靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、1第5章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 2主要內(nèi)容5-3 力的虛設(shè)方法 5-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算5-1 概述5-4 制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算 5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 5-7 圖乘法 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 5-8 線性變形體系的互等定理3a）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱。 -t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產(chǎn)生內(nèi)力和變形,產(chǎn)生剛體移動(dòng)a）荷載作用；2、產(chǎn)生位移的主要原因：1、計(jì)算位移目的：舉例l5-1 概述 4位移是幾何量，自然可用幾何法來(lái)求，但最好的方法是虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。5-1 概述 3）計(jì)算所

2、采用的理論虛功原理 虛功力在由其它原因產(chǎn)生的位移上所做的功。 其中： 虛功 虛功原理剛體虛功原理變形體虛功原理Fp1Fp2121122AB125如屋架在豎向荷載(自重）作用下，下弦各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實(shí)際長(zhǎng)度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。建筑起拱返回5-1 概述 65-1 概述 剛體虛功原理： 所有外力所做的虛功等于零，即： 虛功原理 虛力原理 虛位移原理 虛力原理位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的 辦法來(lái)求真實(shí)的位移。 虛位移原理力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位 移的辦法來(lái)求真實(shí)的力。 變形體虛功原理：所有外力做的虛功=所有內(nèi)力

3、做的虛功，即： 7PXP 1 虛功原理的應(yīng)用1）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）2）虛設(shè)力求位移（虛力原理）abACBFPFX1)、需設(shè)位移求靜定結(jié)構(gòu)的未知力X =1，P=b/a5-1 概述 8虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）1）由虛位移原理建立的虛功方程，實(shí)質(zhì)上是平衡方程。 2）虛位移與實(shí)際力系是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的，為了方便，可以隨意虛設(shè)，如設(shè)X=1。 3）虛功法求未知力的特點(diǎn)是采用幾何的方法求解靜力平衡問(wèn)題。 作出機(jī)構(gòu)可能發(fā)生的剛體虛位移圖； 應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的某一約束力X的步驟：1）撤除與X相應(yīng)的約束，使靜定結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)， 使原來(lái)的約束力X變成主動(dòng)力。2）沿X方向虛設(shè)單位虛

4、位移。利用幾何關(guān)系求出其它主動(dòng)力對(duì)應(yīng)的虛位移。3）建立虛功方程，求未知力。5-1 概述 9a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75FYCqqaqa20.75/a+qa0.75qa20.75/aq3a1.5/20FYC=2.25qa虛功方程為: FYC15-1 概述 求：FYC10a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa2FQCFQC 5/a+qa0.25qa20.25/aq(12a/2+0.5 a/2 )0FQC=1.25qa 虛功方程為: FQC15-1 概述 求：F右QC112)、應(yīng)用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移 b acFP=1建立虛功方

5、程：FP+RAc=0（）1）由虛力原理建立的虛功方程，實(shí)質(zhì)上是幾何方程。2）虛荷載與實(shí)際位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的，為了方便，可以 隨意虛設(shè)，如設(shè)P=1。故稱(chēng)單位荷載法。3）虛功法求位移的特點(diǎn)是采用平衡的方法求解幾何問(wèn)題。5-1 概述 125-1 概述 很顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理 。 顯然支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)該用剛體的虛力原理計(jì)算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形體的虛力原理計(jì)算。 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移剛體位移 制造誤差產(chǎn)生的位移剛體位移 荷載作用產(chǎn)生的位移變形體位移溫度改變產(chǎn)生的位移變形體位移4）靜定結(jié)構(gòu)位移的類(lèi)型135-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算 支

6、座移動(dòng)產(chǎn)生的位移應(yīng)采用剛體的虛力原理來(lái)計(jì)算。 例：圖示簡(jiǎn)支梁B支座往下位移了 ，求由此產(chǎn)生的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角 。 真實(shí)的位移狀態(tài) 虛設(shè)的力狀態(tài)解：運(yùn)用剛體的虛功原理，虛設(shè)的力狀態(tài)上的所有外力在真實(shí)的位移狀態(tài)上所做的虛功應(yīng)該等于零，有： 得：LM=1AB14可以得出由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式如下： 其中： 由虛設(shè)力產(chǎn)生的在有支座位移處的支座反力 c 真實(shí)的支座位移 例：圖示三鉸剛架A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C點(diǎn)的豎向位移 , 和C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。 真實(shí)的位移狀態(tài) abL/2L/2LABC5-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算 （1）求C點(diǎn)的豎向位移 在C點(diǎn)作用一個(gè)豎向單位力，求出:15虛設(shè)的

