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1、2015 年入學(xué)數(shù)學(xué)(一)試題一、選擇題:1 8 小題,每小題 4 分,共 32 分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.f (x) 在, 內(nèi)連續(xù),其中二階導(dǎo)數(shù)f (x) 的圖形(1)設(shè)函數(shù),則曲線y f (x) 的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()0(B)1(C)2(D)3(A)】(C)】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于 0,或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),【并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào).因此,由 f (x) 的圖形,曲線 y f (x) 存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選(C).(2)設(shè) y 1 e2 x (x 1)ex 是二階常系數(shù)非線性微分方程 y ay by ce x 的
2、一23個(gè)特解,則()(A) a 3, b 2, c 1(B) a 3, b 2, c 1(C) a 3, b 2, c 1(D) a 3, b 2, c 1【】(A)【分析】此題考查二階常系數(shù)非線性微分方程的反問(wèn)題已知解來(lái)確定微分方程的系數(shù),此類題有兩種解法,一種是將特解代入原方程,然后比較等式兩邊的系數(shù)待估系數(shù)值,另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來(lái)求解,也就是下面演示的解法.11e 為二階常系數(shù)微分方程 y ay by 0 的解,】由題意可知, e22 xx【、3所以 2,1 為特征方程 r 2 ar b 0 的根,從而 a (1 2) 3 ,b 1 2 2 ,從而原方程變?yōu)?y
3、3 y 2 y cex ,再將特解 y xex 代入得c 1 .故選(A)(3) 若級(jí)數(shù) a條件收斂,則 x 3 與 x 3 依次為冪級(jí)數(shù) na (x 1)n 的 ()nnn1n1收斂點(diǎn),收斂點(diǎn)收斂點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn),收斂點(diǎn)發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)【】(B)【分析】此題考查冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間,冪級(jí)數(shù)的性質(zhì).【】因?yàn)?a 條件收斂,即 x 2 為冪級(jí)數(shù) a (x 1)n 的條件收斂點(diǎn),所以nnn1n1 a (x 1)n 的收斂半徑為 1,收斂區(qū)間為(0, 2) .而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間,故nn1 na (x 1)n 的收斂區(qū)間還是(0, 2) .因而 x 3 與 x 3 依次為冪級(jí)數(shù)na (x
4、 1)n 的nnn1n1收斂點(diǎn),發(fā)散點(diǎn).故選(B).(4)設(shè) D 是第一象限由曲線2 xy 1, 4 xy 1與直線 y x , y 3x 圍成的平面f x, y 在 D 上連續(xù),則 f x, y dxdy D()區(qū)域,函數(shù)1sin 2r cos ,r sin rdr(A)3 df 1 42 sin 21f r cos , r sin rdr(B) 3 dsin 2 142sin 21sin 2f r cos , r sin dr(C)3 d 1 42 sin 21f r cos , r sin dr(D)3 dsin 2 12sin 24y【】(B)【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的
5、累次積分【】先畫出 D 的圖形,1sin 2f (r cos , r sin )rdr ,所以f (x, y)dxdy d3142sin 2Do故選(B)x1 11241 a , b d,若集合 1, 2 ,則線性方程組 Ax b 有(5) 設(shè)矩陣 A 112a2d()無(wú)窮多解的充分必要條件為(A) a , d (B) a , d (C) a , d (D) a , d 【】(D)11241a a21d 11101a 1(a 1)(a 2)1】( A,b) 1 0d 1【1 0(d 1)(d 2) 2d ,由 r( A) r( A, b) 3 ,故 a 1或 a 2 ,同時(shí) d 1或 d 2
6、.故選(D)在正交變換為 x Py 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 2 y2 y2 y2 ,其中(6)設(shè)二次型 f3123P e1, e2 , e3 ,若Q e1, e3, e2 3 在正交變換 x Qy 下的標(biāo)準(zhǔn)形為,則 f()2 y2 y2 y2(A)123(B) 2 y2 y2 y2123(C) 2 y2 y2 y2123(D) 2 y2 y2 y2123【】(A)f xT Ax yT (PT AP) y 2 y2 y2 y2 .】由 x Py ,故【123 20100 且 PT AP 00 . 01 100由已知: Q P 001 PC 001 201 00故有QT AQ CT (PT AP)C 00
