最新2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案

1、2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn) .第一試，選擇題和填空題只設(shè) 7 分和 0 分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給 分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn) 劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：此題總分值 42 分，每題 7 分1 a b 2 ， (1 a)2 (1 b)2 4， 那么 ab 的值為baA1.B1.C 1 .2D 1 .2【答】B.由(1 a)2(1 b)2可得，ba 4a(1 a)2 b(1 b)2 4ab即，(a b) 2(

2、a 2 b 2 ) a 3 b3 4ab 0即2 2(a2 b2 ) 2(a2 ab b2 ) 4ab 0 ，即2 2ab 4ab 0 ，所以ab 12 ABC 的兩條高線的長分別為 5 和 20,假設(shè)第三條高線的長也是整數(shù)，那么第三條高線長的最大值為A5.B6.C7. D8.【答】B.ABC設(shè)的面積為 S，所求的第三條高線的長為 h，那么三邊長分別為2S2S2S,顯然2S 2S ，于是由三邊關(guān)系，得520h520 2S2S2S 20h5 ,解得20 h ,4 2S2S2S3 205hh所以 的最大整數(shù)值為 6,即第三條高線的長的 解 的 個 數(shù) 為的最大值為 6.3 方 程| x 2 1 |

3、 (4 23)(x 2)A 1個B 2 個C3 個D4 個【答】C.當(dāng) | x | 1時 ， 方 程 為x 2 1 (4 23)(x 2)， 即x 2 (4 23)x 9 4| x | 1 0 ，解得 x 31， x 4 3332，均滿足x x當(dāng)時，方程為|112 (4 23)(x 2) ，即所以，組成邊長為 7、8、10、11 的正方形， 各有一種方法；組成邊長為 9 的正方形，有 5 種方法。故滿足條件的“線段組的組數(shù)為 14595如圖，菱形 ABCD 中，AB 3 ，DF 1，DAB 60 ，EFG 15 ， FG BC ，那么AE 26A1 .B .33C2 1.D1 .【答】 D.過

4、 F 作 AB 的垂線，垂足為 HDAB 60 ，AF AD FD 2 ，3AFH 30 ， AH 1 ， FH ， 又 EFG 15 ，DCFGAHEBEFH AFG AFH EFG 90 30 15 45 ，從而FHE 是等腰直角三角形，所以 HE3FH ，3 AE AH HE 1 611 1 ，1 1 1 ，1 1 1 ，那么2 3 4 的xy z2yz x3zx y4值為xyzD 5 .2A1.B3 .C2.2【答】C. 由等式得xy zx x y z 2 ，yz xy x y z 3 ，zx yz x y z 4 ，所以xy yz zx 9 x y z2于是，yz 5 ， zx 3

5、， xy 1 所以x y z2x y z2x y z2y 5 ， z 3 ， y 5 ，即。z3y5xx3yx3代入1 1 1 ，得1 1 1 ，解得x 23 xy z2x5 x 5x21032022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分所以 23423423 2xyzx5 x35x5x二、填空題：此題總分值 28 分，每題 7 分3在中，那1ABCB 2ABC 2, AB 2 2么A 【答】。15延長 AB 到 D，使 BDBC，連線段 CD，C那么D BCD 1 ABC A ，所以 CACD。2CE AB作于點(diǎn) E，那么 E 為 AD 的 A中點(diǎn)，故EBDAE DE 1 AD 1 (A

6、B BD) 1 (2 2222 2) 2 ，333.BE AB AE (2 23) (2 3) 在RtBCE 中，EB3，所以，故 A 1 ABC 15 2cosEBC BC2EBC 30y 2x bx c二次函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)為 D，與x軸正方向從左至右依次交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸正方向交于 C 點(diǎn)，假設(shè)ABD 和OBC 均為等腰直 角三角形 O 為坐 標(biāo)原點(diǎn) ， 那么b 2c 【答】 2由， 得，C(0, c)b b 2 4cA(,0)2， b ，b 2 4cB(,0)2bb 2 4cD(,)24b2 4cDE AB2DE AB過 D作于點(diǎn) E，那么，即b 2 4cb 2 4c2 4

