高中數(shù)學(xué)（必修+選修）知識點綜述

1、- PAGE 45 -必修 1 知識點f (x1 ) f (x2 ) 0 f (x)在a, b 上是減函數(shù).第一章：集合與函數(shù)1.1.1、集合1、 把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無步驟：取值作差變形定號判斷格式： 解： 設(shè) x1 , x2 a, b 且 x1 x2 ， 則：f x1 f x2 =(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù) y f ( x) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，序性。2、 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3、 常見集合：正整數(shù)集合： N * 或 N ，整數(shù)集合：若 f ( x) 0 ，則 f (x) 為增函數(shù)； 若 f ( x) 0

2、 ，則 f (x) 為減函數(shù).1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果對于函數(shù) f x的定義域內(nèi)任意一個Z ，有理數(shù)集合： Q ，實數(shù)集合： R .4、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法、x ，都有 f x f x，那么就稱函數(shù) f x 為區(qū)間法.1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、 一般地，對于兩個集合 A、B，如果集合 A 中任意一個元素都是集合 B 中的元素，則稱集合 A 是集合 B 的子集。記作 A B .2、 如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，則稱集合 A 是集合B 的真子集.記作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.記作： .并規(guī)定：空集合是任何集合的子集

3、.偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱.2、 一般地，如果對于函數(shù) f x的定義域內(nèi)任意一個x ，都有 f x f x，那么就稱函數(shù) f x為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.知識鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù) y f ( x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：4、 如果集合 A 中含有 n 個元素，則集合 A 有2 n 個子函數(shù) y f ( x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f ( x) 在P( x0 , f (x0 ) 處的切線的斜率 f (x0 ) ，相應(yīng)的切線方集， 2n 1個真子集.程是 y y0 f ( x0)( x x0) .1.1.3、集合間的基本運算1、 一般地，由所有屬于集合 A

4、 或集合 B 的元素組成的集合，稱為集合 A 與B 的并集.記作： A B .2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C 0 ； ( xn ) nx n1 ；2、 一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元素組成的集合，稱為 A 與B 的交集.記作： A B . (sinx) cos x ； (cos x) sin x ；3、全集、補集？ CU A x | xU ,且x U (a ) a ln a ； (e ) e ；x xx x1.2.1、函數(shù)的概念1、 設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng) (log a 1x ln a； (ln x) 1x關(guān)系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x

5、，在集合 B 中都有惟一確定的數(shù) f x和它對應(yīng)，那么就稱 f : A B 為集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)，記作： y f x, x A .3、導(dǎo)數(shù)的運算法則（1） (u v) u v .（2） (uv) uv uv .u uv uv2、 一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值（3） ( ) v(v 0) .v2域.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.1.2.2、函數(shù)的表示法1、 函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.1.3.1、單調(diào)性與最大（?。┲?、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法：設(shè)x1、x2 a, b, x1 x2 那么

6、復(fù)合函數(shù) y f (g ( x) 的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y f ( u), u g( x) 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yx yu ux ，即 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)等于 y 對u 的導(dǎo)數(shù)與u 對 x 的導(dǎo)數(shù)的乘積.解題步驟:分層層層求導(dǎo)作積還原.更多資料盡在江蘇對口單招交流群：540974753f (x1) f (x2 ) 0 f ( x)在a, b 上是增函數(shù)；5、函數(shù)的極值 (1)極值定義：極值是在 x0 附近所有的點，都有 f (x) f (x0 ) ，2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象： y a x a 0, a 1則 f (x0 ) 是函數(shù) f (x) 的極大值；yy=ax極值是在 x0 附近所有的

7、點，都有 f (x) f (x0 ) ，則 f (x0 ) 是函數(shù) f (x) 的極小值. (2)判別方法：如果在 x0 附近的左側(cè) f (x) 0，右側(cè) f (x) 0，那么 f (x0 ) 是極大值；如果在 x0 附近的左側(cè) f (x) 0，右側(cè) f (x) 0，a 10 a 1圖象6654331 114-2-060性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點（0，1），即 x=0 時，y=1（4）在 R 上是增函數(shù)（4）在 R 上是減函數(shù)(5) x 0, ax 1 ;x 0,0 ax 1(5) x 0,0 ax 1 ;x 0, ax 12、性質(zhì)：0a11ox那么 f (x0)

