用MATLAB進(jìn)行拋體運(yùn)動(dòng)中探討模擬

1、-PAGE . z.MATLAB在拋體運(yùn)動(dòng)中的探討摘要計(jì)算機(jī)在大學(xué)物理中的應(yīng)用已有二十多年的歷史，MATLAB語言是一種集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、可視化建模、仿真和圖形處理等多種功能的高級語言。使用MATLAB模擬物理現(xiàn)象為我們解決問題提供了一種新的方法，利用其方便的數(shù)值計(jì)算和作圖功能，可以方便的模擬一些物理過程。對于處理非線性問題，既能進(jìn)展數(shù)值求解，又能繪制有關(guān)曲線，方便實(shí)用，基于其功能強(qiáng)大，界面友善，語言自然，交互性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已成為教學(xué)和科研中最根底的軟件之一，利用其解決復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問題，可以減少工作量，節(jié)約時(shí)間，圖形繪制問題，真實(shí)直觀，可以加深理解，提高工作效率。關(guān)鍵詞MATLAB語言 拋

2、體運(yùn)動(dòng) 空氣阻力 力學(xué) 圖形繪制問題的提出MATLAB自推向市場以來，得到了廣泛的應(yīng)用和開展，在各高等院校中已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真、圖像處理等諸多課程的根本教學(xué)工具，成為大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的根本技能，尤其在自動(dòng)控制理論，是最具影響力、最有活力的軟件。MATLAB提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)、便捷的與其它程序和語言接口的功能。對于拋體運(yùn)動(dòng)問題，通常需要聯(lián)立方程組，以及模擬它的路徑，運(yùn)動(dòng)過程中不同的時(shí)間對應(yīng)不同的位置，利用數(shù)學(xué)去計(jì)算很繁瑣，手工繪圖誤差大，利用MATLAB可以很好地解決數(shù)值計(jì)算，

3、模擬拋體運(yùn)動(dòng)的路徑。拋體運(yùn)動(dòng)的介紹拋體運(yùn)動(dòng)：將物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所作的運(yùn)動(dòng)，它的初速度不為零，可分為平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)。物理上提出的拋體運(yùn)動(dòng)是一種理想化的模型，即把物體看成質(zhì)點(diǎn)，拋出后只考慮重力作用，忽略空氣阻力。拋體運(yùn)動(dòng)加速度恒為重力加速度，相等的時(shí)間速度變化量相等，并且速度變化的方向始終是豎直向下的。 一般的處理方法是將其分解為水平方向和豎直方向，平拋運(yùn)動(dòng)水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng)，斜拋運(yùn)動(dòng)水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向是豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解兩種情加速度及位移等進(jìn)展相應(yīng)分析。無論怎樣分解，都必須把運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立

4、性和獨(dú)立作用原理結(jié)合進(jìn)展系統(tǒng)分解，即將初速度、受力情、加速度及位移等進(jìn)展相應(yīng)分析。斜拋運(yùn)動(dòng)：水平方向速度1豎直方向速度2水平方向位移 3豎直方向位移 4平拋運(yùn)動(dòng)： 水平方向速度 5豎直方向速度(6)水平方向位移(7)豎直方向位移(8)合速度(9)合速度方向與水平夾角：(10)合位移(11)位移方向與水平夾角：(12)三、拋體運(yùn)動(dòng)的分析1、斜拋運(yùn)動(dòng)的理論分析忽略空氣阻力情況下的拋射體運(yùn)動(dòng)是普通物理學(xué)中的一個(gè)常見問題，在高中物理教材中已有涉及，解決該問題的方法較多，分析的角度也有不同，運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法也是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)而不斷深入，對該問題的分析往往是通過運(yùn)用各種力學(xué)原理，推導(dǎo)出該運(yùn)動(dòng)的射程，飛

5、行高度，飛行時(shí)間以及飛行路徑曲線形狀等公式，但其數(shù)值求解過程比擬復(fù)雜，因此，對不具備較好高等數(shù)學(xué)根底的同學(xué)來說是較困難的。設(shè)*一拋射體的初速度為，拋射角為，將其運(yùn)動(dòng)在*,Y軸上進(jìn)展正交分解，水平方向速度(13)豎直方向 (14)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)是 (15)(16)從上兩式消去，便得質(zhì)點(diǎn)的軌跡運(yùn)動(dòng)方程(17)拋射體能到達(dá)的最大高度為 (18)其到達(dá)最大高度所需時(shí)間為(19)空中飛行時(shí)間為(20)拋射體的最大射程為(21)它跟初速度和拋射角有關(guān)，在拋射角不變的情況下，射程與成正比，所以射程隨初速度的增大而增大。在初速度不變的情況下，隨著拋射角的增大，射程也增大，當(dāng)度時(shí)，射程到達(dá)最大值，以后隨著拋射角的增

