中考數(shù)學(xué)經(jīng)典壓軸題專題

1、-. z專題1：拋物線中的等腰三角形基此題型：，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)為等腰三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)。分兩大類進(jìn)展討論：1為底時(shí)即：點(diǎn)在的垂直平分線上。利用中點(diǎn)公式求出的中點(diǎn)；利用兩點(diǎn)的斜率公式求出，因?yàn)閮芍本€垂直斜率乘積為，進(jìn)而求出的垂直平分線的斜率；利用中點(diǎn)與斜率求出的垂直平分線的解析式；將的垂直平分線的解析式與拋物線或坐標(biāo)軸，或拋物線的對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo)。2為腰時(shí)，分兩類討論：以為頂角時(shí)即：點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上。以為頂角時(shí)即：點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上。 利用圓的一般方程列出(或)的方程，與拋物線或坐標(biāo)軸，或拋物線的對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求出

2、點(diǎn)坐標(biāo)。專題2：拋物線中的直角三角形基此題型：，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)為直角三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)。分兩大類進(jìn)展討論：1為斜邊時(shí)即：點(diǎn)在以為直徑的圓周上。利用中點(diǎn)公式求出的中點(diǎn)；利用圓的一般方程列出的方程，與拋物線或坐標(biāo)軸，或拋物線的對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo)。2為直角邊時(shí)，分兩類討論：以為直角時(shí)即：以為直角時(shí)即：利用兩點(diǎn)的斜率公式求出，因?yàn)閮芍本€垂直斜率乘積為，進(jìn)而求出或的斜率；進(jìn)而求出或的解析式；將或的解析式與拋物線或坐標(biāo)軸，或拋物線的對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo)。所需知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)之間距離公式：兩點(diǎn)，則由勾股定理可得：。圓的方程：點(diǎn)在M上，M中的圓心M

3、為，半徑為R。則，得到方程：。P在的圖象上，即為M的方程。中點(diǎn)公式：兩點(diǎn)，則線段PQ的中點(diǎn)M為。任意兩點(diǎn)的斜率公式：兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率： 。中考?jí)狠S題專題3：拋物線中的四邊形基此題型：一、，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)。分兩大類進(jìn)展討論：1為邊時(shí)2為對(duì)角線時(shí)二、，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)四邊形為距形，求點(diǎn)坐標(biāo)。在四邊形為平行四邊形的根底上，運(yùn)用以下兩種方法進(jìn)展討論：1鄰邊互相垂直 2對(duì)角線相等三、，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)四邊形為菱形，求點(diǎn)坐標(biāo)。在四邊形為平行四邊形的根底

4、上，運(yùn)用以下兩種方法進(jìn)展討論：1鄰邊相等 2對(duì)角線互相垂直四、，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)四邊形為正方形，求點(diǎn)坐標(biāo)。在四邊形為矩形的根底上，運(yùn)用以下兩種方法進(jìn)展討論：1鄰邊相等 2對(duì)角線互相垂直在四邊形為菱形的根底上，運(yùn)用以下兩種方法進(jìn)展討論：1鄰邊互相垂直 2對(duì)角線相等五、，拋物線，點(diǎn)在拋物線上或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)四邊形為梯形，求點(diǎn)坐標(biāo)。分三大類進(jìn)展討論：1為底時(shí)2為腰時(shí) 3為對(duì)角線時(shí)典型例題：典型例題：例108中考題、如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與*軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為3

5、，0，OBOC ，tanACO1求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式2經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與*軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由3假設(shè)平行于*軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與*軸相切，求該圓半徑的長度4如圖10，假設(shè)點(diǎn)G2，y是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積.例22009年市如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)是求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；經(jīng)過兩點(diǎn)作

6、直線與軸交于點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)是，在線段上任取一點(diǎn)不與重合，經(jīng)過三點(diǎn)的圓交直線于點(diǎn)，試判斷的形狀，并說明理由；OB*yAMC1第26題圖當(dāng)是直線上任意一點(diǎn)時(shí)，3中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論例3.2009如圖，拋物線經(jīng)過A4，0，B1，0，C0，-2三點(diǎn)1求出拋物線的解析式；2P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM*軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？假設(shè)存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；3在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使

7、得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥1拋物線與*軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比擬簡(jiǎn)便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA總分值解答 1因?yàn)閽佄锞€與*軸交于A(4，0)、B1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)0，2，解得所以拋物線的解析式為2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在*軸上方時(shí)，1*4，如果，則解得不合題意如果，則解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，1如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，*4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在

8、點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，*1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，1或或圖2 圖3 圖43如圖5，過點(diǎn)D作*軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，1圖5 圖6例4.如圖1，拋物線y*2b*c與*軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸是直線*1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；3點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)線

9、段時(shí)，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)溫馨提示：考生可以根據(jù)第3問的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答思路點(diǎn)撥1第1、2題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后 續(xù)的解題2第3題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)與線段長的關(guān)系3根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡(jiǎn)單了總分值解答1設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為2由，知A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，3)，得 解得，所以直線

10、BC的函數(shù)表達(dá)式為3因?yàn)锳B4，所以因?yàn)镻、Q關(guān)于直線*1對(duì)稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以，進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為直線BC:與拋物線的對(duì)稱軸*1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，2過點(diǎn)D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第3題求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出CE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，把點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的*的較小的一個(gè)值就是點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 例5.2010在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A-4，0，B0，-4，C2，0三點(diǎn)1求拋物線的解析式；2假設(shè)點(diǎn)M為第三象