8、是極小值.6、求函數(shù)的最值求 y 將 y f (x) 在(a,b) 內(nèi)的極值（極大或者極小值）f (x) 的各極值點與 f (a), f (b) 比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。注：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較（局部性質(zhì)）；最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較(整體性質(zhì))。第二章：基本初等函數(shù)（）2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算1、指數(shù)與對數(shù)互化式： a x Nx loga N ；1、 一般地，如果 x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根。其中n 1, n N .2、對數(shù)恒等式： aloga N N .3、基本性質(zhì)： log a 1 0 ， log

9、a a 1 .2、 當(dāng)n 為奇數(shù)時， n an a ；4、運算性質(zhì)：當(dāng)a 0, a 1, M 0, N 0 時：當(dāng)n 為偶數(shù)時， n an a .3、 我們規(guī)定： log a MN log a M log a N ； n a m m an log M log M log N ；a aaNa 0, m, n N *, m 1； log a Mn n log a M . a n 1a nn 0；c5、換底公式： logb log c b4、 運算性質(zhì)：alog an a r as ar s a 0, r, s Q；a 0, a 1, c 0, c 1, b 0.6、重要公式： logbm m lo

10、g b ar s a rs a 0, r, s Q ；ana abr ar b r a 0, b 0, r Q.7、倒數(shù)關(guān)系：log b 1a 0, a 1, b 0, b 1.balog a2.2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象： y log a xa 0, a 1y使得 f c 0 ，這個c 也就是方程 f x 0 的根.2、性質(zhì)：a 1y=logax0a10 a 13.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.必修 2 知識點211 5.圖1 1 1第一

11、章：空間幾何體0 .5象10-0 .5-11- 5.2-01- 00-.-1.1 2 36 71、空間幾何體的結(jié)構(gòu)常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：(1)定義域：（0，+）性 （2）值域：R-2.圓柱、圓錐、圓臺、球。棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍質(zhì) （3）過定點（1，0），即 x=1 時，y=0（4）在 （0，+）上是增函數(shù)（4）在（0，+）上是減函數(shù)成的多面體叫做棱柱。(5) x 1, log a x 0 ；0 x 1,log a x 02.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象：(5) x 1, log a x 0

12、 ；0 x 1,log a x 0棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積圓柱側(cè)面積； S側(cè)面 2 r l第三章：函數(shù)的應(yīng)用3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點1、方程 f x 0 有實根圓錐側(cè)面積： S側(cè)面 r l 函數(shù) y 函數(shù) y f x的圖象與 x 軸有交點f x有零點.2、 零點存在性定理：圓臺側(cè)面積： S側(cè)面 r l R l如果函數(shù) y f x在區(qū)間a,

13、b上的圖象是連續(xù)不斷體積公式：的一條曲線，并且有 f a f b 0 ，那么函數(shù)V柱體 S h ；V錐體 1 S h ；3上y f x在區(qū)間a, b內(nèi)有零點，即存在c a,b，V臺體 1 S3上S S下S下h球的表面積和體積：球S 4R2，V 4 R3 .球3斜截式： y kx b第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理 1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。2、公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。y yy y兩點式： 1 21 x x1x 2 x1xy3、公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它截距式： 1ab們有且只有一條過該點的公共直線

14、。4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這一般式： Ax By C 03、對于直線：兩個角相等或互補。l : y k x b , l: y kx b 有：6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。17、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直11 22212k k線和平面相交。 l / l 12 ；8、面面位置關(guān)系：平行、相交。b1 b29、線面平行： l 和l 相交 k k ；判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則1212該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一k k

15、l 和l 重合 12 ；12平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則b1 b2線線平行）。10、面面平行： l1 l2 k1 k2 1.判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，4、對于直線：則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。l : A x B y C 0,性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么1111有：它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。l2 : A2 x B2 y C2 011、線面垂直：定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線， l / l A1B2 A2 B1；12B C B C那么就說這條直線和這個平面垂直。1 22 1判定：一條

16、直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， l 和l 相交 A B A B ；則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。121 22 1性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12、面面垂直：A B l 和l 重合 1 2 A2 B1；12定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面B1C2 B2C1角，就說這兩個平面互相垂直。判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的 l1 l2 A1 A2 B1 B25、兩點間距離公式： 0 .直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。P P x x