6、大，射程減小。利用MATLAB的繪圖功能，可以更直觀的表達(dá)上述結(jié)論。*=linspace(0,pi/2,100); %產(chǎn)生行向量發(fā)射角g=10; %重力加速度v1=10; %初速度取10v3=20; %初速度取20v4=25; %初速度取25y1=v12*sin(2*)/g; %初速度為10下的射程y2=v22*sin(2*)/g; %初速度為15下的射程y3=v32*sin(2*)/g; %初速度為20下的射程y4=v42*sin(2*)/g; %初速度為25下的射程subplot(2,2,1); %選擇2*2個(gè)區(qū)的一號(hào)區(qū)plot(*,y1); %輸出初速度為10下的射程曲線title(v0

7、=10); %加圖形標(biāo)題te*t(pi/4,10,射程為10); %在最大射程處加圖形說明subplot(2,2,2); %選擇2*2個(gè)區(qū)的二號(hào)區(qū)plot(*,y2); %輸出初速度為15下的射程曲線title(v0=15); %加圖形標(biāo)題te*t(pi/4,22.5,射程為22.5); %在最大射程處加圖形說明subplot(2,2,3); %選擇2*2個(gè)區(qū)的三號(hào)區(qū)plot(*,y3); %輸出初速度為20下的射程曲線title(v0=20); %加圖形標(biāo)題te*t(pi/4,40,射程為40); %在最大射程處加圖形說明subplot(2,2,4); %選擇2*2個(gè)區(qū)的四號(hào)區(qū)plot(*,

8、y4); %輸出初速度為25下的射程曲線title(v0=25); %加圖形標(biāo)題te*t(pi/4,62.5,射程為62.5); %在最大射程處加圖形說明程序運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。2、斜拋運(yùn)動(dòng)解決實(shí)際問題求解最大飛行路徑所對應(yīng)的拋射角問題空氣阻力忽略不計(jì)，如圖2所示，*,Y坐標(biāo)軸分別代表拋射體的射程與射高，在處，設(shè)在*一微小時(shí)段拋射體的路徑變量圖1 射程與拋射角、初速度的關(guān)系為，其對應(yīng)的水平及豎直方向的變量為與，則22設(shè)射程為R，則飛行路徑長度23根據(jù)前面的推論，(24)其中為拋射的初始速度，為拋射角，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，有 2526從24、(25中消除，我們可得到該運(yùn)動(dòng)的拋物線方程：27從24中可

9、知，為求解L,先得求出，因此在4式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，得：28將27代入式24，等式兩邊同時(shí)積分，便得到了飛行路徑長度與拋射角之間的關(guān)系：29根據(jù)式28，為求得L的最大值，將28兩邊同時(shí)對求導(dǎo)30令，可得到最大飛行路徑所對應(yīng)的拋射角的大小，但解此方程是比擬困難的。為此，我們采用MATLAB的函數(shù)運(yùn)算功能來解決這一問題。程序如下，設(shè)其中的拋射初速度，。*=(0:pi/100:pi/2); %產(chǎn)生行向量*y1=(sin(*)+(cos(*).*cos(*).*log(1+sin(*)./cos(*)*100/9.8; %飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)關(guān)系y2=cos(*).*(1-sin(*).*lo

10、g(1+sin(*)./cos(*)*200/9.8;%飛行路徑對拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系m=(sin(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi/6)*log(1+sin(pi/6)/cos(pi/6)*100/9.8; %拋射角取*一特定值時(shí)飛行路徑值n=cos(pi/3)*(1-sin(pi/3)*log(1+sin(pi/3)/cos(pi/3)*200/9.8;%拋射角取*一特定值時(shí)飛行路徑一階導(dǎo)的值plot(*,y1,b:); %輸出飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)表達(dá)式hold on; %設(shè)置圖形保持狀態(tài)plot(*,y2,k); % 輸出飛行路徑對拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表達(dá)

