數(shù)學(xué)模型分形簡(jiǎn)介

1、數(shù)學(xué)模型 分形(fn xn)簡(jiǎn)介北京理工大學(xué) 王宏洲共四十七頁(yè)大自然的不規(guī)則性：樹(shù)木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規(guī)則的。晶體(jngt)的生長(zhǎng)，分子的運(yùn)動(dòng)軌跡等也是不規(guī)則的。如何用幾何來(lái)描述它？B. Mandelbrot 觀察到英國(guó)海岸線與Van Koch 曲線的關(guān)系，提出了一門描述大自然的幾何形態(tài)的學(xué)科-分形(Fractal)：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？一、分形(fn xn)簡(jiǎn)介1、分形的起源共四十七頁(yè) 分形的特性 1、具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu) 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓?fù)渚S數(shù)，并且它大于對(duì)應(yīng)的 拓?fù)渚S數(shù) 4、具有隨機(jī)性 5、在大多數(shù)情況下，分形可以用非常 簡(jiǎn)單的方法確定(qudng)，可能

2、由迭代產(chǎn)生。 共四十七頁(yè) 分形的應(yīng)用領(lǐng)域 1、數(shù)學(xué)：動(dòng)力系統(tǒng) 2、物理：布朗運(yùn)動(dòng)，流體力學(xué)中的湍流 3、化學(xué)：酶的構(gòu)造， 4、生物：細(xì)胞的生長(zhǎng)(shngzhng) 5、地質(zhì)：地質(zhì)構(gòu)造 6、天文：土星上的光環(huán) 其他：計(jì)算機(jī)，經(jīng)濟(jì)，社會(huì)，藝術(shù)等等共四十七頁(yè)2、圖形迭代(di di)生成分形給定初始圖形 ，依照某一規(guī)則 對(duì)圖形反復(fù)(fnf)作用 得到圖形序列 其極限圖形是分形，作用規(guī)則 稱為生成元。 共四十七頁(yè)例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花(xuhu)曲線的生成元是共四十七頁(yè)Minkowski “香腸(xingchng)”共四十七頁(yè)Sierpinski地毯(dtn)共四十七頁(yè)

3、花草樹(shù)木(L系統(tǒng)(xtng)）生物學(xué)家Lindenmayer提出。一個(gè)L系統(tǒng)可表示為一個(gè)有序的三元素集合：其中：V是一些(yxi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程集合， w是初始形狀， P是生成式。例如，F(xiàn)表示向前距離d, +表示左轉(zhuǎn)彎a, -表示右轉(zhuǎn)彎，表示壓棧，表示出棧。共四十七頁(yè)花草樹(shù)木(L 系統(tǒng)(xtng)）共四十七頁(yè)共四十七頁(yè)共四十七頁(yè)3、函數(shù)迭代(di di)產(chǎn)生的分形Z表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上定義函數(shù)f(Z)。任意給定初始復(fù)數(shù)值 ，定義復(fù)數(shù)序列(xli)對(duì)于什么樣的初始值 ，復(fù)數(shù)序列收斂或有界？共四十七頁(yè) Julia集 考慮復(fù)變函數(shù)迭代(di di)固定復(fù)參數(shù) c，使得迭代序列有界的初值 在復(fù)平面上的分布圖

4、形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界共四十七頁(yè) Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代(di di)序列（2）有界的參數(shù) c 在復(fù)平面上的分布圖形稱為 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變?yōu)楣菜氖唔?yè) Julia 集的繪制方法：1、設(shè)定初值 p,q, 最大的迭代次數(shù) N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數(shù) K.2、設(shè)定區(qū)域的界值 3、將區(qū)域 分成 的網(wǎng)格，分別以每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)為初值 利用（3）做迭代。如果(rgu)對(duì)所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開(kāi)始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。共四十七頁(yè)Julia 集共四十

5、七頁(yè)Mandelbrot集共四十七頁(yè)、IFS迭代(di di)產(chǎn)生分形混沌游戲給定(i dn)平面上三點(diǎn)A, B, C。再任意給定初始點(diǎn) , 做下列迭代當(dāng)擲出的硬幣呈正面當(dāng)擲出的硬幣呈反面當(dāng)擲出的硬幣呈側(cè)面按上述方式迭代數(shù)百次，呈現(xiàn)極不規(guī)則的圖形。故稱為混沌游戲。共四十七頁(yè) IFS迭代 IFS-Iterated Function System 取定 n 個(gè)仿射變換以及 n 個(gè)概率 任給初值 ，以概率 選取變換 進(jìn)行(jnxng)迭代 則點(diǎn)集 的聚點(diǎn)集合稱為一個(gè)IFS吸引子。共四十七頁(yè) 用IFS繪制分形的方法、設(shè)圖形可視區(qū)域?yàn)榧僭O(shè)采用L 級(jí)灰度的圖像繪制，總迭代次數(shù)為N。、將 V 分成(fn c