17、 2 y y 21 22121第三章：直線與方程1、傾斜角與斜率： k tan 2、直線方程：點斜式： y y0 k x x0 y2 y1 x2 x16、點到直線距離公式：Ax0 By 0 Cd A2 B27、兩平行線間的距離公式：l1：Ax By C1 0 與l2 ：Ax By C2 0 平行則C1 C2d A2 B2第四章：圓與方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： x a2 y b2 r 2其中圓心為(a,b) ，半徑為r .一般方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0 .順序結(jié)構(gòu)示意圖：語句 n語句 n+1（圖 1）條件結(jié)構(gòu)示意圖：IF-THEN-ELSE 格式：DE其中圓 心 為 (, )2

18、2語句 2語句 1， 半 徑 為滿足條件？否是r 12D2 E 2 4F .2、直線與圓的位置關(guān)系直線 Ax By C 0 與圓( x a)2 ( y b) 2 r 2的位置關(guān)系有三種:d r 相離 0 ;d r 相切 0 ;IF-THEN 格式：（圖 2）是d r 相交 0 .滿足條件？弦長公式： l 2r 2 d 2否語句 1 k 2(x x )2 4x x 121 23、兩圓位置關(guān)系： d O1O2外離： d R r ；外切： d R r ；相交： R r d R r ；內(nèi)切： d R r ；內(nèi)含： d R r . 3、空間中兩點間距離公式：（圖 3）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：當(dāng)型（WHILE 型

19、）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體P P x x 2 y y 2 z z 21 2212121滿足條件？是第一章：算法必修 3 知識點否（圖 4）1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言； 2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型（UNTIL 型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體否滿足條件？是（圖 5）4、基本算法語句：INPUT“提示內(nèi)容”；變量PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式變量表達(dá)式輸入語句的一般格式：輸出語句的一般格式：賦值語句的一般格式：（“=”有時也用“”）.條件語句的一般格式有

20、兩種： IFTHENELSE 語句的一般格式為：IFTHEN 語句的一般格式為：R2 ；依次計算直至 Rn 0，此時所得到的 Rn1 即為所求的最大公約數(shù)。更相減損術(shù)結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2 約簡；若不是，執(zhí)行第二步。）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。進(jìn)位制十進(jìn)制數(shù)化為 k 進(jìn)制數(shù)除 k 取余法k 進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)

21、較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在 N 個個體的總體中抽取出n 個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為 n 。N循環(huán)語句的一般格式是兩種：當(dāng)型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式：直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式：DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件（圖 5）算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法結(jié)果是以相除余數(shù)為 0 而得到2、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表數(shù)據(jù)詳實頻率分布直方圖分布直觀頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為 1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大

22、書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計：平均數(shù)： x x1 x2 x3 xn ；n取值為 x1 , x2 , xn 的頻率分別為 p1 , p2 , pn ，則 其平均數(shù)為 x1 p1 x2 p2 xn pn ；注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù) x1 , x2 , xn利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：方差： s n ）：用較大的數(shù) m 除以較小的數(shù)n 得到一個商 S0 和一個余數(shù) R0 ；21 n i12(xi x) ；）：若R 0，則 n 為 m，n 的最大公約數(shù)；若Rn200標(biāo)準(zhǔn)差： s 1(x x)IF條件語句 1ELSE語句 2END IFT

23、HEN（圖2）IF條件 THEN語句END IF（圖3）WHILE條件循環(huán)體WEND（圖 4）n0，則用除數(shù) n 除以余數(shù)R0 得到一個商 S1 和一個余數(shù) R1 ；）：若R1 0，則 R1 為 m，n 的最大公約數(shù)；若R1 0，則用除數(shù) R0 除以余數(shù) R1 得到一個商 S2 和一個余數(shù) i i 1注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系線性回歸方程： y bx a （最小二乘法）這兩個事件為對立事件。事件 A 的對立事件記作 AP( A) P( A) 1

24、, P( A) 1 P( A)對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。nxi yinxy nb i 1必修 4 知識點ii 1x2 nx2第一章：三角函數(shù)1.1.1、任意角a y bx1、 正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.2、 與角 終邊相同的角的集合：注意：線性回歸直線經(jīng)過定點( x, y) 。第三章：概率1、隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；必然事件、不可能事件、隨機事件的特點； 2k , k Z.1.1.2、弧度制1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角.l隨機事件 A 的概率： P( A) m ,0 P( A) 1 .n2、 .