11、系hold off; %關(guān)閉圖形保持te*t(pi/6,m,y1); %在指定位置添加圖例說明te*t(pi/3,n,y2); %在指定位置添加圖列說明grid; %網(wǎng)格線控制運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。圖2給出了飛行路徑隨拋射角的變化曲線及飛行路徑曲線的斜度，從圖中可以得到，當(dāng)弧度時(shí)，即度時(shí)，飛行路徑最大，此時(shí)31我們知道，在不考慮空氣阻力的情況下，當(dāng)拋射角度時(shí)，其射程最遠(yuǎn)，但此時(shí)其飛行路徑并不是最遠(yuǎn)，而是當(dāng)拋射角度時(shí)，其飛行路徑最遠(yuǎn)，且其長度約為，實(shí)際上，由于空氣阻力的存在，拋射體在空中是沿導(dǎo)彈曲線彈頭飛行時(shí)其重心所經(jīng)過的路線飛行的，它與拋物線不同，它的升弧與降弧不對稱，在重力與空氣阻力的共同影響

12、下，彈道形成不均等的圓弧，升弧較長而直伸，降弧較短而彎曲.斜拋射出的炮彈的射程和射高都沒有按拋體計(jì)算得到的值則大，路線也不是理想曲線。圖2 拋射角與飛行路徑及其一階導(dǎo)數(shù)曲線圖物體在空氣中受到的阻力，與物體運(yùn)動(dòng)速度大小有密切聯(lián)系，速度越小，越接近理想情況，當(dāng)物體速度低于200米每秒時(shí)，阻力與物體速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之間時(shí)，空氣阻力與速度大小的三次方成正比，在速度很大的情況下，阻力與速度大小的高次方成正比。 3、拋射角為90度的特殊拋體運(yùn)動(dòng)一彈性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，與地面碰撞的速度衰減系數(shù)k=0.8，試計(jì)算任意時(shí)刻球的位置和速度。高度

13、與時(shí)間的關(guān)系：，32速度與時(shí)間關(guān)系：33對等式兩邊積分，有，34， 35由此可得數(shù)學(xué)方程：第一次落地前：3637 38第二次落地前：3940(41)(42)第三次落地前：43444546. . . . . .第n次落地前：4748 49)(50)如用手工進(jìn)展計(jì)算，計(jì)算量極大，利用MATLAB編程如下：v0=15; %初速度h=10; %初始高度g=-9.8; %重力加速度k=0.8; %衰減系數(shù)T=0; %落地時(shí)間for t=0:0.05:20 % 產(chǎn)生時(shí)間的行向量 v=v0+g*(t-T); %求速度 y=h+v0*(t-T)+g*(t-T)2/2; %求高度if y=0 %循環(huán)判斷條件 v

14、0=-k*v; %衰減的速度 T=t; %求球每次落地所用時(shí)間 h=0; %將高度變零end %選擇構(gòu)造完畢 subplot(1,2,1); %選擇1*2中的一號(hào)區(qū) pause(0.1); %延緩 plot(1,y,or,MarkerSize,10,Markerface,1,0,0); %輸出求球的運(yùn)動(dòng)圖像 title(運(yùn)動(dòng)變化圖); %圖形名稱 a*is(0,2,0,25); %坐標(biāo)控制 subplot(2,2,2); %選擇2*2中的二號(hào)區(qū) a*is(0,20,-25,30); %坐標(biāo)控制 grid on; %不畫網(wǎng)格線 plot(t,v,*r,MarkerSize,2); %畫球的速度曲

15、線 *label(時(shí)間t); %坐標(biāo)軸說明 ylabel(速度v); %坐標(biāo)軸說明 title(速度變化趨勢圖); %圖形名稱 hold on; %設(shè)置圖形保持狀態(tài) subplot(2,2,4); %選擇2*2中的四號(hào)區(qū) a*is(0,20,0,25); %坐標(biāo)控制 grid on; %不加網(wǎng)格線 plot(t,y,*b,MarkerSize,2); %畫球的位置曲線 *label(時(shí)間t); %坐標(biāo)軸說明 ylabel(高度y); %坐標(biāo)軸說明 title(位置變化圖); %圖形名稱 grid on %不加網(wǎng)格線 hold on %設(shè)置圖形保持狀態(tài)end %循環(huán)完畢程序運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。