7、力狀態(tài)（2）求C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角 在C點(diǎn)作用一對(duì)力矩，求出 和 。 Fp=1ABC5-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算 ABCM=1虛設(shè)的力狀態(tài)真實(shí)的位移狀態(tài) LL/2L/2bABCa165-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算 abl/2l/2h1 11h1h00相對(duì)轉(zhuǎn)角的概念：求C點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角,結(jié)構(gòu)變形圖ABC虛設(shè)的力狀態(tài)M=1175-3 力的虛設(shè)方法 力的大小 一般虛設(shè)單位力 。力的位置 作用在所求位移的點(diǎn)及方向上。 力的方向 隨意假設(shè)，若求出的位移是正的，說(shuō) 明 位移與假設(shè)的方向一致。若是負(fù)的，說(shuō) 明與假設(shè)的方向相反 。力的性質(zhì) 求線位移加單位集中力；求轉(zhuǎn)角加單位力矩；求二點(diǎn)的相對(duì)水平或豎向位移加一對(duì)相反

8、的單位集中力；求二點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)角要加一對(duì)單位力矩。 18Fp=1求C點(diǎn)豎向位移求B點(diǎn)水平位移Fp=1求C點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移M=1Fp=1求A、B兩點(diǎn)相對(duì)豎向位移Fp=1Fp=1Fp=15-3 力的虛設(shè)方法 CBCAB求A、B兩點(diǎn)相對(duì)水平位移AB19M=1求C點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移求CD桿相對(duì)轉(zhuǎn)角位移Fp=1/LFp=1/L5-3 力的虛設(shè)方法 CCDP=1P=1l1/l1/l求AB兩點(diǎn)的相對(duì)位移求AB兩點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)角ABAB205-4 制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算 制造誤差產(chǎn)生的位移采用剛體的虛力原理計(jì)算。 例：圖示桁架AC桿比要求的短了2cm,求由此產(chǎn)生的C 點(diǎn)水平位移 。真實(shí)的位移狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)-2cmbaABCF

9、p=1CBA解：在C點(diǎn)作用一水平單位力，方向朝左，求出AC桿的內(nèi)力，令虛設(shè)的力到真實(shí)的位移上去做功，由虛功方程有 ：21利用虛功方程有：得：例：圖示懸臂梁C點(diǎn)由于制造誤差有一轉(zhuǎn)角 ，求由 此引起的B點(diǎn)豎向位移 。 解：虛設(shè)一力狀態(tài)：在B點(diǎn)加一豎向單位力，求出C點(diǎn)的彎矩，并把C點(diǎn)的抗彎連系去掉，用彎矩 表示。baBCA5-4 制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算 Mc=aFp=1BCA桿件制作時(shí)縮短了，要按原來(lái)設(shè)計(jì)的位置安裝，則必須“拉伸”桿件;虛設(shè)單位力時(shí)該桿件的內(nèi)力如果為拉，則變形趨勢(shì)一樣，做正功，否則做負(fù)功!22利用虛功方程有： 得： 由制造誤差引起的位移計(jì)算公式如下： 其中： 正負(fù)號(hào)規(guī)定：虛內(nèi)力與變形

10、方向一致為正，方向相反為負(fù)。 制造產(chǎn)生的軸向變形、彎曲變 形和剪切變形。5-4 制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算 虛設(shè)單位力作用下產(chǎn)生的軸力、 剪力和彎矩。 23例：圖示桁架DC桿短了2cm，F(xiàn)E桿長(zhǎng)了3cm，求C點(diǎn)的豎向位移。 解：在C點(diǎn)作用一豎向單位力，求出DC桿、FE桿的軸力： 運(yùn)用虛功原理有： Fp=1+3-24m34=12mABEDFCABEDFC5-4 制造誤差產(chǎn)生的位移計(jì)算 245-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 溫度作用產(chǎn)生的位移采用變形體的虛力原理計(jì)算 。 推導(dǎo)計(jì)算公式： 圖示簡(jiǎn)支梁上下溫度不一樣 ， 求由此起的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角 。 取出一微段，研究一下溫度所引起的變形。 微段發(fā)生的轉(zhuǎn)角為： dt2t1