25、rnR2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；3、弧長公式： l 180 R .nR21古典概型的特點：所有的基本事件只有有限個；4、扇形面積公式： S 360lR .2每個基本事件都是等可能發(fā)生。古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事1.2.1、任意角的三角函數(shù)1、 設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點件共有 n 個，事件 A 包含了其中的 m 個基本事件，則事件 A 發(fā)生的概率P(A) m .nPx, y，那么： sin y,cos x,tan yx3、幾何概型：2、 設(shè)點 Ax , y 為角 終邊上任意一點，那么：（設(shè)幾何概型的特點：所有的基本事件是無限個；

26、每個基本事件都是等可能發(fā)生。r x2 y2 ）yxyx幾何概型概率計算公式： P( A) d的測度 ；D的測度sin ，cos ，tan ，cot rrxy其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。3、sin ，cos ，tan 在四個象限的符號和三角函數(shù)線的畫法.4、互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；如果事件 A1, A2 , An 任意兩個都是互斥事件，則稱事件 A1, A2 , An 彼此互斥。如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 發(fā)生的概率，等于事件 A，B 發(fā)生的概率的和，即： P( A B) P( A) P(B)如果事件 A1, A2 , An 彼此互

27、斥，則有：P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT5、 特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函數(shù)值.yTPOM A x0 6 432233 4322sin sin , cos cos , tan tan .5、誘導(dǎo)公式五：sin cos , 2 cos sin . 26、誘導(dǎo)公式六：sin cos , 2cos sin . 21.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：y=sinxy-5- 1 3 722o22x-4 -7 -3-2

28、 -3 -1 2 5 342222y=cosxy-5- 1 3 7-3 2- 2o23 2x-4 -7-2 -3-1 2 5422222、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定 義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會用五點法作圖.y sin x 在 x 0,2 上的五個關(guān)鍵點為：（0，0）（ ，1）（，0）（3 ，-1）（，2，0）.，22sin cos tan 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、 平方關(guān)系： sin 2 cos 2 1.2、 商數(shù)關(guān)系： tan sin .cos3、 倒數(shù)關(guān)系： tan cot 11.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（概括為

29、“奇變偶不變，符號看象限” k Z ） 1、 誘導(dǎo)公式一：sin 2k sin ,cos 2k cos ,（其中： k Z ）tan 2k tan .2、 誘導(dǎo)公式二：sin sin , cos cos , tan tan .3、誘導(dǎo)公式三：sin sin , cos cos , tan tan .4、誘導(dǎo)公式四：1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)yy=tanx3-2 -ox2 3221、記住正切函數(shù)的圖象：yy=cotx-o 2322x22、記住余切函數(shù)的圖象：3、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.周期函數(shù)定義：對于函數(shù) f x，如果存在一個非

30、零常數(shù)T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f x T f x，那么函數(shù) f x就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T 叫做這個函數(shù)的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)y sin xy cos xy tanx圖象定義域RRx | x k , k Z 2值域-1,1-1,1R最值x 2k x 2k 22, k Z時，ymax, k Z時，ymin 1 1x 2k , k Z時，y 1maxx 2k , k Z時，ymin 1無周期性T 2T 2T 奇偶性奇偶奇單調(diào)性k Z在2k , 2k 上單調(diào)遞增 22在2k , 2k 3 上單調(diào)遞減 22在2k , 2k 上單調(diào)遞增在2k ,2k

31、上單調(diào)遞減在(k , k ) 上單調(diào)遞增22對稱性k Z對稱軸方程： x k 2對稱中心(k ,0)對稱軸方程： x k 對稱中心(k ,0)2無對稱軸對稱中心(k2,0) 1.5、函數(shù) y Asin x 的圖象對于函數(shù)： Asin x B A 0, 0 有：振幅 A，周期T 2 ，初相 ，相位x ，頻率 f 1 .T2能夠講出函數(shù) y sin x 的圖象與y Asinx B 的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系. 先平移后伸縮：y sin x 平移 | | 個單位y sin x （左加右減）1、橫坐標(biāo)不變y縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍縱坐標(biāo)不變2、1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?| 倍y Asin x y Asin

