2012年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座五：一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何

1、2012年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座五一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何【知識縱橫】一次函數(shù)、反比例函數(shù)與幾何問題，往往以計算為主線，側(cè)重決策問題，或綜合各種幾何知識命題，近年全國各地中考試卷中占有相當(dāng)?shù)姆至?。這類問題的主要特點是包含知識點多、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活?？疾榉绞狡赜诳疾榭忌治鰡栴}、探究問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，要求學(xué)生熟練掌握三角形、四邊形、三角函數(shù)、圓等幾何知識，較熟練地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等常見的數(shù)學(xué)思想。解題時必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在復(fù)雜的“背景”下辨認(rèn)

2、、分解基本圖形，或通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形，并善于聯(lián)想所學(xué)知識，突破思維障礙，合理運用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決。解函數(shù)圖象與幾何的綜合題，應(yīng)善于運用坐標(biāo)，線段長度，函數(shù)解析式三者關(guān)系，要充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵?！具x擇填空】1. （浙江義烏）如圖，已知點A（0，2）、B（，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊APQ，連接PB、BA若四邊形ABPQ為梯形，則：（1）當(dāng)AB為梯形的底時，點P的橫坐標(biāo)是 ；（2）當(dāng)AB為梯形的腰時，點P的橫坐標(biāo)是 2. （浙江衢州）如圖，已知函數(shù)y=2x和

3、函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點A作AEx軸于點E，若AOE的面積為4，P是坐標(biāo)平面上的點，且以點B、O、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的P點坐標(biāo)是 3. （浙江溫州）如圖，已知動點A在函數(shù)(xo)的圖象上，ABx軸于點B，ACy軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點，使AE=AC.直線DE分別交x軸，y軸于點P,Q.當(dāng)QE：DP=4:9時，圖中的陰影部分的面積等于 _.4. （浙江紹興）如圖，矩形OABC的兩條邊在坐標(biāo)軸上，OA=1，OC=2，現(xiàn)將此矩形向右平移，每次平移1個單位，若第1次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個交點，它們的縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6

4、，則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為 （用含n的代數(shù)式表示）【典型試題】1. （浙江金華）在ABC中，ABC45，tanACB如圖，把ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB14，OC，AC與y軸交于點E2 (1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；(2)過點O作OGAC，垂足為G，求OEG的面積；(3)已知點F(10，0)，在ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定

5、理，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定和應(yīng)用。【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)求E點坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求解。(2)在RtOGE中，運用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計算面積。(3)分兩種情況討論求解：點Q在AC上；點Q在AB上求直線OP與直線AC的交點坐標(biāo)即可。2. （山東濟(jì)南）如圖，已知雙曲線，經(jīng)過點D（6，1），點C是雙曲線第三象限上的動點，過C作CAx軸，過D作DBy軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC（1）求k的值；（2）若BCD的面積為12，求直線CD的解析式；（3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由【考點】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行的判定

6、?！痉治觥浚?）把點D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，進(jìn)行計算即可得解。（2）先根據(jù)點D的坐標(biāo)求出BD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點C到BD的距離，然后求出點C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答。（3）根據(jù)題意求出點A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。3. （浙江義烏）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tanBOA=（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數(shù)

7、的解析式和n的值；（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長【考點】反比例函數(shù)綜合題，銳角三角函數(shù)定義，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）由點E的縱坐標(biāo)得出OA=4，再根據(jù)tanBOA= 即可求出AB的長度；（2）根據(jù)（1）求出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)點D是OB的中點求出點D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點E的坐標(biāo)代入進(jìn)行計算即可求出n的值。（3）利用反比例函數(shù)解析式求出點F的坐標(biāo)，從而得到CF的長度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后

8、用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度。4. （廣西玉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，梯形AOBC的邊OB在軸的正半軸上，AC/OB,BCOB,過點A的雙曲線的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D,交邊BC于點E.（1）填空：雙曲線的另一支在第 象限，的取值范圍是 ；（2）若點C的坐標(biāo)為（2,2），當(dāng)點E 在什么位置時，陰影部分面積S最小？（3）若，SOAC=2 ，求雙曲線的解析式.【考點】反比例函數(shù)綜合題，反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，梯形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到：雙曲線 的一支在第一象限，則k0，得到另

9、一支在第三象限。（2）根據(jù)梯形的性質(zhì)，ACx軸，BCx軸，而點C的坐標(biāo)為（2，2），則A點的縱坐標(biāo)為2，E點的橫坐標(biāo)為2，B點坐標(biāo)為（2，0），再分別把y=2或x=2代入可得到A點的坐標(biāo)和E點的坐標(biāo)，然后計算出陰影部分面積S關(guān)于k的二次函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值求法即可求得陰影部分面積S最小時點E 的位置。 （3）設(shè)D點坐標(biāo)為（a，），由得OD=DC，即D點為OC的中點，從而可得 C點坐標(biāo)為（2a，），得到A點的縱坐標(biāo)為，代入 可確定A點坐標(biāo)為（，），根據(jù)三角形面積公式由SOAC=2列式求解即可求出k的值，從而得到雙曲線的解析式。5. （廣東深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：y=2xb