16、4、對平拋運(yùn)動(dòng)的分析將物體用一定的初速度沿水平方向拋出，不考慮空氣的阻力，物體只在重力作用下所做的運(yùn)動(dòng)，叫做平拋運(yùn)動(dòng)。 豎直的重力與速度方向有夾角，做曲線運(yùn)動(dòng)；水平方向不受外力作用，是勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Vo；豎直方向受重力作用，沒有初速度，加速度為重力加速度g,是自由體運(yùn)動(dòng)。即做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，在水平方向上由于不受力，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上的物體的初速度為0.且只受到重力作用，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為g。平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：1、拋出t秒末的速度： 一拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)?軸正方向和初速度V0的方向一樣，豎直方向?yàn)閥軸，正方向向下，則： 水平分速度：V*=Vo 51豎直分速度：Vy

17、=gt 52 合速度：Vt=53tan= 54運(yùn)用MATLAB編程得到速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，程序如下：圖3 小球落地速度及位置曲線t=0:0.01:10; %產(chǎn)生時(shí)間的行向量 Vt=-sqrt(102+9.8*t.2); %求速度 plot(t,Vt); %輸出速度曲線 title(物體速度隨時(shí)間的變化); % 圖形名稱 grid %加網(wǎng)格線運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。2、平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻t的位置坐標(biāo)：水平位移：*=Vot 55豎直位移：y=g 56合位移：s= 57 tan= 58運(yùn)用該公式，我們可以求得物體在任意時(shí)刻的坐標(biāo)并找到物體所在位置后，再用平滑曲線把這些點(diǎn)連起來，就得到平拋運(yùn)動(dòng)的軌

18、跡。運(yùn)用MATLAB 編程的到物體運(yùn)動(dòng)的曲線的程序如下：t=0:0.01:10; %產(chǎn)生時(shí)間行向量s=-sqrt(3*t).2+(0.5*9.8*t.2).2); %求位移plot(t,s,r:); %輸出位移曲線title(物體平拋運(yùn)動(dòng)軌跡); %圖形名稱grid %加網(wǎng)格線運(yùn)行結(jié)果如圖5所示。圖4 平拋運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化關(guān)系圖5物體平拋軌跡曲線四、結(jié)論從以上對拋體運(yùn)動(dòng)的分析可得出這些結(jié)論：1、拋射體的射程與初速度和拋射角有關(guān)，在拋射角不變的情況下，射程隨初速度的增大而增大，在拋射角不變的情況下，射程隨拋射角的增大而增大，當(dāng)拋射角到達(dá)四十五度時(shí)射程到達(dá)最大值，之后射程隨著拋射角的增大而減小。

19、2、拋體運(yùn)動(dòng)的分析牽扯到很多復(fù)雜的推理與計(jì)算，MATLAB可以有效的解決這一問題，MATLAB的數(shù)值計(jì)算和作圖功能來模擬物理現(xiàn)象，減少了計(jì)算工作量，并且可以準(zhǔn)確的得到計(jì)算結(jié)果，且繪制的圖形使抽象的問題形象化。五、課程體會(huì)1、一學(xué)期的MATLAB課程的學(xué)習(xí)即將完畢，忙碌的同時(shí)也收獲了很多。在準(zhǔn)備期末論文之前有時(shí)會(huì)抱怨自己的課后作業(yè)相比其他班級偏多，但在寫作過程中可以明顯感覺到平時(shí)的作業(yè)對自己的學(xué)習(xí)有很大的作用，一些根本的函數(shù)語句不用再查閱書籍，有困難的地方，不確定的函數(shù)語句可以很快在課本上找見。期末2、在理論知識(shí)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的教學(xué)模式下測評以論文的形式，可以很好的檢測這學(xué)期的學(xué)習(xí)情況，每個(gè)語句的編寫穩(wěn)固了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提高了自己的邏輯思維能力，對于有疑問的知識(shí)點(diǎn)，編寫時(shí)不斷的翻閱書籍與請教他人，也能得到攻克，同時(shí)學(xué)會(huì)了一些根本的辦公系統(tǒng)操作。，可以及時(shí)體會(huì)到MATLAB在解決實(shí)際問題上的方便，對所學(xué)章節(jié)也有了更全面的了解。比方線性