32、 x 平移 | B| 個單位（上加下減）y Asin x B 先伸縮后平移：4、cos cos cos sin sin y sin x橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍縱坐標(biāo)不變1y Asin xy Asin x5、 tan tan tan . 6、 tan tan tan .1tan tan 1tan tan 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?| 倍21、sin 2 2 sin cos ，平移個單位y Asin x 變形：sin cos 1 sin 2 .（左加右減）平移 | B| 個單位（上加下減）y Asin x B2、cos 2 cos 2 sin 2 2cos

33、 2 13、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中心函數(shù) y sin( x ) ，xR 及函數(shù) y cos( x )，2xR(A, , 為常數(shù)，且 A0)的周期T ；函| | 1 2 sin 2 .變形如下：1 cos2 2cos2 數(shù) y tan( x ) ， x k 2, k Z (A, 為升冪公式： 1 cos2 2sin2 常數(shù)，且 A0)的周期T .cos2 1 (1 cos2 )| |2降冪公式： 對于 y A sin( x ) 和y A cos( x ) 來sin2 1 (1 cos2 )2說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.求函數(shù) y A sin( x ) 圖像的對稱軸與對稱

34、中心，只需令x k (k Z) 與x k (k Z )3、 tan 2 2 tan .1 tan 2 2解出 x 即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式sin24、 tan 1 cos21 cos 2 sin2利用圖像特征： A ymax ymin2， B ymax ymin .23.2、簡單的三角恒等變換1、 注意正切化弦、平方降次. 要根據(jù)周期來求, 要用圖像的關(guān)鍵點來求.1.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1、 要求熟悉課本例題.第二章、三角恒等變換3.1.1、兩角差的余弦公式記住 15的三角函數(shù)值：sin cos tan 12 6 2 4 6 2 42 33.1.

35、2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sin sin cos cos sin 2、sin sin cos cos sin 3、cos cos cos sin sin 2、輔助角公式y(tǒng) a sin x b cos x a2 b2 sin( x )（ 其中輔助角 所在象限由點 (a,b) 的象限決 b定, tan ).a第三章：平面向量2.1.1、向量的物理背景與概念1、 了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的幾何表示1、 帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長

36、度（或稱模），記作 AB ；長度為零的向量叫做零向量；長度等于 1 個單位的向量叫做單位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行.2.1.3、相等向量與共線向量1、 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法運算及其幾何意義1、 三角形加法法則和平行四邊形加法法則.2、 a b a b .2.2.2、向量減法運算及其幾何意義1、 與a 長度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形減法法則和平行四邊形減法法則.1、 a xi y j x, y .2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運算1、

37、設(shè)a x1 , y1 , b x2 , y2 ，則： a b x1 x2 , y1 y2 ， a b x1 x2 , y1 y2 ， a x1, y1 ， a / b x1 y2 x2 y1 .2、 設(shè) Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ，則：AB x2 x1 , y2 y1 .2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè) Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ,Cx3 , y3 ，則線段 AB 中點坐標(biāo)為x1 x2 , y1 y2 ，22ABC 的重心坐標(biāo)為x1x2 x3 , y1 y2 y3 .332.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義1、 規(guī)定：實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量，這種運

38、算叫做向量的數(shù)乘.記作： a ，它的長度和方向規(guī)定如下： a a ,當(dāng) 0 時, a 的方向與a 的方向相同；當(dāng)2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、 a b a b cos .2、 a 在b 方向上的投影為： a cos .223、 a a .24、 a a . 0 時, a 的方向與a 的方向相反.2、 平面向量共線定理：向量aa 0與b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù) ，使b a .5、 a b a b 0 .2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、 設(shè)a x1 , y1 , b x2 , y2 ，則： a b x1 x2 y1 y22.3.1、平面向量基本定理 a x

39、 2 y 2111、 平面向量基本定理：如果 e1, e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a ，有且只有一對實數(shù)1 ,2 ，使a 1 e1 2 e2 . a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 a / /b a b x1 y2 x2 y1 02、 設(shè) Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ，則： n a 0根據(jù)法向量定義建立方程組 .n b 0AB x2 x y y21212 .解方程組，取其中一組解，即得平面 的法向量.3、 兩向量的夾角公式（如圖）cos a b x1 x2 y1 y2a bx 2 y 2 x 2 y 24、點的平移公式1122平移前的點為