7、，得b2 4c 2，b2 4c所以b2 4cb2 4cb 2 4c 2 0 或b2 4c 又， 所以 2b2 4c 0又OC OB ，即c b 2，得b 2c 2 能使2n為 256是完全平方數(shù)的正整數(shù) n 的值【答】 11.當(dāng)n 8時，2n 256 2n (1 28n )，假設(shè)它是完全平方數(shù)，那么 n 必為偶數(shù)n n n 假設(shè)，那么；假設(shè)，那么2225622654；假設(shè)，那么；假設(shè)，2n 256 24 17n 62n 256 26 5n 8那么2n 256 28 2。所以，當(dāng)n 8 時，2n 256都不是完全平方數(shù)2當(dāng)n 8 時， n 256 28 (2n8 1)，假設(shè)它是完全平方數(shù)，那么2

8、n8 1 為一奇數(shù)的平方。設(shè) 2n8 1 (2k 1)2 k為 自 然 數(shù) ， 那 么n k k kk k 由于 和 一奇一偶，所以，于是，故2 10(1)112n10 2n 11如圖，AB 是O 的直徑，弦 CDC2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分與 AB 交于點(diǎn) E，過點(diǎn) A 作圓的切線AB與 CD的延長線交于點(diǎn) F ， 如果E ODFDE 3 CE ，4AC 8，D為 EF 的中點(diǎn)，那么 AB5【答】 24.設(shè)，那么CE 4x, AE yDF DE 3x, EF 6x連 AD，BC因為 AB 為O 的直徑，AF 為O 的切線，所以EAF 90, ACD DAF ，又因為

9、D 為 RtAEF 的斜邊 EF 的中點(diǎn)，DA DE DFDAF AFD5，ACD AFDAF AC 8，即在 Rt AEF中 ， 由 勾 股 定 理 得EF 2 AE 2 AF 236x 2 y 2 320設(shè)，由相交弦定理得，即，BEzCEDEAEBEyz 4x 3x 12x 2y 2 320 3yz 又， ADDEDAEAED又DAE BCE, AED BEC ， BCE BEC ，從而，BC BE z在RtACB 中，由勾股定理得AB 2 AC 2 BC 2即，( y z)2 320 z 2 y 2 2 yz 320 聯(lián)立，解得y 8, z 16 所以AB AE BE 24第二試 A足，

10、方程和有一個相同一、此題總分值 20 分三個不同的實(shí)數(shù)a, b, c 滿a b c 3x 2 ax 1 0 x 2 bx c 0 x x a x cx b 的實(shí)根，方程和也有一個相同的2020實(shí)根求a, b, c 的值解 依次將題設(shè)中所給的四個方程編號為，設(shè)x是方程和方程的一個相同的實(shí)根，1那么 x 2 ax 1 0,兩式相減，可解得c 1 11x x 2 bx11 c 0,1a b5 分設(shè)x是方程和方程的一個相同的實(shí)根，2那么 x 2 x a 0,兩式相減，可解得a b 。22x x 2 cx22所 b 0,2c 1以2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分 x x 11210 分

11、又方程的兩根之積等于 1，于是x 也是方2程的根，那么x 22ax2 1 0 。又x 2 x22 a 0， 兩 式 相 減 ， 得(a 1)x2分 a 1 15假設(shè)a 1 ，那么方程無實(shí)根，所以a 1 ，故x 1 2于 是a 2, b c 1 又 a b c 3， 解 得b c 20 分3,2二此題總分值 25 分如圖，在四邊形ABCD 中，BAD 60 ，ABC 90 ，BCD 120 ，對角線AC, BD 交于點(diǎn)S ，且DS 2SB ， P 為AC 的中點(diǎn)求證：1PBD 30 ；2AD DC 證明1由得ADC 90 ，從而A, B, C, DDMSPN四點(diǎn)共圓， AC 為直徑， P 為該圓

12、的圓心C5 分AB作PM BD 于點(diǎn)M ，知M 為BD 的中點(diǎn)，所以BPM1 BPD 2A 60，從而PBM 30 10 分2作SN BP 于點(diǎn)N ，那么SN 1 SB 2又DS 2SB, DM MB 1 BD ，2MS DS DM 2SB 3 SB 1 SB SN2215 分 RtRt，PMSPNS，MPS NPS 30 ，又PA PB， 所 以PAB 1 NPS 15， 故2DAC 45 DCA ，所以AD DC 25 分 三此題總分值 25 分為正整數(shù)，設(shè)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)假m, n, pm nA(m,0)B(n,0)C(0, p)設(shè)，且ACB 90OA2 OB 2 OC 2 3(OA O

