專題一 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

1、13/13第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程考情分析1.基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小是常見(jiàn)題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考的熱點(diǎn)，常以壓軸題形式出現(xiàn)考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心提煉1指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于yx對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分0a1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同2冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，主要掌握1,2,3，eq f(1,2)，1五種情況例1(1)已知f(x)2x1，g(x)1x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)|f(x)|；當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)g(x

2、)，則h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，無(wú)最小值C有最小值1，無(wú)最大值D有最大值1，無(wú)最小值答案C解析畫(huà)出y|f(x)|2x1|與yg(x)1x2的圖象，它們交于A，B兩點(diǎn)由“規(guī)定”，在A，B兩側(cè)，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)綜上可知，yh(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，因此h(x)有最小值1，無(wú)最大值(2)已知函數(shù)f(x)ex2(x0)與g(x)ln(xa)2的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,e) B(，e)C.eq blc(rc)(av

3、s4alco1(f(1,e)，e) D.eq blc(rc)(avs4alco1(e，f(1,e)答案B解析由題意知，方程f(x)g(x)0在(0，)上有解，即ex2ln(xa)20在(0，)上有解，即函數(shù)yex與yln(xa)的圖象在(0，)上有交點(diǎn)函數(shù)yln(xa)可以看作由yln x左右平移得到，當(dāng)a0時(shí)，兩函數(shù)有交點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，向左平移，由圖可知，將函數(shù)yln x的圖象向左平移到過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，兩函數(shù)的圖象在(0，)上不再有交點(diǎn)，把(0,1)代入yln(xa)，得1ln a，即ae，a1和0a1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0aln eq r(e)eq f(1,2)，e10，故排

4、除C.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)12x，則不等式f(x)0時(shí)，f(x)12x0.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)eq f(1,2)的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由12xeq f(1,2)得2x1，則f(x)0，)若函數(shù)g(x)f(x)m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則x1x2等于()A2 B2或2eq f(1,e)C2或3 D2或3或2eq f(1,e)答案D解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x1)ex，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)10，故f(x)在(1,0上單調(diào)遞增，所以x0時(shí)，f(x)的最小值為f(1)eq f(1,e).又當(dāng)x1時(shí)，f

5、(x)3x，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x1.作出f(x)的圖象，如圖所示因?yàn)間(x)f(x)m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程f(x)m有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于直線ym與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由圖可知1m2或m0或meq f(1,e).若1m2，則x1x22；若m0，則x1x23；若meq f(1,e)，則x1x213eq f(1,e)2eq f(1,e).(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，都有f(x2)f(2x)，當(dāng)x2,0時(shí)，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)x1，則關(guān)于x的方程f(x)log8(x2)

6、0在區(qū)間(2,6)上根的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析對(duì)于任意的xR，都有f(2x)f(2x)，f(x4)f2(x2)f2(x2)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且T4.又當(dāng)x2,0時(shí)，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)x1，且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(6)1，則函數(shù)yf(x)與ylog8(x2)在區(qū)間(2,6)上的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得yf(x)與ylog8(x2)在區(qū)間(2,6)上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即f(x)log8(x2)0在區(qū)間(2,6)上有3個(gè)根考向2求參數(shù)的值或取值范圍例3(1)已知關(guān)于x的方程9|x2|

7、43|x2|a0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3,0)解析設(shè)t3|x2|(0t1)，由題意知at24t在(0,1上有解，又t24t(t2)24(0t1)，3t24ta，,x26x3，xa，)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案3，1)3，)解析由題意得g(x)eq blcrc (avs4alco1(x32x，xa，,x26x32x，xa，)即g(x)eq blcrc (avs4alco1(3x，xa，,x24x3，xa，)如圖所示，因?yàn)間(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即g(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)若當(dāng)xa時(shí)，g(x)x24x3有兩個(gè)零點(diǎn)，則令x24x30

8、，解得x3或x1，則當(dāng)xa時(shí)，g(x)3x沒(méi)有零點(diǎn)，所以a3.若當(dāng)xa時(shí)，g(x)x24x3有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)xa時(shí)，g(x)3x必有一個(gè)零點(diǎn)，即3a0，,f(1,x)，x0，)則yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B3 C2 D4答案B解析作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)yf(x)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)(2)(多選)已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2a，x0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，當(dāng)f(f(x)0時(shí)，f1(x)2a，f2(x)0，f3(x)a.又f(f(x)0有8個(gè)不同的實(shí)根，故f1(x)2a有三個(gè)根，f2(x)0

9、有三個(gè)根，f3(x)a有兩個(gè)根，又x2axeq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2eq f(a2,4)，所以2aeq f(a2,4)且a8且a0，綜上可知，a8.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1(2020全國(guó))設(shè)alog342，則4a等于()A.eq f(1,16) B.eq f(1,9) C.eq f(1,8) D.eq f(1,6)答案B解析方法一因?yàn)閍log342，所以log34a2，所以4a329，所以4aeq f(1,4a)eq f(1,9).方法二因?yàn)閍log342，所以aeq f(2,log34)2log43log432log49，所以4a91eq f(1,9).2函