6、hn) 的網(wǎng)格，格點(diǎn)為 用 表示矩形區(qū)域。用表示在N次迭代中落入 中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。記 則象素 (i,j)的灰度為共四十七頁(yè)共四十七頁(yè)5、一些分形(fn xn)圖片共四十七頁(yè)共四十七頁(yè)分形(fn xn)并不只是能產(chǎn)生一些毫無(wú)意義的怪異曲線！共四十七頁(yè)關(guān)鍵如何去設(shè)計(jì)迭代方式和過(guò)程，分形就能描繪出與現(xiàn)實(shí)世界(shji)驚人相似的圖像！共四十七頁(yè)三、分形(fn xn)的應(yīng)用歐幾里得幾何學(xué)它無(wú)法描寫大自然中的云彩 、山嶺、海岸線或樹(shù)木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹(shù)皮并不 光滑，閃電更不是沿著直線傳播的。 自然界的許多圖樣都是如此地不規(guī)則和支離破碎。這些圖樣的存在，使我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W

7、幾里得認(rèn)為是“無(wú)形狀可言的 ”形狀，去研究“無(wú)定形”的形態(tài)學(xué)。于是(ysh)就產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)幾何分形幾何學(xué)它描述了大自然和我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀.分形理論是一門交叉性的學(xué)科，從振動(dòng)力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從分子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理(dl)科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語(yǔ)言學(xué)、 社會(huì)學(xué)等等，都與分形融合與關(guān)聯(lián)。分形理論對(duì)方法論和自然觀產(chǎn)生了強(qiáng)烈影響，從分形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)世界是以分形的方式存在和演化著的.共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)幾何自然界存在(cnzi)的一些形狀及其結(jié)構(gòu)諸如星系、

8、閃電、泥裂、材料斷口、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹(shù)冠、支氣管、小腸絨毛、大腦皮層等等。盡是分形。共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)幾何我們周圍見(jiàn)到的最不規(guī)則而復(fù)雜的現(xiàn)象：山巒和云團(tuán)的外形，星系在宇宙中的分布，金融市場(chǎng)價(jià)格的起伏等，獲取這種數(shù)學(xué)描述的一條途徑在于找到“模型”。需構(gòu)想或發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)則，使之能對(duì)實(shí)現(xiàn)的某些部分做“數(shù)學(xué)上的偽造”做成山巒或云團(tuán)的照片、最深層空間的天體圖、報(bào)紙金融版的圖表等。這些現(xiàn)象需要的幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結(jié)構(gòu)(jigu)特別是需要分形幾何學(xué)。分形幾何它與歐幾里得幾何相反，是沒(méi)有規(guī)則的。它們處處無(wú)規(guī)則。而在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則

9、性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來(lái)一個(gè)模樣自相似。整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn)，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)幾何自然界提供了許多分形實(shí)例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證(bozhng)了小尺度上的特征成長(zhǎng)后就變成大尺度上的特征。分形能偽造海岸線、山巒和云團(tuán)。以致用分形制作星際旅行II那樣的影片的一些場(chǎng)景。 “云團(tuán)不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹(shù)皮不是光的，閃電不會(huì)沿直線行進(jìn)”。所有這些自然結(jié)構(gòu)都具有不規(guī)則形狀，它們

10、是自相似的。其部分放大便能進(jìn)一步揭示其深層結(jié)構(gòu)。 共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)幾何模型所建立的簡(jiǎn)單的幾何結(jié)構(gòu)，其與所生成的自然結(jié)構(gòu)特征相同。從山巒的分形模擬方法產(chǎn)生一種理論，以描述地球表面的地勢(shì)(dsh)起伏。共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？1967年Mandelbrot提出了“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？”的問(wèn)題。長(zhǎng)度與測(cè)量單位有關(guān)，以1km為單位測(cè)量海岸線，就會(huì)將短于1km的迂回曲折長(zhǎng)度忽略掉；若以1m為單位測(cè)量，則能測(cè)出被忽略掉的迂回曲折，長(zhǎng)度將變大；若測(cè)量單位進(jìn)一步地變小，測(cè)得的長(zhǎng)度就會(huì)愈來(lái)愈大，這些愈來(lái)愈大的長(zhǎng)度將趨近于一個(gè)確定值，這個(gè)極限值就是海岸線的長(zhǎng)