7、01 f xT Ax yT (QT AQ) y 2 y2 y2 y2 .選(A)所以123(7) 若 A,B 為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則()P AB P A P BP AB P A P B(A)(B)P A P B 2P A P B 2P AB P AB (C)(D)【】(C)】由于 AB A, AB B ,按概率的基本性質(zhì),有 P( AB) P( A) 且【P( A) P(B)P( AB) P(B) ,從而 P( AB) P( A) P(B) ,選(C) .2 3 ,則 E X X Y 2 量 X ,Y 不相關(guān),且 EX 2, EY 1, DX(8)設(shè)隨()(A) 3(C) 5(B) 3(D)
8、5【】(D)】 E X ( X Y 2) E( X 2 XY 2 X ) E( X 2) E( XY ) 2E( X )【 D( X ) E 2 ( X ) E( X ) E(Y ) 2E( X ) 3 22 2 1 2 2 5 ,選(D) .二、填空題:9 14 小題,每小題 4 分,共 24 分.請(qǐng)將寫在答題紙指定位置上.lim ln cos x .(9)x2x012【】 0法則,也可以用等價(jià)無(wú)窮小替換.【分析】此題考查 型未定式極限,可直接用0sin xln(cos1 . 2【】方法一: lim2ln(cos1 . 2方法二: lim2sin(10)(.221 co24【】【分析】此題考
9、查定積分的計(jì)算,需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡(jiǎn). 2sin xdx 2 2 xdx .x2【】 1 cos x2 40(11)若函數(shù) z z(x, y) 由方程ex xyz x cos x 2 確定,則dz【】 dx【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).(0,1) .【】令 F (x, y, z) ez xyz x cos x 2 ,則F(x, y, z) yz 1sin x, F xz, F(x, y, z) ez xyxyz又當(dāng) x 0, y 1 時(shí)ez 1 ,即 z 0 .Fy(0,1, 0)Fx(0,1, 0)z所以xz 1,F (0,1, 0)y 0 ,因而 dz F (0,1, 0)(
10、0,1) dx.(0,1)(0,1)zz(12)設(shè) 是由平面 x y z 1 與三個(gè)坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域,則(x 2 y 3z)dxdydz .14【】【分析】此題考查三重積分的計(jì)算,可直接計(jì)算,也可以利用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)后再計(jì)算.【】由輪換對(duì)稱性,得1(x 2 y 3z)dxdydz 6zdxdydz 6zdzdxdy ,0Dz其中 D 為平面 z z 截空間區(qū)域 所得的截面,其面積為 1 (1 z)2 .所以z21111(x 2 y 3z)dxdydz 6zdxdydz 6z (1 z) dz 3 (z 2z z)dz .23224002100020000212222 .(13) n
11、 階行列式】 2n1 2【】按第一行展開得21020022D 2D (1)n12(1)n1 2D 2n 1n 1n00002122 2(2D 2) 2 22 D 22 2 2n 2n1 2 2 2n1n2n2(14)設(shè)二維隨量(x, y) 服從正態(tài)分布N (1,0;1,1,0),則PXY Y 0 .12【】由題設(shè)知, X N (1,1),Y N (0,1) ,而且 X、Y 相互獨(dú)立,從而【PXY Y 0 P( X 1)Y 0 PX 1 0,Y 0 PX 1 0,Y 0 PX 1PY 0 PX 1PY 0 1 1 1 1 1 .22222三、解答題:1523 小題,共 94 分.請(qǐng)將解答寫在答題
12、紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. x 與f x x a ln(1 x) bx sin x ,g(x) kx3 ,若f(15)(本題滿分 10 分) 設(shè)函數(shù)g x 在 x 0 是等價(jià)無(wú)窮小,求 a, b, k 的值.【】 a 1, b , k .1123x a ln 1 x bx sin x kx31【】法一:原式limx0 3 2 3o xx a x36 1 limkx3x01 a x b ab64 o x3 2 lim 1kx3x0aa即1 a 0, b 0, 123k a 1, b 1 , k 123x a ln 1 x bx sin x kx3a1法二: limx0
13、1 lim 1 13kx2x0因?yàn)榉肿拥臉O限為 0,則 a 1 1 2b cos x bx sin x1 x212 lim 1,分子的極限為 0, b 6kxx02 6k13 lim1, k x0 a 1, b 1 , k 123f x 在定義域 I 上的導(dǎo)數(shù)大于零,若對(duì)任意的 x0 I ,由(16)(本題滿分 10 分) 設(shè)函數(shù)線 y=f x 在點(diǎn)x0, f x0 處的切線與直線 x x0 及 x 軸所圍成區(qū)域的面積恒為 4,且f 0 2 ,求 f x 的表達(dá)式.8】 f(x) .【4 x】設(shè) f x 在點(diǎn) x0 , f x0 處的切線方程為: y f x0 f 0 ,【令 y 0 ,得到0
14、 ,0f x0 11f 4 ,即f x0 2 4 ,可以轉(zhuǎn)化為一階微分方故由題意,2f x0程,y211即 y ,可分離變量得到通解為: x C ,8y8已知 y 0 2 ,得到C 1 ,因此 1 1 x 1 ;2y828 即 f x .x 4(17)(本題滿分 10 分) x , y x , y x y xy ,曲線 C: x 2 xy 已知函數(shù) fy 23 ,求 f在曲線 C 上的最大方向?qū)?shù).】3【f x, y 沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大,且最大值為梯度的模.【】因?yàn)閒x x, y 1 y, f y x, y 1 x ,故 gradf x, y 1 y,1 x,模為 1 y 2 1 x