10、數(shù)f(x)ln x2x6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)答案B解析函數(shù)f(x)ln x2x6在其定義域上連續(xù)且單調(diào)，f(2)ln 2226ln 220，故函數(shù)f(x)ln x2x6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上3在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)2ax和g(x)loga(x2)(a0且a1)的大致圖象可能為()答案A解析由題意知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)2ax為減函數(shù)若0a1，則函數(shù)f(x)2ax的零點(diǎn)x0eq f(2,a)(0,2)，且函數(shù)g(x)loga(x2)在(2，)上為增函數(shù)故A正確4(2020廣東省揭陽(yáng)三中模擬)已知a，b，c滿足4a6，b，c3e

11、q f(3,5)，則()Aabc BbcaCcab Dcb4，a1，b2，c3eq f(3,5)1,0ccb.5(2020全國(guó))Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)eq f(K,1e0.23t53)，其中K為最大確診病例數(shù)當(dāng)I(t*)0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln 193)()A60 B63 C66 D69答案C解析因?yàn)镮(t)eq f(K,1e0.23t53)，所以當(dāng)I(t*)0.95K時(shí)，0.95K，即0.95，即1eq f(1,0.95

12、)，即eq f(1,0.95)1，19，0.23(t*53)ln 19，t*eq f(ln 19,0.23)53eq f(3,0.23)5366.6(2020泉州模擬)若函數(shù)yloga(x2ax1)有最小值，則a的取值范圍是()A1a2 B0a2，a1C0a1，且u(x)min0，a240，1a2，a的取值范圍是1a0，,2x24x1，x0)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若函數(shù)g(x)f(x)kx恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k等于()A2e Be Ce D2e答案C解析g(x)f(x)kx0，即f(x)kx，如圖所示，畫(huà)出函數(shù)yf(x)和ykx的圖象，2x24x1kx，即2x2(4k)x10，設(shè)方程的兩根

13、為x1，x2，則(4k)280，且x1x2eq f(1,2)，故g(x)在x0時(shí)相切當(dāng)x0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，kx0)，f(x)ex，f(x)ex，f(x0)k，kx0，解得x01，ke.8已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(a，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)|x|1，x0，)若關(guān)于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五個(gè)不同的解，則a的取值范圍是()A(1,2) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(1，

14、f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)答案D解析作出f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)|x|1，x0的圖象如圖所示設(shè)tf(x)，則原方程化為2t2(2a3)t3a0，解得t1a，t2eq f(3,2).由圖象可知，若關(guān)于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)直線ya與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)才滿足條件，所以1a0，解得aeq f(3,2)，綜上，得1a8lg22 Dbalg 6答案ACD解析由10a4,10b25，得alg 4，blg 25，則ablg 4lg 25lg 1002，故A正

15、確；balg 25lg 4lg eq f(25,4)lg 6且lg eq f(25,4)4lg 2lg 48lg22，故C正確10已知函數(shù)f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，則()A函數(shù)f(x)g(x)的定義域?yàn)?1,1)B函數(shù)f(x)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C函數(shù)f(x)g(x)在定義域上有最小值0D函數(shù)f(x)g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)答案AB解析f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，由x10且1x0得1x1，故A對(duì)；由f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)f(x)g

16、(x)，得函數(shù)f(x)g(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B對(duì)；1x1，f(x)g(x)loga(1x2)，y1x2在0,1)上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)g(x)在0,1)上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，故C錯(cuò)；f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，當(dāng)0a1時(shí)，f(x)loga(x1)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(x)loga(1x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)11(2020淄博模擬)已知函數(shù)yf(x)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)成立當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2x1.給出下列結(jié)論，其中

17、正確的是()Af(2)0B點(diǎn)(4,0)是函數(shù)yf(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C函數(shù)yf(x)在區(qū)間6，2上單調(diào)遞增D函數(shù)yf(x)在區(qū)間6,6上有3個(gè)零點(diǎn)答案AB解析對(duì)于A，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)且對(duì)任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)，令x2，則f(2)f(2)f(2)0，故A正確；對(duì)于B，由A知，f(2)0，則f(x4)f(x)，則4為f(x)的一個(gè)周期，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱，則(4,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，6f(5)，所以f(x)在區(qū)間6，2上不是單調(diào)遞增的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因

18、為f(0)0，f(2)0，所以f(2)0，又4為f(x)的一個(gè)周期，所以f(4)0，f(6)0，f(4)0，f(6)0，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間6,6上有7個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤12對(duì)于函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(sin x，x0，2，,f(1,2)fx2，x2，)則下列結(jié)論正確的是()A任取x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1B函數(shù)yf(x)在4,5上單調(diào)遞增C函數(shù)yf(x)ln(x1)有3個(gè)零點(diǎn)D若關(guān)于x的方程f(x)m(m0)恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1x2x3eq f(13,2)答案ACD解析f(x)eq blcrc (avs4alco1(s

19、in x，x0，2，,f(1,2)fx2，x2，)的圖象如圖所示，當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)的最大值為eq f(1,2)，最小值為eq f(1,2)，任取x1，x22， )，都有|f(x1)f(x2)| 1恒成立，故A正確；函數(shù)yf(x)在4,5上的單調(diào)性和在0,1上的單調(diào)性相同，則函數(shù)yf(x)在4,5上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；作出yln(x1)的圖象，結(jié)合圖象，易知yln(x1)的圖象與f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)yf(x)ln(x1)有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；若關(guān)于x的方程f(x)m(m0)恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，不妨設(shè)x1x2x3，則x1x23，x3eq f(7,2)，x1x2x3eq f(13,