40、 P( x, y)（原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點為 P(x, y ) （新坐標(biāo)），平移向量為 PP (h ,k ) ， x x h則 y y k.2、 用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行設(shè)直線l1 ,l2 的方向向量分別是a 、b ，則要證明l1 l2 ，只需證明a b ，即a kb(k R) .函數(shù) y f (x) 的圖像按向量 a (h,k) 平移后的即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。線面平行圖像的解析式為 y k f ( x h).2.5.1、平面幾何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體

41、幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：若 A、B 是直線l 上的任意兩點，則 AB 為直線l 的一個方向向量；與 AB 平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.平面的法向量：若向量 n 所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ，記作 n ，如果n ，那么向量 n叫做平面 的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)平面 的法向量為n ( x, y, z) 求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)a (a1 ,a2 ,a3 ) , b (b1 ,b2 ,b3 ) （法一）設(shè)直線l 的方向向量是a ，平面 的法向量是u ，則要證明l ，只

42、需證明a u ，即a u 0 .即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.面面平行若平面 的法向量為u ，平面 的法向量為v ，要證 ，只需證u v ，即證u v .即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線l1 ,l2 的方向向量分別是a 、b ，則要證明l1 l2 ，只需證明a b ，即a b 0 .即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一）設(shè)直線l 的方向向量是a ，平面 的法向量是u ，則要證明l ，只需證明a

43、 u ，即a u .（法二）設(shè)直線l 的方向向量是a ，平面 內(nèi)的兩 a m 0求法：設(shè)二面角 l 的兩個半平面的法向量個相交向量分別為m 、n ，若 a n 0,則l .分別為 m 、n ， 再設(shè) m 、n 的夾角為 ， 二面角 即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直若平面 的法向量為u ，平面 的法向量為v ，要證 ，只需證u v ，即證u v 0 . l 的平面角為 ，則二面角 為m 、n 的夾角 或其補角 .根據(jù)具體圖形確定 是銳角或是鈍角： m n 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直

44、線所成的角已知a,b 為兩異面直線，A，C 與 B，D 分別是a,b 上如果 是銳角，則cos cos m n即 arccos ；m n m n， m n的任意兩點， a,b 所成的角為 ， 如果 是鈍角，則cos cos ，m n則cos AC BD.m n 即 arccos .AC BDm n 求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角5、利用法向量求空間距離點 Q 到直線 l 距離求法：設(shè)直線l 的方向向量為a ，平面 的法向量若 Q 為直線l 外的一點, P 在直線l 上，a 為直線l 的方向向量， b = PQ ，則點 Q 到直

45、線l 距離為為u ，直線與平面所成的角為 ，a 與u 的夾角為 ，h 1 2 2| a |(| a | b |) (a b )則 為 的余角或 的補角點 A 到平面 的距離的余角.即有：sin cos求二面角 a u .a u若點 P 為平面 外一點，點 M 為平面 內(nèi)任一點，平面 的法向量為n ，則 P 到平面 的距離就等于MP 在法向量n 方向上的投影的絕對值.定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個即d MP cos n, MP半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面 n MP二面角的平面角是指在二面角

46、 l 的棱上任取一點 O ， 分別在兩個半平面內(nèi)作射線 AO l, BO l ，則AOB 為二面角 l 的平MP n MP n MP n面角.Al如圖：OB直線 a 與平面 之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化 為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點面距離。 n MP第一章：解三角形1、正弦定理：必修 5 知識點即d .nasin Absin Bcsin C 2R .兩平行平面 , 之間的距離（其中 R 為ABC 外接圓的半徑） a 2R sin A, b 2R sin B,c 2R sin C ;利用兩平行平面間的距離處處相等

47、，可將兩平行平 面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。 sin A a ,sin B 2Rb ,sin C c ;2R2R n MP即d .n異面直線間的距離設(shè)向量n 與兩異面直線 a,b 都垂直， M a, P b,則兩異面直線 a,b 間的距離 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的絕對值。 a : b : c sin A :sin B :sin C.用途：已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A,b2 a2 c2 2ac cos B, 222 n MP c a b 2ab cos C.即d .n6、三余弦定

48、理設(shè) AC 是平面 內(nèi)的任一條直線，AD 是 的一條斜線 AB 在 內(nèi)的射影，且 BDAD，垂足為 D.設(shè) AB 與 (AD)所成的角為 ， AD 與 AC 所成的角為 ， ABcos A cos B b2 c2 a 2,2bca2 c 2 b2,2aca2 b2 c212與 AC 所成的角為 則cos cos1 cos 2 .cos C .2abBA1 2D用途：已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個定理經(jīng)常結(jié)合使用.3、三角形面積公式：CS 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin BABC2227、 面積射影定理已知平面 內(nèi)一個多邊