11、度。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測(cè)量單位變小時(shí)，所得的長(zhǎng)度是無(wú)限增大的。他認(rèn)為海岸線的長(zhǎng)度是不確定的，或者說(shuō)，在一定意義上海岸線是無(wú)限長(zhǎng)的。這就是因?yàn)楹０毒€是極不規(guī)則和極不光滑的。我們知道，經(jīng)典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統(tǒng)上將自然界大量存在的不規(guī)則形體(xngt)規(guī)則化再進(jìn)行處理，我們將海岸線折線化，得出一個(gè)有意義的長(zhǎng)度。共四十七頁(yè)英國(guó)(yn u)的海岸線有多長(zhǎng)？Mandelbrot突破了這一點(diǎn)，長(zhǎng)度也許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)則圖形的特征。海岸線雖然很復(fù)雜，卻有一個(gè)重要(zhngyo)的性質(zhì)自相似性。從不同比例尺的地形圖上，我們可以

12、看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復(fù)雜程度是相似的。海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細(xì)節(jié)。共四十七頁(yè)自然界中的分形(fn xn)分形在自然界中普遍存在.大自然豐富多彩的面貌,人類社會(huì)中普遍存在的各種不規(guī)則現(xiàn)象，如流體湍動(dòng)、曲折的海岸線、多變的天氣、動(dòng)蕩的股市、經(jīng)濟(jì)收入分配關(guān)系、棉花的價(jià)格波動(dòng)等等。 Mandelbrot試圖通過(guò)分形幾何學(xué)統(tǒng)一去描述自然界和社會(huì)的一切現(xiàn)象.分形是一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域-有時(shí)也把它歸為自然界的幾何，因?yàn)檫@些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹(shù)、樹(shù)枝、小麥(xiomi)根系、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在生物醫(yī)學(xué),天文、經(jīng)濟(jì)、氣象、電影制片等方面也有廣泛應(yīng)用。共四

13、十七頁(yè)自然界的樹(shù)并不能沒(méi)有限制地分叉，整個(gè)樹(shù)木也不會(huì)是所謂超級(jí)樹(shù)的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到1500萬(wàn)到3000萬(wàn)光年之遙。但仍然存在著尺度超過(guò)30000萬(wàn)光年的大空白區(qū)。應(yīng)用分形最活躍的領(lǐng)域是在物理學(xué)和生命科學(xué).它們已幫助處理了一些非常老的問(wèn)題(wnt)，也解決了某些嶄新的困難問(wèn)題(wnt)。自然界中的分形(fn xn)共四十七頁(yè)生命作為自然界最復(fù)雜的存在方式，必然有分形的參與。生命現(xiàn)象從宏觀到微觀的各個(gè)層次，都存在著分形現(xiàn)象。分形還全面體現(xiàn)在生物的生化組成、生理、病理(bngl)、形態(tài)等各個(gè)方面。這種現(xiàn)象絕非偶然，而是與生命的本質(zhì)與特征密切相關(guān)。分形在生

14、物醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域里的應(yīng)用研究異常活躍。分形(fn xn)與生命共四十七頁(yè)分形(fn xn)的應(yīng)用分形分維的經(jīng)絡(luò)形態(tài)及解剖結(jié)構(gòu)肝臟超聲圖像分形特性的研究分形理論在醫(yī)學(xué)(yxu)圖像邊緣增強(qiáng)和檢測(cè)中的應(yīng)用研究分形幾何在醫(yī)學(xué)圖像處理中的應(yīng)用分形與經(jīng)濟(jì)學(xué)分形與氣象學(xué)分形音樂(lè)共四十七頁(yè)分形(fn xn)音樂(lè)如果我們把一首音樂(lè)的音符音階隨時(shí)間(shjin)的變化看成一種波動(dòng)，則音樂(lè)可歸入科學(xué)中的噪音范疇?？茖W(xué)中的噪音的定義是指任何量隨時(shí)間(shjin)t的不可預(yù)測(cè)的變化?，F(xiàn)已發(fā)現(xiàn)每一種噪音的跟蹤軌跡都是一條分形曲線。音樂(lè)它的波動(dòng)既有隨機(jī)性又有一定的相關(guān)性，音樂(lè)往往會(huì)給人一種悅耳的感覺(jué)。研究發(fā)現(xiàn)：幾乎所有的音