10、 (b0)的位置隨b的不同取值而變化 (1)已知M的圓心坐標(biāo)為(4，2)，半徑為2 當(dāng)b=時，直線：y=2xb (b0)經(jīng)過圓心M： 當(dāng)b=時，直線：y=2xb(b0)與OM相切： (2)若把M換成矩形ABCD，其三個頂點坐標(biāo)分別為：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 設(shè)直線掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時，請求出S與b的函數(shù)關(guān)系式?！究键c】直線平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質(zhì)。【分析】（1）直線y=2xb (b0)經(jīng)過圓心M(4，2)， 2=24b，解得b=10。如圖，作

11、點M垂直于直線y=2xb于點P，過點P作PHx軸，過點M作MHPH，二者交于點H。設(shè)直線y=2xb與x，y軸分別交于點A，B。 則由OABHMP，得。 可設(shè)直線MP的解析式為。 由M(4，2)，得，解得。直線MP的解析式為。 聯(lián)立y=2xb和，解得。 P（）。 由PM=2，勾股定理得，化簡得。 解得。（2）求出直線經(jīng)過點A、B、C、D四點時b的值，從而分0b4，4b6，6b12，12b14，b14五種情況分別討論即可。【自主訓(xùn)練】1. （江蘇無錫）對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1x2|+|y1y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，

12、P2）（1）已知O為坐標(biāo)原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離2. （四川涼山）如圖，已知直徑為OA的P與x軸交于O、A兩點，點B、C把三等分，連接PC并延長PC交y軸于點D（0，3）求證：PODABO；若直線l：y=kx+b經(jīng)過圓心P和D，求直線l的解析式3. （四川巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C分別在x軸，

13、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關(guān)于y軸對稱，tanACB=，點E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動點（點E不與點A，D重合），且CEF=ACB。（1）求AC的長和點D的坐標(biāo)；（2）說明AEF與DCE相似；（3）當(dāng)EFC為等腰三角形時，求點E的坐標(biāo)。4. （江蘇泰州） 如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B（1，5）、C（，d）兩點點P（m，n）是一次函數(shù)的圖象上的動點（1）求k、b的值；（2）設(shè)，過點P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點D試問PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；設(shè)，如果在兩

14、個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍參考答案【選擇填空】（浙江義烏）【答案】，?！痉治觥浚?）如圖1：當(dāng)AB為梯形的底時，PQAB，Q在CP上。APQ是等邊三角形，CPx軸，AC垂直平分PQ。A（0，2），C（0，4），AC=2。當(dāng)AB為梯形的底時，點P的橫坐標(biāo)是：。（2）如圖2，當(dāng)AB為梯形的腰時，AQBP，Q在y軸上。BPy軸。CPx軸，四邊形ABPC是平行四邊形。CP=AB=。當(dāng)AB為梯形的腰時，點P的橫坐標(biāo)是：。2. （浙江衢州）【答案】（0，4），（4，4），（4，4）。【分析】先求出B、O、E的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形，即可求出P點的坐標(biāo)

15、：如圖，AOE的面積為4，函數(shù)的圖象過一、三象限，k=8。反比例函數(shù)為函數(shù)y=2x和函數(shù)的圖象交于A、B兩點，A、B兩點的坐標(biāo)是：（2，4）（2，4），以點B、O、E、P為頂點的平行四邊形共有3個，滿足條件的P點有3個，分別為：P1（0，4），P2（4，4），P3（4，4）。3. （浙江溫州）【答案】?！痉治觥窟^點D作DGx軸于點G，過點E作EFy軸于點F。A在函數(shù)(xo)的圖象上，設(shè)A（t，），則AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。在RtADE中，由勾股定理，得。EFQDAE，QE：DE=EF：AD。QE=。ADEGPD，DE：PD=AE：DG。DP=。又QE：DP=4：9， 。解得

16、。圖中陰影部分的面積=。4. （浙江紹興）【答案】或?！痉治觥吭O(shè)反比例函數(shù)解析式為，則與BC，AB平移后的對應(yīng)邊相交時，則由兩交點縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6和反比例函數(shù)關(guān)于對稱的性質(zhì)，得與AB平移后的對應(yīng)邊相交的交點的坐標(biāo)為（2，1.4），代入，得，解得。反比例函數(shù)解析式為。則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為：。與OC，AB平移后的對應(yīng)邊相交時，由得。反比例函數(shù)解析式為。則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為：。綜上所述，第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對

17、值為或?！镜湫驮囶}】1. （浙江金華）【答案】解：(1) 在RtOCE中，OEOCtanOCE，點E(0，。設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為ykx，有，解得：k。直線AC的函數(shù)解析式為y。(2) 在RtOGE中，tanEOGtanOCE，設(shè)EG3t，OG5t，得t2。EG6，OG10。/(3) 存在。當(dāng)點Q在AC上時，點Q即為點G，如圖1，作FOQ的角平分線交CE于點P1，由OP1FOP1Q，則有P1Fx軸，由于點P1在直線AC上，當(dāng)x10時，y點P1(10，)。當(dāng)點Q在AB上時，如圖2，有OQOF，作FOQ 的角平分線交CE于點P2，過點Q作QHOB于點H，設(shè)OHa，則BHQH14a，在RtOQH中

