6.3數學歸納法 (2)

1、湘教版選修2-26.3 數學歸納法重慶市江北中學校 田茜 從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推， 從此，他不再去上學，家長發(fā)現問他為何不去上學，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”.（此處省略一萬字) 萬百千的笑話情境引入（一）已知數列 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納得出猜想出:情境引入（二） 思路一：對遞推關系式取倒數，得到數列 思路二：采用特殊值探路，歸納猜想

2、，進而考慮一般性.求通項是等差數列，易求通項.不完全歸納法一個數列的通項公式是：an= (n25n+5)2請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測an?由于a525 1，所以猜測是不正確的所以由不完全歸納法得到的結論 不一定可靠 1111猜測是否正確呢？如何證明呢？思考：多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次倒下。情境引入（三） 這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？ 思考：能否類比這種方法來解決不完全歸納法存在的問題呢？1234kK+1第一塊骨牌倒下任意相鄰的兩

3、塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊骨牌倒下探究新知任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導致后一塊牌倒下第一項成立第k項成立，第k+1項成立第一塊骨牌倒下1234kK+1n=1時如果n=k時猜想成即：那么當n=k+1時猜想也成立即：探究新知遞推基礎遞推依據證明一個與正整數有關的命題步驟如下：(2) 假設當nk (kN*, kn0 ) 時命題成立, 證明 當nk1時命題也成立 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數 n都成立(1) 證明當n取第一個值n = n0 時命題成立這種證明方法叫做數學歸納法遞推基礎遞推依據知識提煉數學歸納法步驟，用框圖表示為： 驗證n=n0時命題成立。假設n

4、 = k ( k n0 ) 時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 命題對從n0開始的所有的正整數n都成立。遞推基礎遞推依據 注：兩個步驟,一個結論,缺一不可例1.觀察下列各等式，你發(fā)現了什么？歸納思考：你由不完全歸納法所發(fā)現的結論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？講練結合證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。例1 用數學歸納法證明：遞推基礎遞推依據假設當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有即當n=k+1時,等式也成立。綜上可知，對任何nN*等式都成立。湊結論從n=k到n=k+1有什么變化湊假設注意：遞推基礎不可少， 歸納假設要用到， 結論寫明莫忘掉。例2

5、：甲同學猜想了， 用數學歸納法證明步驟如下：證明：假設當 那么,即當 時也成立所以對任何 等式都成立上述證法是正確的嗎？為什么？ .沒有遞推基礎例3.乙同學猜想了， 用數學歸納法證明步驟如下：證明：即當 時也成立.根據（1）和（2），可知等式對任 何都成立.上述證法是正確的嗎？為什么？沒有遞推依據改為用數學歸納法證明與正整數有關命題的步驟是：（1）證明當 取第一個值 時結論正確； （2）假設時 結論正確，證明 時結論也正確 遞推基礎遞推依據“找準起點，奠基要穩(wěn)”“用上假設，遞推才真”“綜合（1）（2），”不可少！注意:數學歸納法使用要點： 兩步驟,一結論。思考： 步驟 (1) 中n取的第一個值n0一定是1嗎？為什么？ 舉例說明：用數學歸納法證明 n邊形的對角線的條數是此時n取的第一值數學思想：遞推思想、類比思想、歸納思想由特殊到一般數學思想 數學方法：數學歸納法證明與正整數有關的命題數學知識：數學歸納法要