15、樂(lè)節(jié)律都模仿一種噪音。共四十七頁(yè)分形(fn xn)音樂(lè)分形音樂(lè)是分形藝術(shù)的一個(gè)重要部分，分形音樂(lè)是由一個(gè)算法的多重迭代而產(chǎn)生。利用分形幾何的自相似特性來(lái)建構(gòu)一些帶有自相似小段的合成音樂(lè)。主題在帶有小調(diào)的多次的返復(fù)循環(huán)中重復(fù)(chngf)，在節(jié)奏方面加上一些隨機(jī)變化，所創(chuàng)造的效果，無(wú)論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂(lè)。有人把著名的曼德勃羅集轉(zhuǎn)化為音樂(lè)，取名為傾聽(tīng)曼德勃羅集（Hearing the Mandelbrot Set），他們?cè)诼虏_集上掃描，將其得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成鋼琴鍵盤上的音調(diào)，從而用音樂(lè)的方式表現(xiàn)出曼德勃羅集的結(jié)構(gòu)，極具音樂(lè)表現(xiàn)力。共四十七頁(yè)分形在數(shù)字全息(qunx)顯示

16、中的應(yīng)用數(shù)字點(diǎn)陣全息圖 分形(fn xn)圖的編碼共四十七頁(yè)數(shù)字(shz)點(diǎn)陣全息圖數(shù)字點(diǎn)陣全息圖是由計(jì)算機(jī)控制的激光光束干涉點(diǎn)陣刻蝕而成.它是依賴計(jì)算機(jī)產(chǎn)生圖形并通過(guò)計(jì)算機(jī)精密地控制(kngzh)干涉激光束在記錄介質(zhì)上刻蝕點(diǎn)陣衍射光柵來(lái)實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用混沌和分形的理論，以帶有無(wú)限變量重復(fù)碼的方式來(lái)產(chǎn)生一系列類似于萬(wàn)花筒中觀察到的隨機(jī)花樣的圖案 - 分形圖像和探索應(yīng)用分形圖像制作數(shù)字像元全息圖時(shí)逐點(diǎn)的仿射對(duì)應(yīng)關(guān)系。共四十七頁(yè)光柵(gungshn)點(diǎn)的編碼這種標(biāo)志的圖案是由一些極小的光柵(gungshn)點(diǎn)（約幾十至一百微米左右）組成的，而每一個(gè)光柵點(diǎn)又包含非常微細(xì)的光柵（小于一微米），在制作過(guò)程中，

17、電腦按制作要求對(duì)光柵點(diǎn)逐點(diǎn)進(jìn)行編碼使每一個(gè)點(diǎn)上的光柵的方向或密度發(fā)生變化從而達(dá)到預(yù)定的視覺(jué)效果；對(duì)光柵點(diǎn)的編碼方式和方法是根據(jù)圖案的具體設(shè)計(jì)而定，他人極難模仿。譬如以分辨率為300dpi制作的圖案，在一平方厘米的面積內(nèi)就接近有1.4萬(wàn)個(gè)光柵點(diǎn)，除了圖案的設(shè)計(jì)，若要仿制出同樣視覺(jué)效果的圖案必須要求這1.4萬(wàn)個(gè)光柵點(diǎn)的編碼要與原圖案一致。共四十七頁(yè)分形圖案(t n)與點(diǎn)陣全息圖刻蝕分形圖案的設(shè)計(jì)分形圖案是在所編制的專用電腦程序上輸入有關(guān)的數(shù)據(jù)(shj)通過(guò)某一種算法來(lái)產(chǎn)生的在自然界并不存在但卻非常奇異和富有裝飾性的圖案。共四十七頁(yè)分形(fn xn)圖案分形圖案可以用點(diǎn)陣全息技術(shù)(jsh)制作成為全息圖的一部分或整體，也可以疊加在原注冊(cè)商標(biāo)上作為背景圖案，由此而制成的標(biāo)志具有極好的防偽性能，只要我們保留這些數(shù)據(jù)不外泄，任何人都不能產(chǎn)生相同或相類似的分形圖案。另外，用點(diǎn)陣分形全息術(shù)制作的全息圖案，由于其特性所決定不能通過(guò)照相、復(fù)印或電腦掃描等手段來(lái)復(fù)制。 共四十七頁(yè)共四十七頁(yè)內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)模型 分形簡(jiǎn)介。其他：計(jì)算機(jī)，