18、，a2(14a)2100，解得：a16，a28，Q(6，8)或Q(8，6)。連接QF交OP2于點M當(dāng)Q(6，8)時，則點M(2，4)；當(dāng)Q(8，6)時，則點M(1，3)。設(shè)直線OP2的解析式為ykx，則2k4，k2。y2x。解方程組，得。P2()；當(dāng)Q(8，6)時，則點M(1，3)同理可求P2()。綜上所述，滿足條件的P點坐標(biāo)為(10，)或()或()。2. （山東濟(jì)南）【答案】解：（1）雙曲線經(jīng)過點D（6，1），解得k=6。（2）設(shè)點C到BD的距離為h，點D的坐標(biāo)為（6，1），DBy軸，BD=6，SBCD=6h=12，解得h=4。點C是雙曲線第三象限上的動點，點D的縱坐標(biāo)為1，點C的縱坐標(biāo)為1

19、4= 3。，解得x= 2。點C的坐標(biāo)為（2，3）。設(shè)直線CD的解析式為y=kxb，則，解得。直線CD的解析式為。（3）ABCD。理由如下：CAx軸，DBy軸，點C的坐標(biāo)為（2，3），點D的坐標(biāo)為（6，1），點A、B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，1）。設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，則，解得。直線AB的解析式為。AB、CD的解析式k都等于相等。AB與CD的位置關(guān)系是ABCD。3. （浙江義烏）【答案】解：（1）點E（4，n）在邊AB上，OA=4， 在RtAOB中，tanBOA=，AB=OAtanBOA=4=2。（2）由（1），可得點B的坐標(biāo)為（4，2），點D為OB的中點，點D（2，1）。點

20、D在反比例函數(shù)（k0）的圖象上，解得k=2。反比例函數(shù)解析式為。又點E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，。（3）如圖，設(shè)點F（a，2），反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，解得a=1。CF=1。連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2t，在RtCGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，OG=t=。4. （廣西玉林）【答案】解：（1）三，k0，（2）梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，ACOB，BCOB，而點C的坐標(biāo)標(biāo)為（2，2），A點的縱坐標(biāo)為2，E點的橫坐標(biāo)為2，B點坐標(biāo)為（2，0），把y=2代入得；把x=2代入得。A點的坐標(biāo)為（，2），E點的坐標(biāo)為（2

21、，）。當(dāng)k=2時，S陰影部分最小，最小值為1.5。此時E點的坐標(biāo)為（2，1），即E點為BC的中點。當(dāng)點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最小。（3）設(shè)D點坐標(biāo)為（a，），OD=DC，即D點為OC的中點。C點坐標(biāo)為（2a，）。A點的縱坐標(biāo)為。把y=代入得x=，A點坐標(biāo)為（，），又SOAC=2，（2a）=2，k=。雙曲線的解析式為。5. （廣東深圳）【答案】解：（1）10；。（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D（2，2）。如圖，當(dāng)直線經(jīng)過A(2，0)時，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D（2，2）時，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B（6，0）時，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C(6，2)時，b=14

22、。當(dāng)0b4時，直線掃過矩形ABCD的面積S為0。當(dāng)4b6時，直線掃過矩形ABCD的面積S為EFA的面積（如圖1），在 y=2xb中，令x=2，得y=4b，則E（2，4b），令y=0，即2xb=0，解得x=，則F（，0）。AF=，AE=4b。S=。當(dāng)6b12時，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2），在 y=2xb中，令y=0，得x=，則G（，0），令y=2，即2xb=2，解得x=，則H（，2）。DH=，AG=。AD=2S=。當(dāng)12b14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積CMN的面積（如圖2）在 y=2xb中，令y=2，即2xb=

23、2，解得x=，則M（，0），令x=6，得y=12b，則N（6，12b）。MC=，NC=14b。S=。當(dāng)b14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8。綜上所述。S與b的函數(shù)關(guān)系式為：【自主訓(xùn)練】1. （江蘇無錫）【答案】解：（1）由題意，得|x|+|y|=1。所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，又x可取一切實數(shù)，|x2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù)x所對應(yīng)的點到數(shù)2和1所對應(yīng)的點的距離之和，其最小值為3。點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3。2. （四川涼山）【答案】（1）證明：連接PB，直徑為OA的P與x軸交于O、A兩點，點B、C把三等分，APB=DPO=180=60，ABO=POD=90。PA=PB，PAB是等邊三角形。AB=PA，BAO=60，AB=OP，BAO=OPD。在POD和ABO中，OPD=BAO， OP=BA ，POD=ABO ， PODABO（ASA）。（2）解：由（1）得PODABO，PDO=AOB。AOB=APB=60=30，PDO=30。OP=ODtan30=3。點P的坐標(biāo)為：（，0）。點P，D在直線y=kx+b上， ，解得： 。 直線l的解析式為：y=x+3。3. （四川巴中）【答案】解：（1）四邊形ABCO為矩形，B=90。在RtA