11、限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S、求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)Q是直線y=-*上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè) 位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：1設(shè)拋物線的解析式為y=a*+4*-2，如圖2，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=-*得出Q為4，-4故滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是-4，4，4，-4，例6.2013眉山如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在*軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=

12、a*2+b*+ca0經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M1求這條拋物線的解析式；2P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由拋物線的解析式為：y=*2+2*-32存在APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)如解答圖，過點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)FOA=OD=1，則AOD為等腰直角三角形，PAAD，則OAF為等腰直角三角形，OF=1，F(xiàn)0，-1設(shè)直線PA的解析式為y=k*+b，將點(diǎn)A1，0，F(xiàn)0，-1的坐標(biāo)代入得：解得k=1，

13、b=-1，y=*-1將y=*-1代入拋物線解析式y(tǒng)=*2+2*-3得，*2+2*-3=*-1，整理得：*2+*-2=0，解得*=-2或*=1，當(dāng)*=-2時(shí)，y=*-1=-3，P-2，-3；以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)此時(shí)PAE=45，因此點(diǎn)P只能在*軸上或過點(diǎn)A與y軸平行的直線上過點(diǎn)A與y軸平行的直線，只有點(diǎn)A一個(gè)交點(diǎn)，故此種情形不存在；因此點(diǎn)P只能在*軸上，而拋物線與*軸交點(diǎn)只有點(diǎn)A、點(diǎn)B，故點(diǎn)P與點(diǎn)B重合P-3，0；以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)此時(shí)EAP=45，由可知，此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E位于直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，即P-3，0；綜上所述，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形點(diǎn)P的坐

14、標(biāo)為-2，-3或-3，0例7.2010將直角邊長為6的等腰RtAOC放在如下圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在*、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B-3，01求該拋物線的解析式；2假設(shè)點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；3在第一象限的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使AGC的面積與2中APE的最大面積相等？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解：1如圖，拋物線y=a*2+b*+ca0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A0，6，c=61分拋物線的圖象又經(jīng)過點(diǎn)-3，0和6，0，例82012從化市一模如圖1，在平面直角坐

15、標(biāo)系中，拋物線y=a*2+b*-3a經(jīng)過A-1，0、B0，3兩點(diǎn)，與*軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D1求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；2經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與*軸交于點(diǎn)E，假設(shè)點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；3如圖2P2，3是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)y=-*2+2*+3=-*-12+4 D1，4例9.省市如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在*軸上截得的線段AB的長為61求該二次函數(shù)的解析式；2在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PAPD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；3在拋

16、物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由CDOBAy*1設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a*-h2+k2點(diǎn)A、B關(guān)于直線*=4對(duì)稱PA=PBPA+PD=PB+PDDB當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P設(shè)直線*=4與*軸交于點(diǎn)MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO例10省江市如下圖，點(diǎn)A(1，0)，B(0，3)，C(0，t)，且t0，tanBAC3，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P(2，m)是拋物線與直線l：yk(*1)的一個(gè)交點(diǎn)1求拋物線的解析式；2對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q(1，n)，求PQQB的最小值；3假設(shè)動(dòng)

17、點(diǎn)M在直線l上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值3過點(diǎn)P作PN*軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MK*軸于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為*，-*2+2*+3，例11.省市：RtABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與*軸重合其中OAOB，直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上如圖11求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式2如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，0，點(diǎn)Pm，n是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)其中m0，n0，連接DP交BC于點(diǎn)E當(dāng)BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)O圖3C又連接CD、CP如圖3，CDP是否有最大面積？假設(shè)有，求出CDP的最大面積和此時(shí)

18、點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)沒有，請(qǐng)說明理由AB*yOPD1注：只答復(fù)有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點(diǎn)P的坐標(biāo)，或最大面積計(jì)算錯(cuò)誤的，扣1分；其他解法只要合理，酌情給分例12.2008年省市:如圖,拋物線y=-*2+b*+c與*軸、y軸分別相交于點(diǎn)A-1，0、B0，3兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D.求該拋物線的解析式；假設(shè)該拋物線與*軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E. 求四邊形ABDE的面積；AOB與BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由.注：拋物線y=a*2+b*+c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為總分值解答：1. 解： 1由得：解得c=3,b=2拋物線的線的解析式為(2)由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，4所以對(duì)稱

19、軸為*=1,A,E關(guān)于*=1對(duì)稱，所以E(3,0)設(shè)對(duì)稱軸與*軸的交點(diǎn)為F所以四邊形ABDE的面積= =93相似. 如圖，BD= BE= DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且, 所以.例13.(2008年省十二市)如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)1求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；2在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，假設(shè)存在，直接寫出 點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；3試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由AO*yBFC圖16 解：1直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，1分點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的解析式為3分頂點(diǎn)4分2存在5分7分9分3存在10分理由：解法一：延長到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn) 11分過點(diǎn)作于點(diǎn)AO*yBFC圖9HBM點(diǎn)在拋物線上，在中，在中，12分設(shè)直線的解析式為 解得13分 解得在直線上存在點(diǎn)，使得的周長最小，此時(shí)14分例14.(2008年省市) ：如圖14，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)1寫出直線的解析式2求的面積3假設(shè)點(diǎn)在線段上以每秒1個(gè)單位長度的速