11、t2 dsABLds+t2+t1h1hh2+t0t0dst1ds25微段發(fā)生的軸向變形為： 桿件軸線處的溫度變化值 其中： 桿件上下邊緣的溫度差值溫度變化不會(huì)產(chǎn)生剪切變形。真實(shí)的位移狀態(tài) 運(yùn)用變形體的虛功原理，所有外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功： 虛設(shè)的力狀態(tài) t2t1LAB5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 LM=1AB26有：若是結(jié)構(gòu)，則公式為： 若溫度沿桿長(zhǎng)變化相同，且截面高度不變，則上式寫(xiě)成：其中： 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的軸力圖面積5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的彎矩圖面積27正負(fù)號(hào)的規(guī)定：虛力狀態(tài)中的變形與溫度改變產(chǎn)生的變形方向一致時(shí)，取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 例：圖示三鉸剛架，室內(nèi)溫度

12、 比原來(lái)升高了300，室外 溫度沒(méi)有變化，求C點(diǎn)的 豎向位移 ，桿件的截 面為矩形，高度h為常數(shù)， 材料的膨脹系數(shù)為 。5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 10m5m5mABC+300002m28解：（1）在C點(diǎn)作用一豎向單位力畫(huà)出 和 圖。 （2）運(yùn)用公式求 0.2008Fp=12.082.082.082.08Fp=10.50.38FN圖ABCABC5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 M1圖29例:求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移。各桿截面為矩形。aa0+10+10CP=1P=11aFN5-5 溫度作用時(shí)的計(jì)算 解：（1）在C點(diǎn)作用一豎向單位力畫(huà)出彎矩和軸力圖。 （2）運(yùn)用公式求 30荷載作用下的位

13、移計(jì)算采用的是變形體的虛力原理。 推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式： 圖示懸臂梁微段 發(fā)生了 軸向變形 剪切變形 彎曲變形 ，求B點(diǎn)的豎向位移。 把微段的變形濃縮至D點(diǎn)： 1）積分法 dd5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 ABCDdsDCddddDCB31虛設(shè)一力狀態(tài) ：B點(diǎn)的豎向位移為： 若整根梁上都有變形，則B點(diǎn)的豎向變形為： 由材料力學(xué)可知 ：對(duì)結(jié)構(gòu)則有： ABFP=15-6 荷載作用下的位移計(jì)算 325-6 荷載作用下的位移計(jì)算 其中: 荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩 剪力、軸力 單位力作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩 剪力、軸力 33 求解荷載作用下的位移計(jì)算步驟 ： （1）寫(xiě)出結(jié)構(gòu)在荷載作用下每根桿件的彎矩、

14、剪力、 軸力的方程； （2）寫(xiě)出結(jié)構(gòu)在虛設(shè)單位力作用下每根桿件的彎矩、 剪力、軸力的方程； （3）代入公式計(jì)算。 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 34例：求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C的豎向位移 。解：（1）取虛力狀態(tài)如圖： （2）寫(xiě)出 彎矩、剪力方程：當(dāng)時(shí)（3）計(jì)算 Fp=1C/CABL/2L/22/L/L/2L/25-6 荷載作用下的位移計(jì)算 q kNm虛設(shè)單位荷載： 實(shí)際荷載： 矩形截面：k1.235（4）比較彎曲變形與剪切變形的影響 彎曲變形： 剪切變形： 兩者的比值： 若高跨比為： 則：5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 結(jié)論： 在計(jì)算受彎構(gòu)件時(shí)，若截面的高度遠(yuǎn)小于桿件的長(zhǎng)度的話，一般可以不考慮剪切變形

15、及軸向變形的影響。36例：計(jì)算圖示剛架C點(diǎn)的水平位移 和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 ，各桿的EI為常數(shù)。 解：（1）求 寫(xiě)出桿件的 方程 BC桿： BA桿： 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 LACBLEIEIqACFP=1BC37（2）求 BC桿： BA桿： 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 ACBM=1寫(xiě)出桿件的 方程 38由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式： 其中： 由虛設(shè)力產(chǎn)生的在有支座位移處的支座反力 c 真實(shí)的支座位移 由制造誤差引起的位移計(jì)算公式其中： 制造產(chǎn)生的軸向變形、彎曲變 形和剪切變形。虛設(shè)單位力作用下產(chǎn)生的軸力、 剪力和彎矩。 39其中： 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的軸力圖面積 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的彎矩圖面積由