13、B OC)1證明：；mnp32求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解A, B, C析式解 1因為即mnp 2ACB 90，OC AB，所以O(shè)A OB OC 2，得由OA2 OB 2 OC 2 3(OA OB OC)5 分m 2n 2p 23(mnp)又，m 2 n 2 p 2 (m n p)2 2(mn np mp) (m n p)2 2( p 2 np mp) (m n p)2 2 p(m n p) (m n p)(m n p)2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分從而有，即mnp3m n p 3，10 分2由二次方程mn p 2m n p 3知m, n是關(guān)于 x 的一元x 2 ( p 3

14、)x p 2 0， 的兩個不相等的正整數(shù)根，從而( p3)2解得 1 p 3 。 4 p 2 0又為 正 整 數(shù) ， 故或pp1p215 分當(dāng)時，方程為p1x 2 4x 1 0 ，沒有整數(shù)解當(dāng)p 2m 1, n 4綜m 1, n 4, p 2時， 方程 為合x 2 5x 4 0知， 兩根為：20 分設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，A, B, C為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得yk (x1)(x4)C(0,2)2 k 1 (4)解得k 1 2所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析A, B, C1式為y 1 (x 1)(x 4) x 2 3 x 2 2225 分2第二試 B 一此題總分值 20 分題目和解答與A

15、卷第一題相同.二此題總分值 25 分如圖，在四邊形 ABCD中，BAD 60 ，ABC 90 ，BCD 120 ，對角線DMSPN交于點(diǎn) ，且求證：AC, BDSDS2SBADDC證明 由得，從而四CADC90A, B, C, D點(diǎn)共圓， 為直徑ABAC設(shè) 為 AC 的中點(diǎn)，那么 為四邊形 ABCDPP的外接圓的圓心5 分作于點(diǎn) ，那么 M 為 BD 的中點(diǎn),所以PMBDMBPM1 BPD2A 60，從而PBM 30 10 分作SN BP 于點(diǎn)N，那么SN 1 SB 2又DS 2SB, DM MB 311 BD ，2，MS DS DM 2SB SB SB SN2215 分 RtRt，PMSPN

16、SMPSNPS30又， 所 以PAPBPAB 1 NPS 152， 所 以DAC 45 DCA ，所以AD DC 2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分25 分三此題總分值 25 分為正整數(shù)，設(shè)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)假m, n, pm nA(m,0)B(n,0)C(0, p)設(shè)， 且 求ACB90OA2OB2OC23(OAOBOC圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，A, B, C解 因為ACB 90 ，OC AB ，所以即mnp 2OA OB OC 2，得由OA2 OB 2 OC 2 3(OA OB OC)5 分m 2n 2p 23(mnp)又m 2 n 2 p 2 (m n p)2 2(m

17、n np mp) (m n p)2 2( p 2 np mp) (m n p)2 2 p(m n p) (m n p)(m n p) ，有從而m n p 3，即m n p 310 分,又，故 是關(guān)于 x 的一元二次方程mnp 2m n，x 2 ( p 3)x p 2 0 的兩個不相等的正整數(shù)根，從而( p3)2解得 1 p 3 。 4 p 2 0又為 正 整 數(shù) ， 故或pp1p215 分當(dāng)時，方程為p1x 2 4x 1 0 ，沒有整數(shù)解當(dāng)p 2m 1, n 4綜m 1, n 4, p 2時， 方程 為合x 2 5x 4 0知， 兩根為：20 分設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，A, B, C

18、為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得yk (x1)(x4)C(0,2)2 k 1 (4)解得k 1 2所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析A, B, C式為y 1 (x 1)(x 4) x 2 3 x 2 122225 分第二試 C一此題總分值 20 分題目和解答與A卷第一題相同.二此題總分值 25 分如圖，P為銳角ABC內(nèi)一點(diǎn)，過 分別作的垂線，垂足分別為PBC, AC, AB，D, E, FBM為ABC的平分線，MP的延長線交 于點(diǎn)AB如果，求證： 是的平分線NPDPEPFCNACB2022 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分證明 如圖 1，作MM BC 于點(diǎn)M ， MM AB 于112點(diǎn) ，于點(diǎn) ，于 點(diǎn) MNN BCNNN ACN21122APH1N2EMFN2PMMNHDNBMC11NDM11設(shè) NP NM， NN / PD / MM，11N D N M1115 分假設(shè) NN1 MM1，如圖 2，作 NH MM ，分別交NMH1MM , PD 于 點(diǎn)1H , H1， 那 么 NPH1 ， ，PHNP1 PH MH ，MHNM1PD PH1H H MH NN11 (MM1NN1) NN1 MM1 (1 )NN 1假設(shè)NN1 MM