）當(dāng)0 cxM2時(shí)，不等式組化為 32 （02時(shí)，不等式組可化為 3口 2二（x 2 ）,3 x 2 x解得 2 x V6 .綜合（1）、（2）得，原不等式組的解為 0 x0的條件下，解一個(gè)含絕對值的分式不等式，如何去絕對值是本題的關(guān)鍵所在，必須注意， 只有在保證兩邊均為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能將不等式兩邊同時(shí)平方.另種方法則是分區(qū)間討論，從而去掉絕對值符號(hào).當(dāng)然本題還可用特殊值排除法求解.典型例題十例 10 設(shè)二次函數(shù) f (x) =ax2 +bx+c( a0 ,且 b#0),已知 b a , f(0) 0知，二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線；從xM1且f(1)M1, f(1) 15 知，要求證的是|f(x) -,所以拋物線的頂點(diǎn)一定在x軸下方，取絕對值后，圖像翻到x軸上方.因此拋物線的頂點(diǎn)的取值非常重要，也是解這道題的關(guān)鍵所在.證明：2b =(a+b+c) (ab+c)|a +b +c +|a -b + c=f(1) + f (-1) 1 +1=2 ,b 1 .又 b a ,b2a121 又 |c = f(0)W1, f (焉)4ac -b24a fT)=cb24aEcb24aI；而f(x)的圖像為開口向上