49、形的面積為 S S原 ，它在平面 內(nèi)的射影圖形的面積為 SS射 ，平面 與平面 所成的二面角的大小為銳二面角 ，則4、三角形內(nèi)角和定理：在ABC 中，有 A B C C ( A B) C A B 2C 2 2( A B) .2225、一個常用結(jié)論：cos S = S射 .在ABC 中， a b sin A sin B A B;SS原8、一個結(jié)論若sin2 A sin2B,則A B或A B . 特別注意，2長度為l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3 ，夾角分別為1、2、3 ,則有在三角函數(shù)中， sin A sin B A B 不成立。l2 l2 l2 l2 cos2

50、 cos2 cos2 1第二章：數(shù)列123123 sin2 sin2 sin2 2.1、數(shù)列中a 與 S 之間的關(guān)系：123nn（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.na S1, (n 1)注意通項能否合并。比數(shù)列。2Sn Sn1, (n 2).2、等差數(shù)列：等比中項：若三數(shù)a、G、b 成等比數(shù)列 G（ ab 同號）。反之不一定成立。 ab,定義：如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即an an1 =d ，（n通項公式： a a qn 1 a qn mn1ma 1 qn a a q 前n 項和公式： S 1 1n2，nN ），那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。常用

51、性質(zhì)n1 q1 q等差中項：若三數(shù)a、A、b 成等差數(shù)列 A a b2若m n p qam an ap aq ；m, n, p, q N ，則通項公式： a a (n 1)d a(n m)d a , a , a ,為等比數(shù)列，公比為 q k (下標(biāo)成n1mkk mk 2m或an pn q ( p 、q是常數(shù)）.前n 項和公式：等差數(shù)列,則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)數(shù)列an（ 為不等于零的常數(shù)）仍是公比為 q 的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列an ；則lg an 是公差為Sn na1 n n 1 d na1 an 22lg q 的等差數(shù)列；常用性質(zhì)：若m n p qm, n, p, q N ，則若a 是等比數(shù)

52、列，則ca ，a 2 1 a n nnnam an a p aq ；下標(biāo)為等差數(shù)列的項ak , ak m , ak 2m ,，仍組 成等差數(shù)列；a r (r Z ) 是等比數(shù)列，公比依次是q，q2 1qr .， ，nq單調(diào)性：數(shù)列an b（ ,b 為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；若an 、bn是等差數(shù)列，則kan 、kan pbn a1 0, q 1或a1 0,0 q 1 an為遞增數(shù)列；*( k 、 p 是非零常數(shù))、ap nq ( p, q N等差數(shù)列。單調(diào)性： an 的公差為 d ，則： ） d 0 an 為遞增數(shù)列； ） d 0 an 為遞減數(shù)列； ） d 0 an 為常數(shù)列；) 、，也成a1

53、0,0 q 1或a1 0, q 1 an為遞減數(shù)列；q 1 an 為常數(shù)列；q 0 an 為擺動數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列an 的前n 項和 Sn ，則 Sk 、S2 k Sk 、數(shù)列 an 為等差數(shù)列 an pn q（p,q 是常數(shù)）若等差數(shù)列an 的前n 項和 Sn ，則 Sk 、S2 k Sk 、S3k S2 k 是等差數(shù)列。 3、等比數(shù)列S3k S2 k 是等比數(shù)列.4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型 觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。類型公式法：若已知數(shù)列的前n 項和 S

54、與a定義：如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等nn的關(guān)系，求數(shù)列an 的通項an 可用公式na S1S S, (n 1), (n 2) 構(gòu)造兩式作差求解。型的遞推式： nn1用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a 和a若 p 1時，數(shù)列 a n 為等差數(shù)列;若q 0 時，數(shù)列 a n 為等比數(shù)列;1n合為一個表達(dá)，（要先分n 1 和n 2 兩種情況分別進(jìn)行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。類型累加法：形如an1 an f (n) 型的遞推數(shù)列（其中 f (n) 是關(guān)若 p 1 且q 0 時，數(shù)列 a n