16、溫度變化引起的位移計(jì)算公式： 40各種靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式如下: （1）梁、剛架 只考慮彎曲變形 （2）桁架 只有軸向變形 （3）組合結(jié)構(gòu)受彎構(gòu)件只考慮彎曲變形 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 41（4）三鉸拱 曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形, 拉桿只有軸向變形 。曲桿的積分計(jì)算可用數(shù)值計(jì)算代替: 其中:都取段上中點(diǎn)的值。 5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 42例：求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點(diǎn)的豎向位移 ， 已知EI為常數(shù)。 解：取虛力狀態(tài)如下所示： 為求 取kB隔離體如下： pBOkFQkNkMkd5-6 荷載作用下的位移計(jì)算 dsORABFpkORABF =1p435-7 圖乘法 受彎構(gòu)件的位

17、移計(jì)算公式: 若EI是常數(shù)就可提到積分號(hào)的外面,上式就變?yōu)? 若和中有一個(gè)是直線圖,如圖所示:代入上式有: 是常數(shù),可提到積分號(hào)的外面x0yoC形心xy0ddxABM 圖AMP圖BxM445-7 圖乘法 x0yoC形心ddxxy0ABM 圖AMP圖BxM是圖對(duì)Y軸的面積矩,可寫(xiě)成: 其中: -是圖的面積 -是圖的形心到Y(jié)軸的距離 有: 令: 得：-是圖形心位置所對(duì)應(yīng)的圖中的豎標(biāo) 45圖乘法應(yīng)用的前提： 桿件的EI是常數(shù)； 桿件是直桿；的圖形至少有一個(gè)是直線圖形。 兩個(gè)直線圖形的圖乘公式： 5-7 圖乘法 各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。abdcl/3

18、l/3l/312y1y246S = 9/6（262+243+63+42） =111326495-7 圖乘法 2364（3）9（ 2）32649(1)47labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線乘直線形5-7 圖乘法 （4）236948上述圖乘公式的適用所有直線圖形的情況，例： 5-7 圖乘法 49l/2l/2habh(l+b)/3(l+a)/3頂點(diǎn)hl/43l/43l/85l/8h頂點(diǎn)2l/53l/5l/54l/55-7 圖乘法 h2l/3l/3l幾種圖形的面積及形心50復(fù)雜圖形的處理：+=+=5-7 圖乘法 51EI=3.6465 104Nm22

19、00378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2求C點(diǎn)豎向位移。5-7 圖乘法 52qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111l1y12y23y3B23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=+=EIqllqllqllqlEI()1332211+=DMyyyEIwww求B點(diǎn)水平位移。5-7 圖乘法 5396kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB求AB兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+

20、-2639632(+-+-=DEI61833631826362661EI=常數(shù)9999995-7 圖乘法 54例：求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)的 豎向位移。 解：（1）求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（2）求C點(diǎn)的豎向位移CAB20kN10kN/m6m6m6Fp=1MC圖1M=1MA圖5-7 圖乘法 30045MP圖55例：求圖示三鉸剛架C點(diǎn)的 相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：荷載作用下的彎矩圖和虛設(shè)力作用下的彎矩圖如圖所示。B20kN/m5-7 圖乘法 ACED8m6m2mAEDBAEDB12012040403/43/41MC圖Mp圖M=1565-7 圖乘法 3/43/41AEDB1201204040Mp圖AEDBMC圖M=1575-8

21、線性變形體系的互等定理 本節(jié)介紹線性變形體系的四個(gè)互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三個(gè)定理均可由此推導(dǎo)出來(lái)。 1) 功的互等定理 設(shè)有兩組外力FP1和FP2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，如圖所示，(a)、(b)分別稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。(a) 第一狀態(tài) FP1121121(b) 第二狀態(tài) FP21 2122258 這兩組力按不同次序先后作用于同一結(jié)構(gòu)上時(shí)所作的總功分別為：(1)先加FP1后加FP2，外力的總功(2)先加FP2后加FP1，外力的總功(a) 第一狀態(tài)FP1121121(b) 第二狀態(tài)FP21 212225-8 線性變形體系的互等定理 外力所作總功與加載次序無(wú)關(guān)， 即

22、：W1 = W2 由1、2可得：59功的互等定理: 即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。5-8 線性變形體系的互等定理602) 位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1 =FP2 =1由功的互等定理式（a）則有：即：(a) 第一狀態(tài) FP111221(b) 第二狀態(tài) FP211 2125-8 線性變形體系的互等定理位移互等定理:第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移。在位移互等定理中： 單位力廣義力（單位力偶、單位集中力）； 位 移廣義位移（線位移、角位移）。61反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例。 左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移11時(shí)，