15、2,此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù) g x, y 1 y 2 1 x2的最大值.即為條件極值問(wèn)題.為了計(jì)算簡(jiǎn)單,可以轉(zhuǎn)化為對(duì) d (x, y) 1 y 2 1 x2 在約束條件C : x2 y2 xy 3 下的最大值.構(gòu)造函數(shù): F x, y, 1 y2 1 x2 x2 y2 xy 3在約束條件C : x2 y2 xy 3 下Fx 2 1 x 2x y 01,1, M 1, 1, M 2, 1, M 1, 2 .F 2 1 y 2 y x 0 ,得到 My1234F x y xy 3 022 d M1 8, d M2 0, d M3 9, d M4 9所以最大值為 9 3 .(18)(本題滿分 10 分)
16、設(shè)函數(shù)u(x), v(x) 可導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)定義證明u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)設(shè)函數(shù)u1 (x), u2 (x), , un (x) 可導(dǎo), f(x) u1(x)u2(x) un(x),寫出f(x )的求導(dǎo)公式.】(I) u(x)v(x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)【hh0 lim u(x h)v(x h) u(x h)v(x) u(x h)v(x) u(x)v(x)hh0 lim u(x h) v(x h) v(x) lim u(x h) u(x) v(x)hhh0h0 u(x)v(x) u(x)v(x)(II)由題意得f (x) u1(x)u
17、2 (x)un (x) u (x)u (x)u (x) u (x)u (x)u (x) u (x)u (x)u (x)12n12n12n(19)(本題滿分 10 分)z 2 x2 y 2 ,起點(diǎn)為 A0, 2, 0 ,終點(diǎn)為 B 0, 2, 0 ,已知曲線 L 的方程為 z x,計(jì)算曲線積分 I y z dx z x y dy (x y )dz .2222L2】2【x cos】由題意假設(shè)參數(shù)方程 y 2 sin , : 2 2【z cos 2 ( 2 sin cos ) sin 2 sin cos (1 sin ) sin d 22 2 2 sin sin cos (1 sin ) sin d
18、2222 2 2sin d 2220(20) (本題滿 11 分)= +k +1 設(shè)向量組 1 , 2 , 3 內(nèi)R3 的一個(gè)基, =2 +2k , =2 , .11322313(I)證明向量組 1 2 3 為R 的一個(gè)基;3 , , 3 與基 1 2 3 下的坐標(biāo)相同,并(II)當(dāng) k 為何值時(shí),存在非 0 向量 在基12求所有的 .【】(I)證明:【1 , 2 , 3 21 +2k3 , 22 ,1 + k 1 3 20201 ,00123 2kk 101200k 1202k22k1k 1 2 4 0故 , , 為R3 的一個(gè)基.123(II)由題意知, k1 1 k 2 2 k 3 3
19、k1 1 k 2 2ki 0,i 1, 2,3 k 3 3 , 0即 k1 1 1 k2 2 2 k3 3 3 0, + 01 2+22+11 +2k3 k2 2 k3 1 +k3 0 有非零解即 1+2k3,2,1+k3 0102k01010k 0 ,得 k=0即k11 k22 k31 0 k2 0, k1 k3 0 k11 k13 ,k1 0(21) (本題滿分 11 分)32b302 10 設(shè)矩陣 A 133 相似于矩陣 B = 00 .a 01 21(I)求 a, b 的值;(II)求可逆矩陣 P ,使 P 1 AP 為對(duì)角矩陣.【】(I) A B tr( A) tr(B) 3 a 1
20、 b 1232b30100001 133 AB21aa b 1 a 42a b 3b 530 13 0 1202(II) A E C3 01 13 20 13 1222C 13 1 13 23 1 1C 的特征值1 2 0,3 4 0 時(shí)(0E C)x 0 的基礎(chǔ)解系為 (2,1, 0)T ; (3, 0,1)T12 5時(shí)(4E C)x 0 的基礎(chǔ)解系為3 (1, 1,1)TA 的特征值A(chǔ) 1 C :1,1, 531 2令 P ( , , ) 101 ,123 01 1 1 P1 AP 152x ln 2, x 0,f x (22) (本題滿分 11 分) 設(shè)隨量 X 的概率密度為0,x 0.對(duì) X 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè),直到 2 個(gè)大于 3 的觀測(cè)值出現(xiàn)的停止.記Y 為觀測(cè)次數(shù). (I)求Y 的概率分布;(II)求 EY1】(I) 記 p 為觀測(cè)值大于 3 的概率,則 p P( X 3) 2ln 2dx ,x【83從而 PY n C1 p(1 p)n2 p (n 1)(1)2 ( 7 )n2 , n 2, 3,n188為Y 的概率分布;(II) 法一:分解法:量Y 分解成Y =M N 兩個(gè)過(guò)程,其中 M 表示從1到 n(n k ) 次試驗(yàn)觀測(cè)值大將隨于3 首次發(fā)生, N 表示從 n 1次到第
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