55、 為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：法一：設(shè)an 1 p(an ) ,展開移項整理得an an1 f (n 1)a a f (n 2)an 1 pan ( p 1) ,與題設(shè)an 1 pan q 比較系 n1n 2于n 的函數(shù)）可構(gòu)造：. a2 a1 f (1)數(shù)（待定系數(shù)法）得qqq將上述n 1個式子兩邊分別相加，可得： , ( p 0) an1 p 1p 1p(an )p 11an f (n 1) f ( n 2) . f (2) f (1) a1, (n 2) a q p(aq ) ,即a q 構(gòu)成若 f (n ) 是關(guān)于n 的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化

56、為等差數(shù)列求和;np 1qn 1p 1 np 若 f (n ) 是關(guān)于n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等以a1 p 1為首項，以 p 為公比的等比數(shù)列.再利用比數(shù)列求和;q 若 f (n ) 是關(guān)于n 的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若 f (n ) 是關(guān)于n 的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.等比數(shù)列的通項公式求出an p 得an. 的通項整理可1類型累乘法： a法二：由an1 pan q 得an pan1 q(n 2) 兩式相減并整理得 an1 an p, 即a a 構(gòu)成以形如a a f (n) n 1 f (n) 型的遞推數(shù)列（其a an1nn 1n annn1a a 為首項，以 p 為公比的等

57、比數(shù)列.求出 ana n1 f (n 1)21an1 an的通項再轉(zhuǎn)化為類型（累加法）便可求出an.中 f (n) 是關(guān)于n 的函數(shù)） an1 f (n 2)a形如an 1 pan f (n) ( p 1) 型的遞推式：可構(gòu)造：n 2. a2 af (1)當(dāng) f (n ) 為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時： 1法一：設(shè)an An B p an1 A(n 1) B ，將上述n 1個式子兩邊分別相乘，可得：an f (n 1) f (n 2) . f (2) f (1)a1, (n 2)通過待定系數(shù)法確定 A 、B 的值，轉(zhuǎn)化成以a1 A B有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。為

58、首項，以 p 為公比的等比數(shù)列an An B ，再利類型構(gòu)造數(shù)列法：形如an1 pan q （其中 p,q 均為常數(shù)且 p 0 ）用等比數(shù)列的通項公式求出an An B 的通項整n 1n 1n理可得an.在a pa f (n) 兩邊同時除以 p可得到法二：當(dāng) f (n ) 的公差為 d 時，由遞推式得：an1 anf (n) ，令 an b ，則b b f (n)，nnan 1 pan f (n) ， an pan1 f (n 1) 兩式相減pn1pnpn1pnnn1npn1得：an 1 an p(an an1 ) d ，令bn an1 an 得：在轉(zhuǎn)化為類型（累加法），求出bn 之后得a p

59、nb .類型b pb d 轉(zhuǎn)化為類型求出 b ，再用類型對數(shù)變換法：nnn1n（累加法）便可求出an.形如an 1 paq ( p 0, a 0) 型的遞推式：當(dāng) f (n ) 為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：在原遞推式an 1 paq 兩邊取對數(shù)得法一：設(shè)an f (n) p an1 f (n 1)，通過待定系數(shù)法確定 的值，轉(zhuǎn)化成以a1 f (1) 為首項，以 p 為公比的等比數(shù)列an f (n) ，再利用等比數(shù)lg an1 q lg an lg p ，令bn lg an 得：bn1 qbn lg p ，化歸為an1 pan q 型，求出bnn之后得a 10bn .（注意：底數(shù)不一定要取

60、10，可根據(jù)題意選擇）。列的通項公式求出an f (n) 的通項整理可得an.倒數(shù)變換法：類型形如an 1 an pan1an （ p 為常數(shù)且 p 0 ）的遞推法二：當(dāng) f (n ) 的公比為q 時，由遞推式得：11a pa f (n) ，a pa f (n 1) ，兩式：兩邊同除于an 1an ，轉(zhuǎn)化為 a ap 形式，n 1nnn1nn1邊同時乘以q 得an q pqan 1 qf (n 1) ，由化歸為an1 pan q 型求出 1 的表達(dá)式，再求an ；an兩式相減得aa q p(a qa) ，即還有形如aman的遞推式，也可采用取倒數(shù)方n 1nnn1n 1pan qa qa法轉(zhuǎn)化成